1、福建省德化一中、安溪一中 2015 届高三摸底考试数学（理）试卷第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求1已知 为虚数单位，则 的值等于i 2(1)iA. B. C. D.22i2i2 “ ”是“ ”的sinxcos0xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 的值等于10xedA. B. C. D. 1e1e1()2e4已知 且 ，则 的最大值等于,ab+RabA B C D1141225等差数列 的前 n 项和 满足 ，则其公差 d 等于anSA2 B4 C2 D46某流程
2、图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A B ()sifx()cosfxC D f 2f7已知 满足 ，则 的最大值等于,xy01y1ykxA B C D1232148已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有A3 对 B4 对 C5 对 D6 对 9已知 F1，F 2分别是双曲线 C： 的左右焦点，以21(0,)xyabF1F2为直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P，若双曲线的离心率为 5，则 等于21cosPA B C D334455610将 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 后第一次与 y 轴相切，则角 满足的lnyx条件是Aesin = cos
3、 Bsin = ecos Cesin =l Decos =1第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分11在 的展开式中，含 的项的系数是_6(1)xx12已知 22 2222113,35,1347,13466，则 _（其中 ） 1459622n n*N13. 某次测量发现一组数据 具有较强的相关性，并计算得 ，其中数据(,)ixy 1yx$因书写不清，只记得 是 任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不0(,)y03大于的概率为_ （残差=真实值-预测值）14已知 的三个内角 所对的边分别为 若 的面积ABCABC、 、 abc、 、 ABC，
4、则 的值是_22Sbcatn15定义在 上的函数 ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数 （ ） ，使R()fx R得对任意的 ，都有 ，则称 为“倍增函数” ， 为)(fx()yfx“倍增系数” ，下列命题为真命题的是_（写出所有真命题对应的序号） 若函数 是倍增系数 的倍增函数，则 至少有 1 个零点；()yfx2()f函数 是倍增函数，且倍增系数 ；211函数 是倍增函数，且倍增系数 .()xfe (0,)主主主主主主三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 13 分）已知函数 为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之fx()si
5、n0，间的距离为 。（）求函数 的表达式；（）若 ，求 的值.sin()f232411sinta17 （本小题满分 13 分）为适应 2012 年 3 月 23 日公安部交通管理局印发的 加强机动车驾驶人管理指导意见 ，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从 10 个备选测试项目中随机抽取 4个，只有选中的 4 个项目均测试合格，科目二的培训才算通过已知甲对 10 个测试项目测试合格的概率均为 ；乙对其中 8 个测试项目完全有合格把握，而另 2 个测试项目却根本5不会（）求甲恰有 2 个测试项目合格的概率；（）记乙的测试项目合格数为 ，求 的分布列及数学期望 E 18 （本小题满分
6、 13 分）如图，三棱柱 ADF BCE 中，除 外，其他的棱长均为 2，DFCE、， ，平面 ABCD平面 ABEF，M，N 分别是 AC，BF 上ABDAF的中点（）求证：MN平面 ADF；（）求直线 MN 与平面 ABCD 所成角的大小19 （本小题满分 13 分）如图，设椭圆 的左右焦点为 ，上顶点2:1(0)xyCab21,F为 ，点 关于 对称，且A2,FB12AFB（）求椭圆 的离心率；（）已知 是过 三点的圆上的点，若 的面积为 ，求P2, 213点 到直线 距离的最大值.03:yxl A BCD EF 20 （本小题满分 14 分）已知函数 为自然对数的底数） ()e(ln1
7、)fxx(e（）求曲线 在 处的切线方程；y（）若 是 的一个极值点，且点 ， 满足条件： m()fx1(,)Axf2(,)Bxf.12(ln)l1（）求 的值；（）若点 ， 判断 三点是否可以构成直角三角形？请说明理由.(,)Pf,ABP21. 本题（1） 、 （2） 、 （3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分，如果多做，则按所做的前两题计分。(1)（本小题满分 7 分）选修 4- 2：矩阵与变换如图，矩形 OABC 和平行四边形 1CBOA的部分顶点坐标为：)0,(1,)2,(0,1ABA（）求将矩形 OABC 变为平行四边形 1的线性变换对应的矩阵 ；M
8、（）矩阵 M是否存在特征值？若存在，求出矩阵 的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由(2)（本小题满分 7 分）选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 C 的圆心坐标为 (2,)3，半径为 2. 以极点为原点，极轴为 x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为312xty（ 为参数）（）求圆 C 的极坐标方程；（）设 l与圆 C 的交点为 ,AB， l与 x轴的交点为 P，求 AB.(3)（本小题满分 7 分）选修 45：不等式选讲（）证明二维形式的柯西不等式： ；222()()(,)abcdacbcdR（）若实数 ,xyz满足 23,yz求
9、xyz的取值范围.xy B1CA1C1BAO参考解答与评分标准一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分11. 15 12. 13. 1()21n2314. 4 15. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分16. （本小题满分 13 分）解：（I） 为偶函数fx() sinsinxx即 恒成立20sinco co0又 3 分 ， 2又其图象上相邻对称轴之间的距离为 T2 1 fx()cos6 分（II）原式 incstasinco110 分又 ， sioi
10、234911 分即 ， 故原式 259inc513 分17. （本小题满分 13 分） 解：（I）设甲的测试项目合格数为 X，则 ，(4,0.8)B:1 分甲恰有 2 个测试项目合格的概率 4 分22496()155PXC（II） 的可能取值为 2，3，4， 服从超几何分布，5 分28410(),5PC6 分318240()5CP7 分4810()38 分的分布列为2 3 4P 158110 分28634155E 13 分18. （本小题满分 13 分）解：（I）方法一：如图取 AD 中点 G，取 AF 中点 H，连结 GH，GM，HN则 GMAB，且 GM AB，同理 HNAB，且 HN A
11、B1212故 GMHN，且 GMHN所以四边形 GMHN 是平行四边形，3 分MNGH，又 MN 平面 ADF，GH 平面 ADFMN平面 ADF5 分方法二：如图，取 AB 中点 P，连结 MP，NP则 NPAF，又 NP 平面 ADF，AF 平面 ADFNP平面 ADF2 分同理可证 MP平面 ADF，又 NP MPP故平面 MNP平面 ADF4 分又 MN 平面 MNP故 MN平面 ADF5 分（II）方法一：如（I）方法二所示，取 AB 中点 P，则 ，NAB又平面 ABCD平面 ABEF，且 NP 平面 ABEF，故 NP平面 ABCD 7 分从而 MN 在平面 ABCD 上的射影为
12、 MP，故 就是直线 MN 与平面 ABCD 所成的角. NMP9 分又 NP= ,MP= ,从而 NP=MP12AF12BC故 ，tan1NPM12 分故直线 MN 与平面 ABCD 所成的角等于 13 分4方法二：由（I ）方法一可知，MNGH，又 GHDF，故 MNDF，故 MN 与平面 ABCD 所成的角等于 DF 与平面 ABCD 所成的角， 6 分又 ，且 AF 平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEF，故 AF平面ABFABCD8 分从而 DF 在平面 ABCD 上的射影为 AD，故 就是直线 DF 与平面 ABCD 所成的角. D9 分又 AF=DF2故 ，tan1AF12
13、 分故直线 MN 与平面 ABCD 所成的角等于 13 分4方法三：依题意 ，且 AF 平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEF，故 AF平面ABFABCD从而 ，又 ，故分别以 所在直线为 轴，,FDA,DABF,xyz建立空间直角坐标系. 7分，同理可得(0,2)(,0)(,1)BN故 8 分1M取平面 ABCD 的法向量为 ，,u9 分设直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 则 ，12sinNu:11 分又 0,2从而直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 13 分419. （本小题满分 13 分）（） 222(3,0)9,4BcAcbAFaBc2 分由 及勾股定理可知 ，即 2A
14、FB22ABF22916cbac4 分因为 ，所以 ，解bacac得 6 分1e（）由（）可知 是边长为 的正三角形，所以21FAa234Sa解得 2,3acb8 分由 可知直角三角形 的外接圆以 为圆心，半径AB2B1(,0)F2r即点 在圆 上，P2(1)4xy10 分因为圆心 到直线 的距离1F:30l为 12 分|3|2dr故该圆与直线 相切，所以点 到直线 的最大距离lPl为 13 分4r20. （本小题满分 14 分）（） ， ，又 ，所以曲线 在 处的e()lnfx(1)ef(1)ef()yfx1切线方程为 ，即 yx20y2 分（） （）对于 ，定义域为 ()lf (,)+当
15、时，0ex， ， ；4 分ln1e()ln0fx当 时， ；()10f当 时，ex， ， 6 分ln1e()ln0fx所以 存在唯一的极值点 ， ，则点()f m为 8 分Pe,0（）若 ，则 ，与条件 不符，1x12(ln)(l)0x12(ln)(l)1x从而得 同理可e得 9 分2x若 ，则 ，与条件 不符，12x2121(ln)(l)(ln)0xx12(ln)(l)1x从而得 由上可得点 ， ， 两两不重ABP合10 分1122(e,)(e,()Pxfxf12 12)lnl)x122(e(ln)xxx013 分从而 ，点 ， ， 可构成直角三角PABP形14 分21.（ 1） 选修 4-
16、 2：矩阵与变换（I）解：设 ，依题意得abMcd(0,2)C依题意得 102,20ababcdcd2 分即 ，所以120acbd120abcd所以 120M4 分（II）因为矩阵 M 的特征方程 无解，211() 0f6 分所以矩阵 M 没有特征值也没有特征向量7 分（2 ） 选修 44：坐标系与参数方程解：（I）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标为 ，所以圆 C 的方程为(1,3)C即 ，22(1)(3)xy20xyy2 分化为极坐标方程得 ，2cos3sin即 4 分4sin()6法二：令圆上任一点 ，(,)P在 中（其中为极点） ，PCO:，2 分,2,3OC由余弦定理得 4cos()从而圆的极坐标方程为 4 分cos()3（II）法一：把12xty代入 得 ，所以点 A、B 对应的230xyy2t参数分别为 12,t5 分令 得点 P 对应的参数30t为 6 分02所以 PAB 1020322343tt7 分
