1、湖北省武汉市 2015 届高三 9 月调考数学（理）试题2014.9.5一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 1 2i(1 i)2A1 i B1 i C1 i D1 i12 12 12 122已知集合 A1，a ，B1 ，2 ，3 ，则“a 3”是“AB”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观测x- y- 数据算得的线性回归方程可能是A 0.4x2.3 B 2x2.4 C 2 x9.5 y y y D
2、 0.3 x4.4y 4已知向量 a，b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab | ，则|b|10A B2 C3 D42 2 2 25若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A112B5C92D46在ABC 中，AC ，BC2 ，B60 ，则 BC 边上的高等于7A B C D7 x，y 满足约束条件Error!若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或 112 128如图，互不相同的点 A1，A 2，A n，和 B1，B 2，B n，分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn 相互平行，且所有梯形 AnBnBn1 An1 的面积
3、均相等设 OAna n，若 a11，a 22 ，则 a9A B C5 D219 22 79已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2（其中 O 为坐标原点） ，则AFO 与BFO 面 OA OB积之和的最小值是A B C D 210已知函数 f(x)x 2e x （x0 ）与 g(x)x 2ln(x a )的图象上存在关于 y 轴对称的点，12则 a 的取值范围是A( ， ) B(， ) C( ， ) D( ， )e e e二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得
4、分11设二项式( )5 的展开式中常数项为 A，则 A x12如果执行如图所示的程序框图，输入 x1，n 3，则输出的数 S 13正方形的四个顶点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D( 1，1)分别在抛物线 yx 2 和 yx 2 上，如图所示若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 14已知椭圆 C： 1，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 Cx24 y23的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN| |BN| 15平面几何中有如下结论：如图 1，设 O 是等腰 RtABC 底边 BC 的中点，AB1，过点 O 的动直
5、线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有 2类比此结论，将其拓展到空间有：如图1AQ 1AR2，设 O 是正三棱锥 A-BCD 底面 BCD 的中心，AB ，AC，AD 两两垂直，AB1，过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q，R ，P ，则有 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x) cosx(sinxcosx) 12（）若 sin( ) ，且 0，求 f()的值；4（）当 f(x)取得最小值时，求自变量 x 的集合17 （本小题满分 12 分）已知数列 an的前 n 项和为
6、Sn，a 11，a n0 ，a nan1 S n1 ，其中 为常数（）证明：a n2 a n；（）当 为何值时，数列a n为等差数列？并说明理由18 （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 P-ABQ 中，PB平面 ABQ，BA BPBQ，D，C，E，F 分别是AQ，BQ ，AP， BP 的中点，AQ2BD ，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连结 GH（）求证：ABGH；（）求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值19 （本小题满分 12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情
7、况如下表：（）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000元的概率20 （本小题满分 13 分）如图，动点 M 与两定点 A(1，0) ，B(2 ，0 )构成MAB，且MBA2MAB设动点M 的轨迹为 C（）求轨迹 C 的方程；（）设直线 y2x m（其中 m2）与 y 轴相交于点 P，与轨迹 C 相交于点Q，R，且|PQ|PR|，求 的取值范围|PR|PQ|21 （本小题满分 14 分）已知函数 f(x) axxlnx 的图象在点 xe（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（）
8、求实数 a 的值；（）若 f(x) kx2 对任意 x0 成立，求实数 k 的取值范围；（）当 nm1（m，nN *）时，证明： mn参考答案及评分标准一、选择题1 B 2A 3A 4C 5D6 B 7D 8C 9B 10B二、填空题11 10 124 13 148 15 323 1AQ 1AR 1AP三、解答题16 （本小题满分 12 分）解：（）0， 2 分4 4 54sin( ) ， ，即 4 分4 4 34 2f() cos(sincos) cos (sin cos ) 6 分12 2 2 2 12 12（）f(x) sinxcos xcos 2x sin2x 7 分12 12 1 c
9、os2x2 12 sin2x cos2x sin(2x ) 8 分12 12 4当 2x 2k ，kZ，4 2即 xk ，kZ 时，f(x)取得最小值， 10 分38此时自变量 x 的集合为 x|xk ，k Z 12 分3817 （本小题满分 12 分）解：（）由题设，a nan1 S n1 ，a n1 an2 S n1 1 2 分两式相减，得 an1 (an2 a n)a n1 3 分由于 an1 0，所以 an2 a n4分（）由题设，a 11，a 1a2S 11，可得 a21 5 分由（）知，a 31令 2a2 a1a 3，解得 4 6 分故 an2 a n4，由此可得a2n1 是首项为
10、 1，公差为 4 的等差数列，a 2n1 4 n3；7 分a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a 2n4n1 8 分所以 an2n1，a n1 a n 2 10 分因此当 4 时，数列a n为等差数列12 分18 （本小题满分 12 分）解：（）D，C，E，F 分别是 AQ，BQ ，AP，BP 的中点，1 分EFAB，DCAB， 2 分EFDC又 EF 平面 PCD，DC平面 PCD， EF平面 PCD 3 分又 EF 平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCDGH，4 分EFGH又 EFAB，AB GH6分（）在ABQ 中，AQ2BD ，ADDQ，ABQ 90 ，即 ABBQ又 PB平面
11、 ABQ，BA ，BQ，BP 两两垂直以 B 为坐标原点，分别以 BA，BQ，BP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BABQ BP2，则 B(0，0， 0)，Q(0，2，0) ，D(1，1， 0)，C(0 ，1，0)，P (0，0 ，2) ，(注：坐标写对给 2 分) (1 ，1 ，2)， (0，1，2 )8 分 DP CP设平面 PCD 的一个法向量为 n(x，y，z)，由 n 0 ，n 0，得 DP CPError!取 z1，得 n(0，2 ，1 )10 分又 (0，2，0)为平面 PAB 的一个法向量， BQcosn， BQ故平面 PAB 与平面 PC
12、D 所成角的正弦值为 12 分19 （本小题满分 12 分）解：（）设 A 表示事件“作物产量为 300kg”，B 表示事件 “作物市场价格为 6 元/kg” ，由题设知 P(A) 0.5，P (B)0.4 （注：基本事件叙述各 1 分）2 分利润产量市场价格成本，X 所有可能的取值为5001010004000 ，500 610002000，3001010002000 ，300 61000800 4 分P(X 4000)P( )P( )(10.5 )(10.4) 0.3，A- B- P(X 2000)P( )P(B)P(A) P( )(1 0.5) 0.40.5 (10.4)0.5，A- B-
13、 P(X 800)P( A)P(B)0.50.4 0.2X 的分布列为X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.26 分（注：每个概率 1 分）（）设 Ci 表示事件 “第 i 季利润不少于 2000 元” （i1，2，3 ） ，8 分由题意知 C1，C 2，C 3 相互独立，由（ ）知，P(Ci)P( X4000 )P (X2000)0.3 0.50.8（i 1，2，3 ） 这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为PC 0.83C 0.820.20.5120.384 0.896 123 23分20 （本小题满分 13 分）解：（）设 M 的坐标为( x，y)，
14、显然有 x0，且 y01 分当MBA90时，点 M 的坐标为(2 ，3)2 分当MBA90时，x2，由MBA2 MAB，有tanMBA ，即 ，4 分2tan MAB1 tan2 MAB |y|x 2化简可得，3x 2y 230而点(2，3)在曲线 3x2y 2 30 上，5 分综上可知，轨迹 C 的方程为 x2 1（x 1） 6 分y23（）由 消去 y 并整理，得 x24 mxm 230 （*）7 分由题意，方程（* ）有两根且均在(1，)内设 f(x)x 24mxm 23， 解得 m1，且 m29 分m2，1 m2 10 分设 Q，R 的坐标分别为 (xQ，y Q)，(x R，y R)，
15、由|PQ |PR|及方程（*）有xR 2m ，x Q2m ，3(m2 1) 3(m2 1) 1 |PR|PQ| xRxQ由 1m2 ，得 11 712 分故 的取值范围是(1，7 )13 分|PR|PQ|21 （本小题满分 14 分）解：（）求导数，得 f (x)alnx1 1 分由已知，得 f (e)3，即 a lne13a12 分（）由（） ，知 f(x)xxlnx，f(x) kx2 对任意 x0 成立 k 对任意 x0 成立，4 分1 lnxx令 g(x) ，则问题转化为求 g(x)的最大值1 lnxx求导数，得 g(x) ，令 g(x)0 ，解得 x1 5 分lnxx2当 0x1 时，
16、g (x)0 ，g(x )在(0，1)上是增函数；当 x1 时，g (x)0，g(x )在(1，) 上是减函数6 分故 g(x)在 x1 处取得最大值 g(1)1k 1 即为所求8 分（）令 h(x) ，则 h(x) 9 分xlnxx 1 x 1 lnx(x 1)2由（） ，知 x1 ln x（x0） ，h (x)0，10 分h(x)是 (1，)上的增函数nm1，h(n)h(m)，即 ，11 分nlnnn 1 mlnmm 1mnlnnnlnnmnlnmmlnm，12 分即 mnlnnmlnmmnln mnln n，即 lnnmnln mmln mmnlnn n，即 ln(mnn)mln( nmm)n， 13 分(mn n)m(nm m)n， 14mn分
