1、河北省“五个一名校联盟”2015 届高三教学质量监测一理科数学试卷（解析版）一、选择题1设集合 ， ，则（ ）0232xA82xBA. B. C. D.BABA【答案】B【解析】试题分析：由题知 A=（1,2） ，B=（1,3） ，所以 ，故选 B.B考点：一元二次不等式解法，指数不等式解法，集合间关系与集合运算2已知复数 iz231，则 |z（ ）A. i31 B. i C. i231 D. i231【答案】D【解析】试题分析：由题知 = ，|z|= =1,所以 |z，故z132i2213()132i选 D.考点：共轭复数概念，复数的模公式，复数加法运算3已知 13:xqkp， ，如果 是
2、的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围是pq（ ）A. ),2 B. ),2( C. ), D. 1,(【答案】B【解析】试题分析：由 得， ，即 ，解得 或31x201xx(2)0x1x，由 是 的充分不必要条件知， ，故选 B.2xpqk考点：分式不等式解法，充要条件4在等差数列 中， = ,则数列 的前 11 项和 =（ ）na9126ana1SA24 B48 C66 D132【答案】D【解析】试题分析：由 = 及等差数列通项公式得， ，解得 =9a126112(8)2ad6a=12，所以 = = =1112=132，故选 D.15dS1()a6考点：等差数列通项公式，等差数列前 n
3、项和公式，等差数列性质5在 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ）154)2(xA.4 项 B.5 项 C.6 项 D.7 项【答案】A【解析】试题分析：由二项展开式的通项知， = = ，由系数是1rT1545(2)(rrCx15342rCx有理数知， 是整数， =0,1, ，15，则 =1,5,9,13，共 4 项，故选 A.1534r考点：二项式定理6 是两个向量， 且 ，则 与 的夹角为（ ）ba, 2,1baa)(bA. B. C. D.306010150【答案】C【解析】试题分析：由 知， = =0，所以 =-1，所以ab)()ba2b2a= = ，所以 与 的夹角为 ，故选 C.c
4、os,a|1210考点：平面向量垂直的充要条件，向量数量积7学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综 4 科分成 3 组，每组至少 1 科，则不同的分法种数为 ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为 1，故数学、理综不安排在同一节的24C分法种数为 -1，再将这 3 组分给 3 节课有 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，3A不同的安排方法共有( -1) =30
5、，故选 B.24考点：分步计数原理，排列组合知识8如图给出的是计算 的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件135203是 （ ）A B C D106i106i 107i107i【答案】C【解析】试题分析：由题知，本题的框图作用是 ，其分母的通项为 ，令3523 2i=2013，解得 i=1007，由此知,i1007，循环，当 i1007 时，结束，故判断框内应21i填人的条件是 ，故选 C.07i考点：程序框图9设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x2+y2的取值范围是（ ）A. B. C.( 1 , 16 ) D.【答案】B【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由
6、表示原点与可行域内任意一点2zxy距离的平方，由图可知，当此距离为原点到直线 时最小， = 0minz= ，为点（4，0）时，z 取最大值，z 的最大值为 16，所以目标函数 z=x2+y22|()15的取值范围是（ ，16） ，故选 B.考点：简单线性规划解法，点到直线距离公式10一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥 P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形，高 PE=4设其外接球的球心为 O，O 点必在高线 PE
7、上，外接球半径为 R，则在直角三角形 BOE 中，BO 2=OE2+BE2=（PE-EO） 2+BE2，即 R2=（4-R） 2+（3 ） 2，解得：R= ，故选 C.174考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力11若圆 C 2430xy关于直线 260axby对称，则由点 (,)ab向圆所作的切线长的最小值是（ ）A.2 B. 4 C.3 D.6【答案】B【解析】试题分析：由题知圆 C 的圆心 C（-1,2） ，半径为 ，因为圆 C 关于直线2260axby对称，所以圆心 C 在直线 60axby上，所以 ，即260ab，所以由点 (,)ab向圆所作的切线长为 =3ab 22(1)
8、()ab= = ，当 时，切线长最小，22(1)24861最小值为 4，故选 B.考点：圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值12已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列R)(xf )(23(xff3)2f满足 ，且 ， （其中 为 的前 项和） ，则na121nnSanSa( )(65ffA B C D332【答案】C【解析】试题分析：由定义在 上的函数 是奇函数且满足 知， =R)(xf )(3(xff3()2f= = ，所以 = = = 3()2fx3()2f()f2x= ，所以 的周期为 3，由 得， ，当 n2x21nnSanSa时， = ，所以 = ，所以 =-3， =-
9、7，na11()nnSan23=-15， =-31， =-63，所以 =456 65aff(3)(6)ff= = =3，故选 C.(30)(320)ff(0)10考点：函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想二、填空题13直线 与抛物线 所围图形的面积等于_xy312xy【答案】 48【解析】试题分析：由 解得 或 ，所以其围成图形的面积为213yx023x= = .2301()xdx230()|481考点：定积分的应用14已知函数 1)(mxef的图像为曲线 C，若曲线 C 存在与直线 xy21垂直的切线，则实数 m 的取值范围是_【答案】 （2，+ ）【解析】试题分析：设切点横
10、坐标为 ，因为 = ，所以函数 在（ ， ）的0x()fxem()fx0()fx切线斜率为 ，由题知， =-2，所以 2，所以实数 m 的取值范围为xee0x（2，+ ）.考点：函数的切线，两直线垂直的充要条件15已知双曲线 的右焦点为 F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为)0,(12bayxP，若线段 PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _ 【答案】【解析】试题分析：F（c,0） ，双曲线一条渐近线方程为 ，则过 F 与该渐近线垂直的直线方byxa程为 ，联立解得 P( ， ),所以 PF 的中点（ ， ） ，代入双()ayxcb2ac2cab曲线方程求得 = ，所以双曲线的离心
11、率为 .2考点：双曲线的性质，两直线的位置关系16已知函数 ，将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原的 倍()sinxfR， ()yfx 12（纵坐不变） ，得到函数 的图象，则关于 有下列命题 ()gfg函数 是奇函数； ()yfx函数 不是周期函数；fg函数 的图像关于点(，0)中心对称；()yfx 函数 的最大值为 . 其中真命题为_fg 3【答案】【解析】试题分析：由题知 = ，所以 = ，因为 =()gxsin()fxgsin2x()fxg= = 是偶函数，故错，sin(2xi2()f因为 = = = ，周期为 ，(2)()fxg 4sin()si()2xsin2x()fxg4故错，因
12、为设（ ）是函数 图像上任意一点，则 ，该点关于0,y()fg00()yf(，0)的对称点为（ ） ，所以 =02,xy0(2)(fxgx= =- = ，即点（ ）也02sinsi()x0sin0y02,xy在函数 图像上，故 图像关于(，0)对称，正确；yfg()yfx因为 = = ，令 ，则-1t1，()x2sicox21csocos2xt= = （-1t1） ，所以yf(1)t 3t= = ，当-1 - 或 1 时， 0，当-26t3tt3ty 时， 0，所以该函数在（-1，- ） ， （ ，1）上是减函数，在（-3ty， ）是增函数，当 = 时， 取极大值 ，因为当 =-1 时，y=0
13、，t3()fxg439t所以 的最大值为 ，故错，所以正确的命题为.()fxg49考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想三、解答题17在 中，角 所对的边分别是 ，已知 .ABC, cba,3,2C（）若 的面积等于 ，求 ；3,（）若 ，求 的面积.A2sin)sin(iB【答案】 （）2,2（） 3【解析】试题分析：（）由 ，运用余弦定理可得 ，由,2Cc 24cos3ab的面积等于 ，运用三角形面积公式可得， ，联立即可解得 ；ABC31sin3ba,（）利用三角形内角和定理先将 化为ABC2sin)sin(i，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式si
14、n()sin()2ABA化为 ，分两种情况，若 ，则求出 A，B，C 三角，利用cococos0解直角三角形求出 ，从而求出面积，若 ，求出 A，B 关系，利用正弦定理求ba, 出 关系，结合（）中结果 求出 ，从而求出三角形面积.ba, 24s3abba,试题解析：（）由余弦定理及已知条件得 42又 ，得 3 分3sin21C联立 解得 5 分4ab2,ba（）由题意得， ABAcosin4)sin()si(即 . 7 分Bco2cosin32,6,0baA时当的面积 9 分BC321bcS当 ，由正弦定理得 ，ABAsini,0cos得时 ab2联立方程 ab24解得 3,所以 的面积 ，
15、综上， 的面积为 . 12 分ABC32sin1CabSABC32考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角变换，运算求解能力18甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ，乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用321,42表示甲队总得分（I）求随机变量 的分布列及其数学期望 E ；（）求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率【答案】 （）分布列见解析，期望为 ；（）2316【解析】试题分析：（）先分析 的所有可能取
16、值，再分析 取每一个可能值时每个人的答题情况，将若干个简单互斥事件的和，再分析每个简单事件的中每个人的答题情况，将其表示成若干个相互独立事件的积，再用互斥事件的积概率公式和相互独立事件的和概率公式，求出 每种取值情况的概率，列出分布列，再代入期望公式求出 的期望；（）先分析甲乙两队分数之和为 4 的甲乙两队的得分情况，将其分成若干个互斥事件的和，再根据每个互斥事件甲乙的两队的得分情况，化为相互独立事件的积，利用互斥事件的和概率公式和相互独立事件的积概率公式求出甲乙两队的分值和为 4 的概率，在计算出甲队比乙队得分高的概率，利用条件概率公式即可所求事件的概率.试题解析：（1） 的可能取值为 0，
17、1，2，3; ;1(0)432P121()4342P; 4 分3()P的分布列为0 1 2 3P24416 分123()0241E(2)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B则 ; 8 分321233() ()4 3PACC10 分123()()8B12 分()()163PA考点：随机变量分布列与期望，互斥事件的概率计算，相互独立事件概率，独立重复试验，条件概率，应用意识19如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABDC， 1A，3ABk，456(0)DCDk， ，（）求证：CD平面 ADD1A1；（）若直线 AA1与平面
18、AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值.67【答案】 （）见解析（）1【解析】试题分析：（）取 CD 的中点为 E，连结 BE，则 ADEB 为平行四边形，所以 AD BE=4k，/所以 BC2=BE2+EC2，所以 BEDC，所以 AD 与 BC 垂直，AA 1面 ABCD，所以 AA1CD，所以CD 垂直面 AA1D1D；（）以 D 为原点，DA，DC，DD 1为 轴，建立空间直角坐标系，,xyz写出 A、A 1，B 1，C 的坐标，求出面 AB1C 的一个法向量，算出向量 坐标，计算出这两1A个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于 k 的方程，若能解出 k 值.试题解析：
19、（）取 CD 的中点 E，连结 BE.ABDE，AB DE 3k，四边形 ABED 为平行四边形， 2 分BEAD 且 BE AD 4k.在BCE 中，BE 4k，CE 3k，BC 5k，BE 2CE 2 BC2，BEC 90，即 BECD，又BEAD，CDAD. 4 分AA 1平面 ABCD，CD 平面 ABCD，AA 1CD又 AA1AD A，ADD1A1. 6 分平 面CD（）以 D 为原点， ， ， 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间C1D直角坐标系，则 1140(60)4340AkCkBkAk， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ， ， (-， ， A， ， ， ，
