1、第4章 立体截切及相贯的投影,4-3 平面体与平面体相贯,4-4 曲面体与曲面体相贯,基本内容,掌握求平面体和立面体的截交线的基本方法； 掌握两平面立体、两曲面立体相贯线的基本作图方法（两立体相贯线，至少有一个投影为已知）； 掌握求两轴线正交回转体相贯线的基本作图方法（两回转体轴线均垂直于投影面，所用辅助平面为投影面的平行面）。,教 学 要 求,平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。,截平面,截交线,一、截交线的概念,1.共有性,截交线的性质,2.封闭性,4-1 平面体的截切,二、单一平面截切平面体,求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面
2、交点的问题。,由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。,例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。,s,a,b,c,a,s,b,c,s ,a(c),b,B,A,1,2,3,1,2,3,1,2,3,作图步骤： 1.明确三点的正面投影。 2.求水平投影和侧面投影。 3.判断可见性并连线； 4.检查、加粗，完成作图。,三、多个平面截切平面体,例2 求带切口三棱锥的投影,解题步骤 1 分析 截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知； 2 求出截交线上的折点、 、 ； 3 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 4 整理轮廓线。,例3
3、求立体截切后的投影,1,6,4.2曲面体的截切,曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。,一、基本概念,由旋转面或旋转面和平面围成的立体称为旋转体。,旋转面截交线是指截平面截切旋转体时表面所产生的交线。,二、圆柱的截交线,截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条平行直线,截平面倾斜于轴线，交线为 椭圆,截平面垂直于轴线，交线为 圆,平面与圆柱的截交线(续),两条平行直线,垂直于轴线的圆,椭 圆,例4 求斜切圆柱的截交线,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、； 4 光滑且顺
4、次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。,特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点
5、。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。,例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,三、圆锥的截交线,圆,椭圆,两条相交直线,双曲线,抛物线,解题步骤,例6 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。,1 分析 截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；,2 求出截交线上的特殊点、 、 ；,3 求出一般点；,4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,5 整理轮廓线。,例7 求带缺口
6、圆锥的水平投影和侧面投影。,1,1”,2”,3”,2,3,4(5),4”,5”,5,4,6,6,6”,四、圆球的截交线,平面与圆球相交,截交线为 圆,例8 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。,例9 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。,4.3 平面体与平面相交,立体与立体相交称为相贯。其表面的交线为相贯线。,相贯线多为空间多边形，其折线的顶点是一个平面体的棱线与另一个平面体的表面的交点，因此，求相贯线就是求两平面体表面的交线及棱线与表面的交点。,棱线法,棱面法,相贯线的可见性的判别,基本原则：在同一投影中只有当两立体的相交表面都可见时，其交线才可见；如果相交表面只有一个不可见，则交线
7、在该投影不可见。,例10 求作三棱锥与三棱柱的相贯线。,空间分析,投影分析：正面被积聚在小三角形上。,解答结果：,先作水平投影；再作侧面投影；依次连接各点形成相贯线；判断可见性；整理可见线为粗实线、不可见为虚线。完成作图。,棱线法：,同坡屋面在坡顶屋面中，当同一个屋顶的各个坡面对水平的倾角相同。则称为同坡屋面。,1、在水平投影中，屋脊与屋檐平行而且等距；,投影规律：,2、在水平投影中，斜脊与天沟均为相交两屋脊夹角的角平分线；当两屋檐相互垂直时，斜脊与天沟的水平投影与水平夹角为45.,3、在屋面上的交点是由三个相邻坡面共点形成的；,4-4 曲面体与曲面体相贯,立体与立体相交在两个立体表面产生的交
8、线称为相贯线。相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。,表面取点法求作相贯线的一般步骤,（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。（2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。（） 根据需要求出若干
9、个一般点。（）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。,一、表面取点法,例10 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,两正交圆柱相贯线的变化趋势,例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。,a“(b“),a,b,c“,a,b,c,d,d“,d,e“(f “),e,f,e,f,g,h,g“(h“),g,h,c,二、辅助平面法,常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。,1,1,1“,2,2“,2,例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。,三、相贯线的特殊情况,两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。,两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆,外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆,三、组合相贯线,三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。,例7 求作物体相贯线的投影,本 章 结 束,2007年1月,
