1、湖南省岳阳县一中 2015 届高三 10 月第二次月考理科数学试卷一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.设集合 ,那么下列结论正确的是( )1,2345,6|26PQxA. B. C. D. ()PPQ(PQ2.设 , ,则 是 成立的( ):pxR:23qxpqA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.命题“ ,都有 ”的否定是( )xR32xA. ,使得 B. ,使得00 0xR320xC. ,使得 D. ,使得x32x 4.
2、已知扇形的面积为 ,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是( )6A. B. C. D. 12 3235.已知 ,则 ( )3cos(),(2)5xsinxA B C D 455456.函数 的定义域为( )2log()yxA. B. 1|,x、 1|,2xx、C. D. |0,2|0,7.若定义在 上的函数 满足 ,则 ( )R()fx2log(1),()5xff(214fA. 2 B. 1 C. 0 D. 1 8.若函数 在 处取得最大值,则 的奇偶性为( )()sin2(0,)fxAx1x)fxA. 偶函数 B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数9.函数 的零点个数为
3、( )25()sin()log2fxxA. 1 B. 2 C. 3 D. 410.已知两条直线 和 , 与函数 的图象1:lym2417:(0,)12lym1l2|log|yx从左至右相交于点 , 与函数 的图象从左至右相交于点 .记线段AB、 2l2|log|xCD、和 在 轴上的投影长度分别为 ,当 变化时, 的最小值为( )ACDxabmbaA B C D16842二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.函数 的最小正周期为 .3sin(2)4yx12.计算 的结果是 .20d13.已知 ,且 ,则 .1sinco4(0)cosin14.
4、已知函数 ,若 ,使得 都有 ,则实数 的2()fxmx0R1,2x10()fxfm取值范围是 .15.下图展示了一个由区间 到实数集 的映射过程:区间 中的实数 对应数轴上(,1) (0,)的点 ,如图 1;将线段 围成一个圆,使两端点 恰好重合(点 从点 按逆时针方MAB,ABMA向运动至点 ),如图 2;再将这个圆放在平面直角坐标系中, 使其圆心在 轴上,点 的坐y标为 ,如图 3.图 3 中直线 与 轴交于点 ,则 的象就是 ,记作 .(01)Mx(0)Nnmn()fmn下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号 ) ; 在定义域上单调递增; 方程 的解是 ;1()4f()
5、fx ()0fxx12 是奇函数； 的图象关于点 对称.fx f(,)三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12 分) m M0CO1xNMA BMA(B) A图y图 图已知集合 .若“ ”是“ ”的23|1,24Ayxx2|1BxmxAB充分条件,求实数 的取值集合.m17.(本小题满分 12 分)已知函数 的(sin(),fxAxR0,)2部分图象如图右所示.()求函数 的解析式;)f()将函数 的图象向右平移 个单位,得到函数 ,()fx4()gx求 的单调递增区间.g18.(本小题满分 12 分)已知定义域为 的函数
6、是奇函数.R12()xbfa()求 的值, 并判断 的单调性(不必给出证明);abx()若对任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.t22)()0ftftkk512 xyO1111219.(本小题满分 13 分)现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 万y元与投入 万元之间满足 且 ,其中为大于 的常数.当x251ln,00xyxa)12t12时, .1092y()求 的解析式和投入 的取值范围;()f()求旅游增加值 取得最大值时对应的 值.x20.(本小题满分 13 分)已知函数 ,若存在 ,使 ,则称 是函数 的一个不动点.(yfx0R0()fx0x
7、()yfx设二次函数 . 2)1)ab()若对任意实数 ,函数 恒有两个相异的不动点,求 的取值范围；(fxa()在( )的条件下,若 的图象上 两点的横坐标是 的不动点,且 两点)yAB、()fxAB、关于直线 对称,求 的最小值.21kxab21.(本小题满分 13 分)已知函数 .(1()xfeaR()求函数 的单调递增区间;)()若对一切实数 ,都有 恒成立,求 的取值范围.x()0fxa()求证: , .121()()(1nne *nN参考答案(理数)一、选择题 D B C C B; A B A C B二、填空题 11. 1 . 12. . 13. . 14. . 15 .212m、
8、三、解答题16.【解】由 ,2237()416yxx因为 ,所以 4 分4716y所以 ,2A由 ,得 ,所以 6 分xm2x21,)Bm因为“ ”是“ ”的充分条件,所以 9 分AB所以 ,解得 .10 分2716m34m、故实数 的取值集合为 12 分3|,4、17.【 解】( ) 由图象知, ,则 ,2 分2()1T2T又点 在函数图象上,5012512 xyO11112【注】本题属容易题,主要考查考生的基础及 审题习惯 ,若考生未按照题意将 的取值范围m写成集合或区间形式,是需扣除 2 分,望阅卷老师务必把关!即 ,即5sin()06A5sin()06又 ,故 ,0243所以 ,即 4
9、 分566又点(0,1)在函数图象上,所以 ,得 .sin1A2所以 为所求.6 分()2sin()6fx()由题知 8 分()2sin()2sin()4463gfxx令 ,得 10 分23kxk5,11kZ所以 的递增区间是 12 分()gx5,2【注】若考生未将单调区间写“区间形式”,则应扣除 2 分!18.【 解】( ) 因 是定义在 上的奇函数, 所以 ,即 ,()fxR(0)f102ba解得 ,从而有 .2分1b12xa又由 知 ,解得 ,()ff4()2a经检验当 时, 为奇函数; 5分21ab1)2xf【注】以特值法求出 未写出“检验步骤”的同学,应扣除1分;,又 1(),22x
10、xf R显然, 随 的增大而减小 ,即 在 上为减函数. 7分y()f()由( )知, 为奇函数,(fx所以不等式 等价于 ,22)()0tftk222()()()ftftkft不交待角的范围就直接得出 的,6应扣除 1 分又 为 上的减函数,所以 ,()fxR22tkt即对一切 有 成立,t230t所以 ,解得 ,即求. 12分41k1319.【解】() 因当 时, ,即 ,解得 .2 分x9.y2510ln9.a10a所以 ,25ln010f又因为 且 ,解得,2xt621tx即投入 的取值范围是 6 分(.2t()对 求导,得 ,)fx 25150(1)50)0xxxf 又因为 ,所以从
11、广义上讲有,6当 时, ,即 递增,当 时, ,即 递减50(f()f()f()f所以当 时为极大值点,也是最大值点,于是x当 ,即 时,投入 50 万元改造时取得最大增加值; 10 分12t1254t当 时,即 时,投入 万元改造时取得最大增加值. 13 分60t()12t【注】第() 问若未分类讨论,算出的结果至多只能得 3 分 ,即不超过第()问的一半分.20.【 解】( ) 因函数 恒有两个相异的不动点,()fx所以 恒有两个不等的实根 ,210fxab所以 对 恒成立, 4 分24()4abR所以 ,解得 ,即求.6 分2160a1()设 两点的横坐标为 ,由()知 ,AB、12x、
12、2(01)xa所以 ,且由题知 ,8 分12xba,ky又由题知 的中点 在直线 上,即 ,E21xa2(,)1bEa显然 点也在直线 上,于是 ,10 分yxb可化为 ,2142aba当且仅当 ,即 时上式取等号,a(0)所以 的最小值为 .13 分b24【注】第() 问若未说明 取最小值的条件 ,则至少要扣除 1 分.b2(01)a21.【解】() 由 ,.1 分()xfea当 时,显然 ;0a0x当 时,由 得 ,显然当 时, ;()flnalnxa()0fx所以当 时 , 在 上单调递增;0axR当 时, 在 上递增;.4 分()fln,)a()由( )问知,当 时, 递增,且 ,不合
13、题意,舍去.5 分0(fx1()0fae当 时,由() 知,当 时, ,当 时,al0lnx()fx所以当 时, 有极小值也是最小值,即 ,lnx()f mi()lln1fa依题意 ,7 分10令 ,则 ,()ln10gaa()lnga于是 时, ,0同理知当 时, 有极大值也是最大值,()所以 ()1ga比较式可得 , ,即 为所求. 10 分()0ga1()由()知对 ,有 ,Rxex于是令 ,则有inNin0inie即有 ,即 (当且仅当 时取等号)ie()ini所以有 12101121( )()nn nn eee 定性分析、定量计算 式可化为 ,而由 重要超越不等式 知:1lna时取到等号),所以比较上下两式可以发现 ,ln1,0(aa 1lna即 时取到等号),下面给出其证明:即 ,即证. 13 分11121()()(nnnee
