1、贵州省贵阳市普通高中 2015 届高三 8 月摸底考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 ，i 是虚数单位，则 z 的虚部是32zA.2i B.-2i C.2 D.-22、若集合 ，则集合21|,|log1MxyNxyxMNA、 B、 C、 D、R,1,0,3已知 是定义在 R 上的奇函数，且 时 的图像如图所示，则fxxf 2fA.-3 B.-2 C.-1 D.24、在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c, 则 等于A 1,3,6abAB5下列判断错误的是A. 是 的充分不必要条件2“amba
2、B.命题 的否定是32,10“xR32,10“xRC.命题“若 ，则 tan =1”的逆否命题是“若 则 ”4tan,4D.若 为假命题，则 均为假命题pq,pq6某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A. B. C. D. 21fxcosfxxfe1fx7、已知 ，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是2,2yxzxya满 足A、 B、 4 C、 D、2118设 满足约束条件 ，则 的最大值是,xy021xy3zxyA.3 B.4 C.5 D.6 9、现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排
3、方案种数有A、12 B、6 C、 8 D、1610、函数 的图像如图所示，为了得到 的sin0,2fx其 中 fx图像，则只要将函数 的图像singxA、向右平移 个单位6B、向右平移 个单位12C、向左平移 个单位6D、向左平移 个单位11、直线 L 过抛物线 的焦点 F 且与 C 相交于 A、B 两点，且 AB 的中点2:0CypxM 的坐标为 ，则抛物线 C 的方程为3,A、 B、 C、 D、224yx或 2248yx或 2268yx或8或12、设函数 ，其中 表示不超过 x 的最大整数，如 ，,01xffx1.2， ，若直线 与函数 的图像恰有三个不同的交1.2ykyf点，则 k 的取
4、值范围是A、 B、 C、 D、(,431(0,41,431,)43二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13、设 ，则 的值 .sin2costan214、 的展开式中， 的系数等于 40，则 等于 .5axx15、某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆） ，则该几何体的体积为 16、边长为 2 的正方形 ABCD，其内切圆与边 BC 切于点 E、F 为内切圆上任意一点，则取值范围为 AEF三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）数列 的通项公式为 ，数列 是等差数列，且 .na12nanb14123,baa(I)求数列 的通项公式
5、；b(II)设 ，数列 的前 n 项和 ，求证： .1nnccT2n解：(I)设数列 的公差为 d,又因为b12na14,37, 1nadbn(II) 1 122ncn1123521nT n *nN18、如图，在直三棱柱 中， 分别是1ABC1,2,ABCADE的中点.1,ABC(I)证明： ；/ABCDE平 面(II)求二面角 的余弦值1(I)证明：如图，E 是 的中点，取为 BC 的中点 G，连接 EG、AG、ED，在 中，1BCA11111,/, /AD=B22BGCEGBEB且 又 且四边形 ADEF 为平行四边形， ，又/ADG所以AC平 面 ， 平 面 ， /CD平 面(II)解：
6、如图，以 B 为原点，BC，BA， ,分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系1B则 直oxyz110,1,002,0,2,1CACAD三棱柱 ， ，1ABB平 面如图，连接 BD，在 ，即221111BD=,中，BD 是 CD 在平面 内的射影，1BDA1C-BDC=,0,C B为 二 面 角 的 平 面 角，所以二面角 的余弦值为6cos3D16319 （本小题满分 12 分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数 T.其范围为0，10,分别有五个级别：T 畅通； 基本畅通； 轻度0,22,4T4,6T拥堵； 中度拥堵； 严重拥堵.在晚高峰时段 ，从
7、贵阳市交通指6,88,1T挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(I)在这 20 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(II)从这 20 个路段中随机抽出 3 个路段，用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求 X 的分布列及期望.解析：(I)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是 个，中度拥堵的路段0.1206个数是 0.251209(II)X 的可能取值为 0，1，2，332112031999193320027, , ,767655CCCCPXPXPXPX ，所以 X 的分布列为1375130276980E20 （本小题满分 12 分）如图
8、，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆由焦2()xyab12点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，弦 AB 长 4.(1)求椭圆的方程；(2)若 .求直线 AB 的方程.487ABCD解析：（1）由题意知 ， ，又 ，解得：12cea422abc，所以椭圆方程为： .-6 分2,3ab13xy（2）当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，由题意知 7;ABCD当两弦斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),则直线 CD 的方程为 .1()yxk将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得 ，2234841
9、0kxk则 ，所以 .2212184,3xxk22123ABxk同理， .221434kCD所以 = =221kkAB28134k87解得 ，所以直线 AB 方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.-12 分k21、已知函数 在 处的切线斜率为 2.lnfxaRxe(I)求 的最小值；f(II)设 是函数 图像上的两点，直线 AB 的1212,AxBxfx与 yfx斜率为 k，函数 的导数为 ，若存在 ，使 ，求证：f0,0k20x解析：由 min121,feafxfe由121200ll,lnfxfk fx12 120 00lnl lllnl 1xf x221211202 llllnxl
10、xx2201 ln,ln1ln1ttxtttx令 则 设 g在 上是减函数，,ttgt,从而 20ln10,10,lntg x又 即 lx 20x请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一天计分.做答是用 2B 铅笔 在答题纸上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22 （本小题满分 10 分）如图，已知 AP 是圆 O 的切线，P 为切点，AC 是圆 O 的割线，与圆 O 交于 B,C 两点，圆心 O在 的内部，点 M 是 BC 中点.PAC（1） 证明：A,P,O,M 四点公园共圆；（2）求 的大小.AMP解析：（1）证明：连接 OP,OM.因为 AP 与圆 O
11、 相切于点 P,所以 .PA因为 M 是圆 O 的弦 BC 的中点，所以 .于是 由圆心 O 在MBC180M的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A,P,O,M 四点共圆. -5 分PAC（2 ） 由（1）得 A,P,O,M 四点共圆，所以 .由（1 ）得 ,A由圆心 O 在 的内部，可知 ,PAC90OPMA所以 . -10 分90M23 （本小题满分 10 分）已知切线 C 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐2标系，直线 L 的参数方程为 （t 为参数）.132xy(1)写出直线 L 与曲线 C 的直角坐标系下的方程；(2)设曲线 C 经过伸缩
12、变换 ，得到曲线 ，判断 L 与切线 交点的个数.2xyCC解析：（1）消去参数 t 得直线 L 的直角坐标方程为: ,320xy由公式 得曲线 C 的直角坐标方程为 ；-5 分22xy24(2)曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 的方程为 ，由于直线 L 恒过点xy2yx，点 在椭圆内部，所以直线 L 与椭圆相交，1,2,故直线与椭圆有两个交点.-10 分24 （本小题满分 10 分）设函数 . （1）当 a=2 时，解不等式 ；fxa41fx（2）若 的解集为 ， ，求证：m+2n 4.0,210,amn解析：（1）当 a=2 时，不等式为 ，x因为方程 的解为14x127,所以不等式的解集为 ；,2（2 ） 即 ，解得 ，而 解集是 ，1fxa1xa1fx0,2所以 ，解得 a=1,所以0a0,2mn所以 .-10 分12()42mnn25 （本小题满分 10 分）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a,b,c ,且A 1cos3A(I) 求 的值；coscos2（II）若 ，求 bc 的最大值.3a解：（I）在 中，因为 ，所以ABC1cs3A20coscos2o9（II）由余弦定理知 所以 ，2csab22433bcbcc当 时，bc 的最大值是 32bc94
