1、河北省唐山市 2015 届高三 9 月模拟考试数学（理）试题说明：1本试卷分为第卷和第 卷，第卷为选择题，第 卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ，按照“注意事项 ”的规定答题.3做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、已知集合 M x|x1， Nx|2 x 20，则 MN( )A.1，) B.1 ， 2C.
2、2，) D.(， 1，)2、复数 z 3i，则( )A.|z|2 B.z 的实部为 1C.z 的虚部为i D.z 的共轭复数为 1i3、函数 f(x) x是( )A.偶函数，在(0 ，)是增函数 B.奇函数，在(0 ，) 是增函数C.偶函数，在(0，)是减函数 D.奇函数，在(0 ，) 是减函数4、抛物线 y 2ax2(a0)的焦点是 ( )A.( ，0) B.( 2a，0)或( ，0)C.(0， 18a) D.(0， 18)或(0， 18a)5、已知 sin(4x，则 sin2x 的值为( )A. 78B. 916C. 156D. 1566、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念
3、，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A. 13B. 23C. 12D. 167、设向量 a，b 满足|a |b| |ab| 1，则| atb|(tR) 的最小值为( )A. 2B. 2C.1 D.28、已知 a0，x ，y 满足约束条件 3()xya，且 z2xy 的最小值为 1，则 a( )A.1 B.2 C. 14D. 29、执行如图所示的程序框图，则输出的 a( )A.5 B. 54C. D. 4510、将函数 f(x)sinx(其中 0) 的图象向右平移 2个单位长度，所得图象关于 6x对称，则 的最小值是 ( )A.6 B. 23C. 94D. 3411、已知 a0，且 a1，则
4、函数 f(x)a x(x1) 22a 的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( )A.5 B.12 C.20 D.8第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、 8(2)xy的展开式中 62xy的系数是_.14、实数 x，y 满足 x2 y2，则 3x9 y 的最小值是_.15、已知双曲线 C： 1ab(a0，b0)的一条渐近线与直线 l： 30xy垂直，C 的一个焦点到 l 的距离为 1，则 C 的方程为_.16、在 ABC 中， 2AB，点 D 在边 BC 上， 2BDC， 1cos
5、0A，25cos，则 ACBC_.三、解答题：本大题共 70 分，其中(17)(21)题为必考题， (22)，(23)，(24) 题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nkn( n1)n(kR )，公差 d 为 2.(1)求 an 与 k；(2)若数列 bn满足 12， 12nanb(n2)，求 bn. 18(本小题满分 12 分)某大学外语系有 5 名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务 )。(1)求 5 名大学生中恰有
6、2 名被分配到体操项目的概率；(2)设 X，Y 分别表示 5 名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列和数学期望 E().19(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点.(1)求证：A 1B平面 ADC1；(2)若 ABAC，ABAC1，AA 12，求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.20(本小题满分 12 分)椭圆 C：21xyab(ab0)的离心率为 35，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点斜率为 45的直线 l 交 C 于 A、 B 两点. 当 m0 时， 412AB(1)求
7、C 的方程；(2)证明： 22|P为定值.21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) 2exax2( aR)(1)讨论函数的单调性；(2)若 f(x)0 恒成立，证明：x 1x 2 时， 121()()xfxfe请考生在第(22)，(23)，(24) 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22(本小题满分 10 分)选修 4 1：几何证明选讲如图，O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B，C，T，且与 AT 相切，交 AB 的延长线于点 D.(1)求证：AT 2BTAD ；(2)E、F 是 BC 的三等分点，且 DEDF
8、，求 A.23(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线 C：2sincosa(a0)，过点 P(2 ，4)的直线 l 的参数方程为24xty(t 为参数)，l 与 C 分别交于 M，N.(1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程；(2)若| PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值.24(本小题满分 10 分)选修 4 5：不等式选讲设函数 (|fxxm(m0)(1)证明：f (x)4；(2)若 f（ 2）5 ，求 m 的取值范围。参考答案所以 bn n4n . 11 分2(1 4n)9
9、 23 2(3n 1)4n 19明显，n 1 时，也成立综上所述，b n 12 分2(3n 1)4n 19（18 ） （本小题满分 12 分）解： （）设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为 Ai， （i0，1 ，2，3，4 ，5） ，则 P(A2) 4 分CC25 516（） 的所有可能取值是 1，3 ，5P(1)P(A 2A 3)P(A 2)P(A 3) ；CC25 CC25 58P(3)P(A 1A 4)P (A1)P( A4) ；CC25 CC25 516P(5)P(A 1A 4) P(A 0)P(A 5) CC25 C25 116则随机变量 的分布列为 1 3 5P 5
10、8 516 11610 分则 的数学期望 E()1 3 5 12 分58 516 116 158（19 ） （本小题满分 12 分）解：（）连接 A1C，交 AC1 于点 E，则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点连接 DE，则 DEA 1B因为 DE平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1 4 分（）建立如图所示空间直角坐标系 Axyz则 A(0，0，0) ， B(1，0，0)， C(0，1，0) ，C1(0，1，2) D( ，0) ， 1212( ，0) ， (0，1，2)6 分AD 1212 AC1 设平面 ADC1 的法向量 m(x，y ，z )，则不妨取 m(2，2， 1) 9
11、分12x 12y 0，y 2z 0，)易得平面 ABA1 的一个法向量 n (0，1，0) 10 分AC cos ，mn|m|n| 23平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值是 12 分53（20） （本小题满分 12 分）解：（）因为离心率为 ，所以 35 ba 45当 m0 时，l 的方程为 y x，45代入 并整理得 x2 2 分x2a2 y2b2 1 a22设 A(x0，y 0)，则 B(x 0，y 0)， x y x PA PB 02 02 412502 4125 a22又因为 ，所以 a225，b 216，PA PB 412椭圆 C 的方程为 5 分x225 y216 1
12、（）l 的方程为 x ym，代入 并整理得 25y220my 8(m 225)054 x225 y216 1设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|PA| 2( x1m) 2y y ，同理|PB| 2 y 8 分12411612 41162A1B1C1ABCDExyz则|PA| 2|PB| 2 ( y y ) (y1y 2)22y 1y24116 12 2 4116 ( )2 414116 4m5 16(m2 25)25所以，|PA| 2 |PB|2 是定值 12 分（21 ） （本小题满分 12 分）解：（）f (x)2e xa若 a0，则 f(x)0 ，f (x)在(，) 上单调
13、递增；若 a0，则当 x (，ln )时，f (x)0，f (x)单调递减；a2当 x (ln ， )时，f (x)0，f (x)单调递增 4 分a2（）证明：由（）知若 a0 ，f (x)在( ，)上单调递增，又 f(0)0 ，故 f(x)0 不恒成立若 a0，则由 f(x)0f (0)知 0 应为极小值点，即 ln 0，a2所以 a 2，且 ex1 x，当且仅当 x0 时，取“” 7 分当 x1x 2 时，f (x2)f (x1)2(e x2e x1)2(x 2x 1)2e x1(ex2 x11)2 (x2x 1)2e x1(x2x 1)2( x2x 1)2(e x1 1) (x2x 1)
14、，所以 2(e x11) 12 分f(x2) f(x1)x2 x1注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲解：（）证明：因为ATCB，ATBTCB，所以AATB ，所以 AB BT.又 AT 2AB AD，所以 AT 2BTAD 4 分（）取 BC 中点 M，连接 DM，TM 由（）知 TCTB，所以 TMBC因为 DEDF ，M 为 EF 的中点，所以 DMBC所以 O， D，T 三点共线，DT 为O 的直径所以ABTDBT90 .所以AATB 45 . 10 分（23 ） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解
15、：（）曲线 C 的直角坐标方程为 y22ax（a0 ） ；直线 l 的普通方程为 xy20 4 分（）将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得t22(4a) t8(4a)0 （*）2MFEDABTC8a (4a) 0设点 M，N 分别对应参数 t1，t 2，恰为上述方程的根则|PM|t 1|， |PN|t 2|，|MN|t 1t 2|由题设得(t 1t 2)2|t 1t2|，即(t 1t 2)24t 1t2|t 1t2|由（*）得 t1t 22(4a) ，t 1t28(4 a )0，则有2(4a) 25(4 a)0 ，得 a1 ，或 a4因为 a 0，所以 a1 10 分（24 ） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：（）由 m0，有 f(x) |x |x m|4m | (x )x m | m4，4m 4m当且仅当 m，即 m2 时取 “” 所以 f(x)4 4 分4m（）f (2) |2 | |2m |4m当 2，即 m2 时，f (2)m 4 ，由 f(2)5，得 m 4m 4m 1 172当 2，即 0m2 时，f (2) m，由 f(2)5，0 m14m 4m综上，m 的取值范围是(0，1) ( ， ) 10 分1 172
