1、河北省唐山市 2015 届高三年级摸底考试理科数学试卷（带解析）1已知集合 Mx|x1，Nx|2x 20，则 MN( )A.1，) B.1， C. ，) D.(， 1，)2【答案】C【解析】试题分析：由已知，Mx|x1，Nx| x 2故 MNx|x ，选 C2考点:集合运算，简单一元二次不等式2复数 z ，则( )13iA.|z|2 B.z 的实部为 1C.z 的虚部为i D.z 的共轭复数为1i【答案】D【解析】试题分析：z (3)2ii故|z| ，A 错；z 的实部为1，B 错；z 的虚部为1，C 错，z 的共轭复数为21i，D 正确考点:复数的基本概念及代数运算3函数 f(x) 是( )
2、2xA.偶函数，在(0，)是增函数B.奇函数，在(0，)是增函数C.偶函数，在(0，)是减函数D.奇函数，在(0，)是减函数【答案】B【解析】试题分析：因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数又因为 y2 x是增函数，y2 x 为减函数，故 为增函数，选 B2()xf考点:函数的奇偶性和单调性.4抛物线 y2ax 2(a0)的焦点是( )A.( ，0) B.( ，0)或( ，0)2aa2aC.(0， ) D.(0， )或(0， )181818【答案】C【解析】试题分析：将方程改写为 ，可知 2p ，当 a0 时，焦点为(0，2yxa1|2)，即(0， )；1|8a18a当 a0 时，焦点
3、为(0， )，即(0， )；综合得，焦点为(0， )，选 C|18a18a考点:抛物线的基本概念5已知 ，则 sin2x 的值为( )1sin()4xA. B. C. D.78965156【答案】A【解析】试题分析： .选 A2217sin2cos(2)sin()()448xxx考点:三角函数恒等变换，二倍角公式6高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A. B. C. D.13216【答案】A【解析】试题分析：4 人排成一排，其中甲乙相邻的情况有：(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)
4、、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙甲)，共计 12 种，其中同时甲丙相邻的只有 4 种，故概率为 P 4123考点:条件概率7设向量 a，b 满足|a|b|ab|1，则|atb|(tR)的最小值为( )A. B. C.1 D.2321【答案】A【解析】试题分析：由于|a|b|ab|1，于是|ab| 21，即 a22abb 21，即 ab 2|atb| 2a 22tabt 2b2(1t 2)2tabt 2t1 ，故|atb|的最小值为34.选 A3考点:平面向量基本运算8已知 a0，x，y 满足约束条件 ，且 z2xy 的最小值为 1，则 a( )13()xyaA
5、.1 B.2 C. D.142【答案】D【解析】试题分析：画出可行域，由于 z2xy 与 x 均正相关，因此直线 2xyz 在 x 轴上截距最小时，z 取得最小值为 1，此时，直线 2xy1 应经过 x1 与 ya(x3)的公共点 A该点坐标为 A(1，1)，故 a .选 D2x1ya (x3)2x yzxy3y0 x31A考点:线性规划9执行如图所示的程序框图，则输出的 a( )A.5 B. C. D.54145【答案】C【解析】试题分析：该程序每循环一次，n 增加 1，当 n10 时跳出循环，故需要循环 9 次，每一次循环将 1 的值赋予新的 a，因此，9 次运算的 a 值依次为：5， ，
6、 ，5，a 41， ，5， ， ，因此最后输出的 a 值为 .选 C444考点:程序框图10将函数 f(x)sinx(其中 0)的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于2对称，则 的最小值是( )6xA.6 B. C. D.23943【答案】D【解析】试题分析：将 f(x)sinx 的图象向左平移 个单位，所得图象关于 x ，26说明原图象关于 x 对称，于是 f( )sin( )1，故2333(kZ)，3k (kZ)，由于 0，故当 k0 时取得最小值 .选23k4 34D考点:三角函数的图象与性质11已知 a0，且 a1，则函数 f(x)a x(x1) 22a 的零点个数为( )A.1 B
7、.2 C.3 D.与 a 有关【答案】B【解析】试题分析：设 g(x)2aa x，h(x)(x1) 2，注意到 g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论 a1 还是 0a1，g(x)与 h(x)的图象都必定有两个公共点0 a1a110 xy考点:函数图象及其性质，零点的个数12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( )A.5 B.12 C.20 D.8【答案】A【解析】试题分析：原几何体是一个侧放的四棱锥，四棱锥的底面为侧视图，即边长为 1的正方形，高为正视图和俯视图的底边，长度为 ，其外接圆的直径平方为高与底面对3角线的平方和，即 ，即 R ，外接球的表面积为
8、222()()R5.选 A245S考点:三视图，球面的面积13 的展开式中 的系数是_.8(2)xy62xy【答案】56【解析】试题分析：原二项式展开式的通项公式为 81(2)rrrTCxy令 r2，得 ，系数为 56.2662385TCxyx考点:二项式定理14实数 x，y 满足 x2y2，则 3x9 y的最小值是_.【答案】6【解析】试题分析：3 x9 y3 x3 2y2 22236xyxy考点:基本不等式15已知双曲线 C： (a0，b0)的一条渐近线与直线 l： 垂直，21a 30xyC 的一个焦点到 l 的距离为 1，则 C 的方程为_.【答案】x 2 13y【解析】试题分析：由已知
9、，一条渐近线方程为 ，即30xy3ba又 ，故 c2，即 a2b 24，解得 a1，b313c双曲线方程为 x2 13y考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式16在ABC 中， ，点 D 在边 BC 上， ， ，2AB2BDC310cosA，则 ACBC_.25cosC【答案】3 5【解析】试题分析：ADC 中，由 cosDAC ，得 sinDAC ，31010同理，由 cosC ，得 sinC255于是，sinADCsin(DACC) 10231052由正弦定理： ，sinsiACDA由此得： ，5又 BC3DC于是，在ABC 中，由余弦定理，得22cosABCABC2
10、2255953DD2由 ，得 DC1AB从而 BC3，AC 5即 ACBC3考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理17已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nkn(n1)n(kR)，公差 d 为 2.(1)求 an与 k；(2)若数列b n满足 ， (n2)，求 bn. 12b12nan【答案】(1)a n2n1，k1；(2)b n 3419【解析】试题分析：(1)先直接写出 a1，a 2，由 d2 求出 k，再利用数列中 an与 Sn之间的关系求出 an；(2)先利用叠加法求出 bn满足的关系式，再利用错位相减法求出 bn.试题解析：()由题设得 a1S 12k1，a2S 2S
11、 14k1，由 a2a 12 得 k1，则 a11，a na 1(n1)d2n1. 4 分()b nb n1 n b n2 (n1) na12nanab 12 3 (n1) n2a3a12nana由()知 2 2n1 ，又因为 b12，所以nbn(b nb n1 )(b n1 b n2 ) (b 2b 1)b 112 122 332 5 (n1)2 2n3 n2 2n1 ，4bn12 322 532 7 (n1)2 2n1 n2 2n1 ， 7 分所以3b n2 12 32 5 2 2n1 n2 2n1 2n4 n，n所以 bn n4n . 11 分349n明显，n1 时，也成立综上所述，b
12、n 12 分2319n考点:等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和18某大学外语系有 5 名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。(1)求 5 名大学生中恰有 2 名被分配到体操项目的概率；(2)设 X，Y 分别表示 5 名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列和数学期望 E().【答案】(1) ；(2)168【解析】试题分析：试题解析：()设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为Ai，(i0，1，2，3，4，5)，则 P(A2) 4 分35C16() 的所有可能
13、取值是 1，3，5P(1)P(A 2A 3)P(A 2)P(A 3) ；235C258P(3)P(A 1A 4)P(A 1)P(A 4) ；1452156P(5)P(A 1A 4) P(A 0)P(A 5) 05C1则随机变量 的分布列为 1 3 5P 5861则 的数学期望 E( )1 3 5 12 分5816158考点:随机事件的分布列，期望与方差19如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，点 D 是 BC 的中点.(1)求证：A 1B平面 ADC1；(2)若 ABAC，ABAC1，AA 12，求平面 ADC1与 ABA1所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) 53【解析】试题
14、分析：(1)通过“平面外的直线平行于平面内的直线”证明线面平行；(2)通过两平面的法向量求出二面角的余弦值，再转化为正弦值即可.试题解析：()连接 A1C，交 AC1于点 E，则点 E 是 A1C 及 AC1的中点连接 DE，则 DEA 1B因为 DE平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1 4 分()建立如图所示空间直角坐标系 AxyzA1B1C1ABCDExyz则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2) D( ， ，0)， 2( ， ，0)， (0，1，2) 6 分AAC设平面 ADC1的法向量 m(x，y，z)，则,不妨取 m(2，2， 1) 9 分1
15、02xyz易得平面 ABA1的一个法向量 n (0，1，0) 10 分ACcos ，m23平面 ADC1与 ABA1所成二面角的正弦值是 12 分53考点:空间几何体，空间线面关系，空间向量20椭圆 C： (ab0)的离心率为 ，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过2xya5P 点斜率为 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m0 时，45 412PAB(1)求 C 的方程；(2)证明： 为定值.22|P【答案】(1) ；(2)41156xy【解析】试题分析：(1)用坐标表示向量，利用 可求的椭圆相关数据，从PAB412而得到方程；(2)将|PA| 2|PB| 2通过坐标转化为 m
16、的表达式，证明该表达式与 m 的值无关.试题解析：()因为离心率为 ，所以 35ba45当 m0 时，l 的方程为 y x，4代入 并整理得 x2 2 分21xyab设 A(x0，y 0)，则 B(x 0，y 0)， PAB241522a又因为 ，所以 a225，b 216，椭圆 C 的方程为 5 分2156xy()l 的方程为 x ym，代入 并整理得 25y220my8(m 225)0542156xy设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|PA| 2(x 1m) 2 ，同理|PB| 2 8 分12142y则|PA| 2|PB| 2 ( ) (y1y 2)22y 1y24626 (
17、 )2 4141655所以，|PA| 2|PB| 2是定值 12 分考点:椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量，定值问题21已知函数 f(x)2e xax2(aR)(1)讨论函数的单调性；(2)若 f(x)0 恒成立，证明：x 1x 2时， 121()()xfxfe【答案】(1)当 x (，ln )时，f (x)单调递减；当 x (ln ， )时，f (x)单调递a2a增(2)见解析【解析】试题分析：(1)利用导数值的正负，通过对 a 范围的讨论，找出相应单调区间；(2)先确定 a 的范围，然后利用(1)的结论找出 f(x2)f (x1)与 x2x 1的关系式，试题解析：()
18、f (x)2e xa若 a0，则 f(x)0，f (x)在(，)上单调递增；若 a0，则当 x (，ln )时，f (x)0，f (x)单调递减；2当 x (ln ， )时，f (x)0，f (x)单调递增 4 分()证明：由()知若 a0，f (x)在(，)上单调递增，又 f(0)0，故 f(x)0不恒成立若 a0，则由 f(x)0f (0)知 0 应为极小值点，即 ln 0，2a所以 a2，且 ex1x，当且仅当 x0 时，取“” 7 分当 x1x 2时，f (x2)f (x1)2(e x2e x1)2(x 2x 1)2e x1(ex2x1 1)2(x 2x 1)2e x1(x2x 1)2(x 2x 1)2(e x11) (x 2x 1)，所以 2(e x11) 12 分21ff注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分考点:利用导数讨论函数的单调性，分类与整合，不等式的证明
