1、河北省唐山市 2015 届高三 9 月模拟考试数学（文）试题说明：1本试卷分为第卷和第 卷，第卷为选择题，第 卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、已知集合 M x|x1， Nx|2 x 20，则 MN( )A. 2，) B.1 ， 2C.1
2、，) D.(， 1，)2、复数 z 3i，则( )A.|z|2 B.z 的实部为 1C.z 的虚部为i D.z 的共轭复数为1 i3、函数 f(x) x是( )A.偶函数，在(0 ，)是增函数 B.奇函数，在(0 ，) 是增函数C.偶函数，在(0，)是减函数 D.奇函数，在(0 ，) 是减函数4、抛物线 y 2x2 的准线方程是( )A.x 1 B.x 12 C.y 18 D.y 185、已知 sin()4，则 sin2x 的值为( )A. 16B. 916C. 78D. 1566、甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是( )A. 23 B. 3 C. 12 D.7、执行如图所示的程序框
3、图，则输出的 a( )A. 54B. 14C.5 D. 457、设向量 a，b 满足|a |b| |ab| 1，则| atb|(tR) 的最小值为( )A.2 B. 2C.1 D. 329、将函数 ()sin)6fx的图象关于 x 6对称，则 的值可能是( )A. 12 B. 32 C.5 D.210、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 43 B. 56 C. 55 D. 3511、已知 a0，x ，y 满足约束条件13()xya，且 z 2xy 的最小值为 1，则 a( )A. 14B. 2C.1 D.212、已知 a0，且 a1，则函数 f(x)a x(x1) 22a
4、 的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、函数 f(x)log 2(2x1)的定义域为_.14、实数 x，y 满足 x2 y2，则 3x9 y 的最小值是_.15、已知双曲线 C： 1ab(a0，b0)的一条渐近线与直线 l： 30xy垂直，C 的一个焦点到 l 的距离为 1，则 C 的方程为_.16、在 ABC 中， 2AB，点 D 在边 BC 上， 2BDC， 1cos0A，25cos，则 ACBC_.三、解答题：本大题共 70 分，其中(17)(21)题为必考题， (22)，(23)，(24) 题为选
5、考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nkn( n1)n(kR )，公差 d 为 2.(1)求 an 与 k；(2)若数列 bn满足 12， 12nanb(n2)，求 bn. 18(本小题满分 12 分)某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过 35时，室外连续工作时间严禁超过 100 分钟；不少于 60 分钟的，公司给予适当补助 .随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图 (如图)，其中工作时间范围是0，100 ，样本数据分组为0 ，20)，20，40)，4
6、0.60)， 60，80)，80，100.(1)求频率分布直方图中 x 的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取 25 人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？19(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点.(1)求证：A 1B平面 ADC1；(2)若 ABAC ，BCAA 12，求点 A1 到平面 ADC1 的距离 .20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) 2exax2( aR)(1)讨论函
7、数的单调性；(2)当 x0 时，f( x)0，求 a 的取值范围.21(本小题满分 12 分)椭圆 C：21xyab(ab0)的离心率为 35，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点斜率为 45的直线 l 交 C 于 A、 B 两点. 当 m0 时， 412AB(1)求 C 的方程；(2)求证： 22|P为定值.请考生在第(22)，(23)，(24) 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22(本小题满分 10 分)选修 4 1：几何证明选讲如图，O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B，C，T，且与 AT 相切
8、，交 AB 的延长线于点 D.(1)求证：AT 2BT AD；(2)E、F 是 BC 的三等分点，且 DEDF，求 A.23(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：2sincosa(a0)，过点 P(2 ，4)的直线 l 的参数方程为24xty(t 为参数)，l 与 C 分别交于 M，N.(1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程；(2)若| PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值.24(本小题满分 10 分)选修 4 5：不等式选讲设函数 (|fxxm(m0)(1)证明：f (
9、x)4；(2)若 f(2)5，求 m 的取值范围 .参考答案一、选择题：A 卷：CDBCA BCDCD BAB 卷：ADBCC ACDDC BB二、填空题：（13 ） （ ， ） （14）6 （15）x 2 1 （16）3 12 y23 5三、解答题：（17 ） （本小题满分 12 分）解：（）由题设得 a1S 12 k1，a2 S2S 14k1，由 a2a 12 得 k1，则 a11 ，a na 1( n1) d2n1. 4 分（）b nb n1 2 b n2 2 2 b 12 2 2 2 an an 1 an a2 a3 an 1 an 由（）知 2 2 2n1 ，又因为 b12，所以an
10、 bn 212 32 52 2n3 2 2n1 2(1 4n)1 4 2(4n 1)3明显，n 1 时，也成立综上所述，b n 12 分2(4n 1)3（18 ） （本小题满分 12 分）解：（）由直方图可得：20(x0.02500.00650.0030 0.0030)1，解得 x0.0125 4 分（）设中位数为 t，则200.0125(t 20) 0.02500.5 ，得 t30.样本数据的中位数估计为 30 分钟 8 分（）享受补助人员占总体的 12%，享受补助人员占总体的 88%因为共抽取 25 人，所以应抽取享受补助人员 2512%3 人，抽取不享受补助人员 2588%22 人 12
11、 分（19 ） （本小题满分 12 分）解：（）连接 A1C，交 AC1 于点 E，则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点连接 DE，则 DEA 1B因为 DE平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC14 分（）由（）知 A1B平面 ADC1，则点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等，又点 D 是 BC 的中点，点 C 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等，则 C 到与平面ADC1 的距离即为所求6 分因为 ABAC，点 D 是 BC 的中点，所以 ADBC，又 ADA 1A，所以 AD平面 BCC1B1，平面 ADC1平面 BCC1B1A1B1C1ABCDEF作于 CFDC 1
12、 于 F，则 CF平面 ADC1，CF 即为所求距离 10 分在 Rt DCC1 中，CF DCCC1DC1 255所以 A1 到与平面 ADC1 的距离为 12 分255（20 ） （本小题满分 12 分）解：（）f (x)2e xa若 a0，则 f(x)0 ，f (x)在(，) 上单调递增；若 a0，则当 x( ，ln )时，f (x)0 ，f (x)单调递减；a2当 x(ln ，)时，f (x)0 ，f (x)单调递增 5 分a2（）注意到 f(0)0若 a0，则当 x0，) 时，f (x)单调递增，f (x)f (0)0 ，符合题意若 ln 0，即 0a 2 ，则当 x0，)时，f (
13、x)单调递增， f(x)f (0)0 ，符合题a2意若 ln 0，即 a2，则当 x(0，ln )时，f (x)单调递减，f (x)0 ，不合题意a2 a2综上所述，a 的取值范围是( ，2 12 分（21 ） （本小题满分 12 分）解：（）因为离心率为 ，所以 35 ba 45当 m0 时，l 的方程为 y x，45代入 并整理得 x2 2 分x2a2 y2b2 1 a22设 A(x0，y 0)，则 B(x 0，y 0)， x y x PA PB 02 02 412502 4125 a22又因为 ，所以 a225，b 216，PA PB 412椭圆 C 的方程为 5 分x225 y216
14、1（）l 的方程为 x ym，代入 并整理得54 x225 y216 125y220my8(m 225) 0设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|PA| 2( x1m) 2y y ，同理|PB| 2 y 8 分12411612 41162则|PA| 2|PB| 2 ( y y ) (y1y 2)22y 1y24116 12 2 4116 ( )2 414116 4m5 16(m2 25)25所以，|PA| 2 |PB|2 是定值 12 分（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲解：（）证明：因为ATCB，ATBTCB，所以AATB ，所以 AB BT.又 AT
15、 2AB AD，所以 AT 2BTAD 4 分（）取 BC 中点 M，连接 DM，TM 由（）知 TCTB，所以 TMBC因为 DEDF ，M 为 EF 的中点，所以 DMBC所以 O， D，T 三点共线，DT 为O 的直径所以ABTDBT90 .所以AATB 45 . 10 分（23 ） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（）曲线 C 的直角坐标方程为 y22ax（a0 ） ；直线 l 的普通方程为 xy20 4 分（）将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得t22(4a) t8(4a)0 （*）28a (4a) 0设点 M，N 分别对应参数 t1，t 2
16、，恰为上述方程的根则|PM|t 1|， |PN|t 2|，|MN|t 1t 2|由题设得(t 1t 2)2|t 1t2|，即(t 1t 2)24t 1t2|t 1t2|由（*）得 t1t 22(4a) ，t 1t28(4 a )0，则有2(4a) 25(4 a)0 ，得 a1 ，或 a4因为 a 0，所以 a1 10 分（24 ） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：（）由 m0，有 f(x) |x |x m|4m | (x )x m | m4，4m 4m当且仅当 m，即 m2 时取 “” 所以 f(x)4 4 分4mMFEDABTC（）f (2) |2 | |2m |4m当 2，即 m2 时，f (2)m 4 ，由 f(2)5，得 m 4m 4m 1 172当 2，即 0m2 时，f (2) m，由 f(2)5，0 m14m 4m综上，m 的取值范围是(0，1) ( ， ) 10 分1 172
