1、图与网络分析(Graph Theory and Network Analysis),赵芳玲,图论是运筹学的一个重要分支，它是建立和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法难于解决的问题。图论的发展可以追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方法直观形象，富有启发性和趣味性，深受人们的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使用了图论模型方法。,图与网络分析(Graph Theory and Network Analysis),图的
2、基本知识,最短路问题,树及最小生成树,最大流问题,最小费用最大流问题,第五节 最小费用最大流问题,在考虑一个运输系统中的运输量的同时，往往还要考虑运输费用，希望给出从发货站到收货站的运输量最大、费用最小的运输方案。这就是最小费用最大流问题。,一、最小费用最大流的基本概念,1、单位流量费用,设 是一个网络，对于每一条弧 ，除容量 外，还给定一个数 ，称作弧 上的单位流量费用。,2、带费用的网络,规定了费用的网络称作带费用的网络， 记作 ，其中 是顶点集合， 是弧集合， 是容量集合， 是费用函数， 为发点， 为收点。,设 是 上的可行流，称 为可行流 的费用。,4、流量为v 的最小费用流,把D上所
3、有流量等于v 的可行流中费用最小的可行流称作流量为v 的最小费用流。,5、最小费用最大流,当 是 中最大流的流量时，流量为 的最小费用流称作最小费用最大流。所谓最小费用最大流问题（minimal costmaximal flow problem）是求给定带费用的网络上的最小费用最大流。,二、最小费用最大流的求法,1、由图编写程序,2、由lingo8.0软件求最小费用最大流,例11 现需要将城市s 的石油通过管道运送到城市t,中间有4个中转站v1,v2,v3 和v4。由于输油管道的长短不一或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相同。城市与中转站的连接以及管道的容量、单位运费如下图所示，求从城市s
4、 到城市t 的最小费最大流。,附程序,MODEL: sets: nodes/s,1,2,3,4,t/:d; arcs(nodes,nodes)/ s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:b,c,f; endsets data: d=14 0 0 0 0 -14; b=2 8 5 2 3 1 6 4 7 ; c= 8 7 5 9 9 2 5 6 10; enddata min=sum(arcs:b*f); for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne#size(nodes):sum(arcs(i,j):f(i,j)-sum(arcs(j,i
5、):f(j,i)=d(i); sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:f(i,j) = d(1); for(arcs:bnd(0,f,c); END,Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 205.0000Variable Value Reduced CostF( S, 1) 8.000000 -1.000000F( S, 2) 6.000000 0.000000F( 1, 2) 1.000000 0.000000F( 1, 3) 7.000000 0.000000F( 2, 4) 9.000000 0.
6、000000F( 3, 2) 2.000000 -2.000000F( 3, T) 5.000000 -7.000000F( 4, 3) 0.000000 10.00000F( 4, T) 9.000000 0.000000,例12 求下图带费用的网络D 中VS 到VT 的最小费用最大流。图中弧旁的数字是bij,cij。,解,1、先求其最大流,MODEL: sets: nodes/s,1,2,3,t/; arcs(nodes,nodes)/s,1 s,2 s,3 1,t 2,1 2,t 2,3 3,t/:c,f; endsets data:c= 15 15 10 10 5 10 10 10;
7、enddata max = flow; for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne# size(nodes):sum(arcs(i,j):f(i,j)-sum(arcs(j,i):f(j,i)=0); sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:f(i,j) = flow; for(arcs:bnd(0,f,c); END,Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 30.00000F( S, 1) 10.00000 0.000000F( S, 2) 10.00000 0.000000F(
8、 S, 3) 10.00000 0.000000F( 1, T) 10.00000 -1.000000F( 2, 1) 0.000000 0.000000F( 2, T) 10.00000 -1.000000F( 2, 3) 0.000000 0.000000F( 3, T) 10.00000 -1.000000,2、再求其最小费用,MODEL: sets: nodes/s,1,2,3,t/:d; arcs(nodes,nodes)/ s,1 s,2 s,3 1,t 2,1 2,t 2,3 3,t /:b,c,f; endsets data: d=30 0 0 0 -30; b=4 2 6 5
9、 5 8 1 5 ; c= 15 15 10 10 5 10 10 10; enddata min=sum(arcs:b*f); for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne#size(nodes):sum(arcs(i,j):f(i,j)-sum(arcs(j,i):f(j,i)=d(i); sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:f(i,j) = d(1); for(arcs:bnd(0,f,c); END,Global optimal solution found at iteration: 6Objective value: 285.0000F( S, 1)
10、 10.00000 0.000000F( S, 2) 15.00000 -3.000000F( S, 3) 5.000000 0.000000F( 1, T) 10.00000 -4.000000F( 2, 1) 0.000000 6.000000F( 2, T) 10.00000 0.000000F( 2, 3) 5.000000 0.000000F( 3, T) 10.00000 -2.000000,例 13 某贸易公司在每个月的月初订购货物，订购后能及时到货、进库并供应市场。货物与当月售出，则不必付存贮费。当月未出售的货物，盘点后转入下月，每件要付库存费6个单位。库存的最大贮量是120件
11、。预测1月到6月的订购价格和需求量如下：,假设1月初的库存量为零，要求6月底的库存量也为零，不允许缺货。试做出6个月的订货计划，使成本最低。,解： 用 表示第 个月初进货后的状态， 。 表示进货， 表示销售。于是，可用网络来描述这个问题。但是在这个网络中，顶点 具有容量，即仓库的最大存贮量。如图7-22所示，,弧旁的数字是 ，其中 是单位成本（订购价格或库存费）， 是货物的最大流通量（订购、销售或转入下月）。顶点内的数字是它的容量（最大库存量）。于是，我们的问题是要求这个网络的最小费用的最大流。这个网络可以化成与它等价的不带顶点容量的网络，如图7-23所示。它的最小费用最大流（在图7-23中用带括号的数字标在弧旁）就给出了所需的最优订购方案：1月至6月的订购量分别是50，55，120，0，15，30。 （见下页附图）,练习,求下列网络的最小费用最大流及其流量和费用。图中弧旁的数字是 。,附答案：,总 结 1、赋权图 最小生成树避圈法。最短路matlab。 2、赋权有向图最短路matlab。 3、网络最大流lingo8.0 4、带费用的网络最小费用最大流lingo8.0,Thanks,
