1、河南省顶级名校 2015 届高三入学定位考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ） 2|Mx|2,xNyRMN（A） （B） （C） （D）(0,(0,1)01)0,1【答案】A【解析】试题分析：由 M中不等式变形得： ，解得： ，即 ；()xx,由 N中的 ，即 ，则 ，故选 A.20xy,N(0,1MN考点：交集及其运算.2已知复数 ，则 z的虚部是 （ ） 321iz（A） （B） （C） （D） 15515i25【答案】B【解析】试题分析：由 ，则复数 z的虚部是 ，故3(12)2125iiiz ii 15选 B.考点：复数代数形式的乘法运算.3某学生在一门功课的
2、 22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ）（A）117 （B）118 （C） 1185 （D）1195【答案】B【解析】试题分析：22 次考试分数最大为 98，最小为 56，所以极差为 98-56=42，从小到大排列，中间两数为 76,76，所以中位数为 76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 42+76=118，故选 B.考点：茎叶图.4已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的渐近21()myxR215yx线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）3yx3yx3yx3yx【答案】A【解析】试题分析：椭圆 的焦点坐标为 ，双
3、曲线 的焦点坐215yx(0,2)21()myxR标为 ，1(0,)m双曲线 与椭圆 有相同的焦点， ，2()yxR215yx12m，双曲线的渐近线方程为 ，故选 A.133考点：双曲线的简单性质.5有 3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ ）（A） （B） （C） （D）1122334【答案】A【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 种结果，满9足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有 3种结果，根据古典概型概率公式得到 ，故选 A.319P考点：
4、古典概型及其概率计算公式.6在各项均为正数的等比数列 中，若 ，数列 的前 项na12()mmana积为 ，若 ，则 的值为（ ）nT215m（A）4 （B）5 （C） 6 （D） 7【答案】B【解析】试题分析：设数列 的公比为 q， ， ，na11,maq12mma ， ，解得 或 （舍） ， ，20mmaq20m2m0nT，215mT ， ，解得 ，故选 B.9219m5考点：等比数列的前 n项和.7设偶函数 的部分图象如图所示，()si()0,)fxAx为等腰直角三角形， ， ，则 的值为（ ）KLM9KLM|1L(6f（A） （B） （C） （D）3414234【答案】D【解析】试题分
5、析： 的部分图象如图所示，()sin()0,)fxAx为等腰直角三角形， ， ， ， ，KLM9KLM|1L,2AT，函数为偶函数， ， ，函数解析式为 ，021()sin()2fxx ，故选 D.113()sin()cos62264f考点：由 的部分图象确定其解析式.iyAx8执行如图中的程序框图，若输出的结果为 21,则判断框中应填（ ）（A） （B） （C） （D）5i6i7i8i【答案】C【解析】试题分析：模拟程序框图执行过程，如下；开始， ，不输出，进入循环，1 是奇数？是， ，,0is 201,12si不输出，进入循环，2 是奇数？否， ，不输出，进入循环，213,si3是奇数？是
6、， ，不输出，进入循环，236,34si4是奇数？否 ，不输出，进入循环，41055是奇数？是， ，不输出，进入循环，25,6si6是奇数？否， ，退出循环，输出 21，67判断框中的条件是： 7?i故选 C考点：程序框图.9如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）（A）54 （B）27 （C）18 （D） 9【答案】C【解析】试题分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长 6，宽 3；体高为3则 ，故选：C16318VSh考点：由三视图求面积、体积.10抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，弦 中点24yxF,AB012AFBA在其准线上的射影为 ，则 的最大
7、值为（ ）MN|M（A） （B） （C） （D）323343【答案】A【解析】试题分析：设 ，由抛物线定义， ,Fab2MNab而余弦定理， ，220| cos1()AB再由 ，得到 ，所以 的最大值为 ，故选：Aab3|()ab|AB3考点：双曲线的简单性质.11四面体 ABCD的四个顶点都在球 O的表面上， 平面 BCD， 是边长为 3的等CD边三角形.若 ，则球 O的表面积为（ ）2AB（A） （B） （C） （D）31162【答案】C【解析】试题分析：取 的中点 E，连结 AE，BE，在四面体 ABCD中，AB平面 BCD，BCD 是CD边长为 3的等边三角形RtABCRtABD，AC
8、D 是等腰三角形，BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB的中垂线 HO于 O，O 为外接球的中心， ，3,2BE，四面体 ABCD外接球的表面积为： ，故221()31RBGA 2416R选 C.考点：球的体积和表面积.12函数 在 上的最大值为 2，则 a的取值范围是（ 321,(0)()axfxe2,） （A） （B） （C） （D）1ln2,)10,ln2(,0)1(,ln2【答案】D【解析】试题分析：先画出分段函数 f（x）的图象，如图当 x-2，0上的最大值为 2；欲使得函数 在 上的最大值为 2，则当 时， 的值必须321(0)()axfxe2,xae小于等于 2，即 ，解得
9、： ，1(,ln故选 D.考点：函数最值的应用.二、填空题13若点 满足线性约束条件 ，则 的取值范围是 (,)Pxy20xyzxy【答案】 2,0)【解析】试题分析：作出不等式组 所表示的平面区域，如图：20xy作出直线 x-y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z 取得最大值0，当直线经过点（-2，0）时，Z 取得最小值-2，所以 Z的取值范围为-2，0） 故答案为：-2，0） 考点：简单线性规划.14若 二项展开式中的第 5项是常数项，则中间项的系数为 2()nx【答案】 160【解析】试题分析： 二项展开式中的第 5项是常数项， ，令2()nx 4215()nTC
10、x，则 ，该展开式中共有 7项中间项是：第四项：10n6中间项的系数为：-160故答案为：-1603129346()0TCx考点：二项式系数的性质.15设 O是 的三边中垂线的交点， 分别为角 对应的边，已知AB,abc,ABC，则 的范围是_220bcO【答案】 1,)4【解析】试题分析：设 O是ABC 的三边中垂线的交点，故 O是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长 AO交外接圆于 D AD 是O 的直径，ACD=ABD=90 ， ，cosACDcosABD 11()22ABCAB|cs|cs22|1bc（ ）22()22cb.14 ，解得 ，令 ，当 时， 取得220cb2b21()4fb
11、12b()f最小值 .14又 ， ，即 的取值范围是 .(),(2)ff1()4fBCAO,)考点：平面向量数量积的运算.16已知有限集 .如果 A中元素 满123,(2,)nAaN (1,23,)ian足 ，就称 A为“复活集” ，给出下列结论：12na 集合 是“复活集” ；若 ，且 是“复活集” ，则5,212,aR12,a；若 ，则 不可能是“复活集” ；若 ，则“复活集”124a*1,aN12,a*iNA有且只有一个，且 .3n其中正确的结论是_ （填上你认为所有正确的结论序号）【答案】【解析】试题分析： ，故是正确的；不妨设1515122，则由韦达定理知 是一元二次方程 的两个根，
12、由121at1,a20xt，可得 ，或 ，故错；不妨设 A中 ，由04123naa，得 ，当 时，即有123123nna 23n ， ，于是 ， 无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故正a2a2确当 时， ，故只能 ，求得 ，于是“复活集”A 只有一121,3a个，为1，2，3当 时，由 ，即有 ，4n2312(1)nn (1)!n也就是说“复活集”A 存在的必要条件是 ，事实上，()!，矛盾，当 时不存在复22(1)!()3()nnnn4n活集 A，故正确故答案为：考点：元素与集合关系的判断.三、解答题17在 中，角 对的边分别为 ，已知 .BC,abc2（）若 ，求 的取值范围；3Abc
13、（）若 ，求 面积的最大值.1ABC【答案】 （1） ；（2） .(,4c【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、基本不等式、三角形面积公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用正弦定理将 b和 c转化成角，再利用两角和的正弦公式展开，将表达式化简成 的形式，利用角 ，得到 B角的范围，sin()3Bsin()AxB3A利用三角函数的有界性求函数值域即 b+c的取值范围；第二问，利用余弦定理，利用基本不等式求出 bc的取值范围，再利用向量的数量积将 展开，利用平方关系求出C，最后代入到三角形面积公式中得到面积的
14、最大值.sinA试题解析：（1） ， （ 2 分）2,3aA43sinaR4432sinsiisisinsi()3co()6bRBCBCB2250336A 1sin()(,62.(,4bc（ 6 分）（2） ， （8 分）cos1ABCbA 1cos0b21sinbcA2 22 24639a（ 10 分）22111sin 922ABCbcSbcbc 当且仅当 时, 的面积取到最大值为 . （12 分）3ABC考点：正弦定理、余弦定理、向量的数量积、基本不等式、三角形面积公式、两角和的正弦公式.18如图，四棱锥 中，底面 ABCD为菱形， ，Q 是 AD的中点.PD06BAD（）若 ，求证：平面
15、 PQB 平面 PAD；A（）若平面 APD 平面 ABCD，且 ，点 M在线段 PC上，试确定点 M2AP的位置，使二面角 的大小为 ，并求出 的值.MBQC06C【答案】 （1）证明过程详见解析；（2） .13PMC【解析】试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问， 为等PAD腰三角形，Q 为 AD中点，所以 ，又由于底面 ABCD为菱形，得到 ，利PQADBQ用线面垂直的判定得到 平面 PQB，最后利用面面垂直的判定得到结论；第二问，利用面面垂直的性质得到两两垂直关系，建立空间直角坐标系，写出面内所有点的坐标，得到向量坐标试题解析：（1） ，Q 为 AD的中点， ，PQAD又 底面 ABCD为菱形， ， ,06BAD又 平面 PQB，又 平面 PAD,PQ平面 PQB 平面 PAD;（2） 平面 PAD 平面 ABCD,平面 平面 , 平面PABCDPQAABCD.以 Q为坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系如图.
