1、河北省唐山市 2015 届高三 9 月模拟考试数学理试卷（解析版）【试卷综析】本试卷是高三摸底考试理工类数学试卷，目的是对升入高三的学生的学习情况做一个了解。其命题模式与高考保持一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，知识考查注重基础、注重常规，但也有综合性较强的问题。试题分必做和选作两个部分，必做部分试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等；选作部分考察几何证明、坐标系与参数方程、不等式选讲，都是常规题目。试卷涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合等。试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用。说明：1本试
2、卷分为第卷和第 卷，第卷为选择题，第 卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ，按照“注意事项 ”的规定答题.3做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、已知集合 Mx|x1，Nx|2x20，则 MN( )A. 1，) B.1， 2C. 2，) D.(， 1 ，)【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析： 20
3、2Nxx，所以 2MNx，故答案为：C【思路点拨】解不等式 20x，得集合 N，再根据并集的定义求 MN即可，必要时可借助数轴辅助运算。2、复数132iz，则( )A.|z|2 B.z 的实部为 1C.z 的虚部为i D.z 的共轭复数为1i【知识点】复数的相关概念和运算 L4【答案解析】D 解析：13()12512iiiz i，2(1)z，故 A 错误； z的实部为-1 ，故 B 错误； z的虚部为-1，不是i，故 C 错误；根据共轭复数的定义，复数 abi的共轭复数为 abi，故 D 正确，故选：D【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数 ，然后根据复数的相关概念进行判断即可。3、函数2()
4、xf是( )A.偶函数，在(0 ，)是增函数 B.奇函数，在(0， )是增函数C.偶函数，在(0，) 是减函数 D.奇函数，在(0 ，)是减函数【知识点】函数的奇偶性和单调性；指数函数的性质 B3 B4 B6【答案解析】B 解析：函数 ()fx的定义域为 R，2()()xffx，所以函数为奇函数；函数 ()2fx是增函数， 2xf是减函数，所以 2xf是增函数，则f也是增函数，故选：B【思路点拨】由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数，而指数函数 ()2xf是增函数， ()2xf是减函数，可以判断2()xf是增函数。4、抛物线 y2ax2(a0) 的焦点是( )A.(a，0) B.( a，0)
5、或( 2，0)C.(0，18) D.(0，18)或(0， a)【知识点】抛物线的几何性质 H7【答案解析】C 解析：抛物线的方程化成标准形式为：21(0)xya，其焦点在 y轴上，所以焦点坐标为1(0,)8a，故答案为：C【思路点拨】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标。5、已知1sin4x，则 sin2x 的值为( )A. 78B.916C. 5D. 16【知识点】差角公式；二倍角公式；同角三角函数基本关系式 C2 C5 C6【答案解析】A 解析：21sinsincosincosin444xxxx，12cosi，两边平方得：22 1insicosin8xxx，7s8
6、，故选：A【思路点拨】把已知的式子用差角公式展开、化简，可得到 cosinx的值，两边平方再结合二倍角公式和同角三角函数基本关系式，即可计算出 2的值。6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A.13B.2C. D. 6【知识点】条件概率 K2【答案解析】A 解析：4 人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有：（甲乙丙丁） 、 （甲乙丁丙） 、 （丙甲乙丁） 、 （丙丁甲乙） 、（丁甲乙丙） 、 （丁丙甲乙） 、 （乙甲丙丁） 、 （乙甲丁丙） 、 （丙乙甲丁） 、 （丙丁乙甲） 、（丁乙甲丙） 、 （丁丙乙甲） ，共计 12 种，其中甲丙相邻的
7、有：（丙甲乙丁） 、 （丁丙甲乙） 、 （乙甲丙丁） 、 （丁乙甲丙） 、有 4 种，甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为：4123p，故选：A【思路点拨】用列举法列出 4 人排成一排，其中甲、乙相邻的情况，找出甲丙相邻，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率。7、设向量 a， b 满足|a|b|ab|1，则|atb|(tR)的最小值为( )A. 32B. C.1 D. 2【知识点】向量的模的计算；二次函数的最值 F3 B5 【答案解析】A 解析：由已知得：221ababab，212222134ttttt，当t时， atb有最小值342，故选：A【思路点拨】由已知结合向量的模长计算公式、性质对 1ab进
8、行化简，可得出21ab，代入 atb中，则21atbt，再利用配方法求其最值即可。8、已知 a0， x，y 满足约束条件3()xya，且 2zxy的最小值为 1，则 a( )A.1 B.2 C. 14D. 2【知识点】简单的线性规划 E5【答案解析】D 解析：直线 (3)yax的斜率为正数，经过定点 (3,0)，画出可行域如图：由 2zxy，得 2xz，表示斜率为 2，在 y轴上的截距为 z的直线系，平移直线 ，当其经过可行域内的点 B 时，截距最小， 最小，由12xy，得点 (1,)B，代入 (3)yax可得：12a，故选：D【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，由 zy，得 z 的几何意义
9、是直线的斜率，平移直线 z=2x+y，当过可行域内的点 B 时取得最小值，解出点 B 的坐标，从而得到 a值即可。9、执行如图所示的程序框图，则输出的 a( ) A.5 B.54C.1D.【知识点】含循环结构的程序框图 L1【答案解析】C 解析：第一次循环：，154b， ab， 12n，29成立，进入下一次循环；第二次循环：，145b， 5ab， 213n， 9成立，进入下一次循环；第三次循环：，145， 4ab， 314n， 9成立，进入下一次循环；第四次循环：，154b， ab， 415n， 9成立，进入下一次循环；从这里可以看出，循环具有周期性，周期为 3， 循环结束时， 10n，循环进
10、行了 9 次，输出的 a的值与第三次循环一样，所以14a，故选：C【思路点拨】按照框图中流程线的流向判断循环是否需要进行，写出每次循环的结果，不难得出最后的结果。10、将函数 f(x)sinx( 其中 0) 的图象向右平移 2个单位长度，所得图象关于 6x对称，则 的最小值是 ( )A.6 B.23C.94D.【知识点】函数 sin()yAx的性质 C4【答案解析】D 解析：将函数 ()sinfx的图像向右平移 2个单位后，可得到函数()sin()sin22fxx的图像，又因为所得图像关于 6x对称，所以6kZ，即3,kZ，0，所以当 1k时， 取最小值32，故选：D【思路点拨】由条件根据函数
11、 sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得()62kZ，即3,2kZ，由此可计算出 取最小值。11、已知 a0，且 a1，则函数 f(x)ax(x1)22a 的零点个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关【知识点】函数的零点；指数函数、二次函数 B5 B6 B9【答案解析】B 解析：由2()(1)0xfaa，得2(1)xa，设xya，这是一个指数函数， y，这是一个二次函数，其对称轴为1，开口向下，最大值为 2，与 轴交点的纵坐标为 ，当 时，作出两个函数的图像（如图中的红线部分） ，显然此时两个函数的图像有两个交点，即函数 ()fx有两个零点；当 0a时，作出
12、两个函数的图像（如图中的黑线部分） ，显然此时两个函数的图像也有两个交点，即函数 ()f有两个零点；综上，函数 ()fx恒有两个零点，故选：B【思路点拨】把函数的零点转化成两个简单函数的交点，在同一个坐标系内作出两个函数的图像，利用数形结合法观察两个函数交点的情况即可。因为 a的值不定，故要分类讨论。12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( )A.5B.12 C.20 D.8【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积 G1 G2【答案解析】A 解析：由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为 3，4 的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为 1
13、，1 ，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为： 135，所以球的半径为：52R， 这个几何体的外接球的表面积是：254()， 故选：A【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为 3，4 的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥。把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、8(2)xy的展开式中62xy的系数是_.【知识点】二项式定理 J3【答案解析】56 解析：8(2)xy的展开式的通项为：8 81(2)()rrrrrTCxyCxy，当 时，可得62
14、的系数为：2288()56A，故答案为：56【思路点拨】写出8()xy的展开式的通项，当 2r时，就得到含62xy的项，再求其系数即可。14、实数 x，y 满足 x2y 2，则 3x9y 的最小值是_.【知识点】基本不等式；指数的运算 B6 E6 【答案解析】6 解析：利用基本不等式可得： 2223933xyxxyxy2xy， 22396xyxy，当且仅当 2xy，即1,4时，取等号，故答案为：6【思路点拨】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出结论。15、已知双曲线 C：21xyab(a0，b0)的一条渐近线与直线 l： 30xy垂直，C 的一个焦点到 l 的距离为 1，则 C 的方程为_.
15、【知识点】直线的位置关系和距离公式；双曲线的标准方程和性质 H2 H6【答案解析】23yx解析： 双曲线的一条渐近线与直线 l： 30xy垂直，双曲线的渐近线的斜率为 ，则3ba， 由题意知双曲线的焦点在 x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为 (,0)c，根据点到直线的距离公式，则12c， 2，即 24ab， ，联立，解得2,3ab，所以双曲线的标准方程为：213yx， 故答案为：21yx【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数 ,ab。根据已知可求出渐近线的斜率，得到一个关于 ,ab的方程，再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于的方程，联立两个方程，解出参数 ,即可。16、在
16、ABC 中， 2AB，点 D 在边 BC 上， 2BDC，310cosA，25cosC，则 ACBC _.【知识点】解三角形 C8【答案解析】 35 解析：,23105coscosin,insii,2510CDxAyBxCADyxyx设 则 ，由 正 弦 定 理 得即 化 简 得 10253102sinsi()ADBC，222 2223,4cos4,1,13cos545,3ADBxxxCACDAB在 中 ，即即 解 得 则在 中 ，即,故答案为：【思路点拨】根据三角形的边角关系，利用正弦定理和余弦定理求出 BD，CD 和 AD 的长度，即可得到结论三、解答题：本大题共 70 分，其中(17)(21)题为必考题， (22)，(23)，(24) 题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，Snkn(n1)n(kR)，公差 d 为 2.(1)求 an 与 k；(2)若数列bn 满足 12b， 12()nan，求 bn. 【知识点】等差数列及前 项和；等比数列的前 项和 D2 D3【答案解析】解：（）由题设得 1aSk，214aSk，
