1、江西省南昌市三校（南昌一中，南昌十中，南铁一中）2015 届高三 10 月联考数学（理）试题试卷总分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：南铁一中高三数学备课组一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确选项的代号填入答题卷的相应表格内。1.已知函数 y 的定义域为 A，集合 Bx|x3|a, a0，若 AB 中的最小元素2x为 2，则实数 a 的取值范围是：A(0, 4 B(0, 4) C(1, 4 D(1, 4)2.已知函数 f(x)ax 2bxc (ac 0)，若 f(x)0 的解集为(1, m
2、 )，则下列说法正确的是： A. f(m1)0 B. f(m 1)0 C.f(m1)必与 m 同号 D. f(m 1)必与 m 异号3.函数 f(x)sin 4xcos 4x 的最小正周期为：A B. C D2 24. 若将函数 y2sin(x )的图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，再向右4 1平移 个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：4Ax Bx Cx Dx 8 4845.已知 sin(2)2sin( )，且 k (kZ )，则 的值为32223sinsicoA B C D 3 34436.已知 ( , 1)，若将向量2 绕坐标原点逆时针旋转 120 得到向量 ，则 的坐
3、标为：aa bA(0, 4) B(2 , 2) C(2 , 2) D (2, 2 ) 3337.已知 , 是不共线的向量，若 , (,R)，则 A, B, C 三点共线bABbab的充要条件是： A1 B 1 C1 D 1 8.已知ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c，M 为该三角形所在平面内的一点，若 a b c ，则 M 是ABC 的M0A内心 B重心 C垂心 D外心 9. 若函数 F(x)= f(x)x 2 为奇函数，且 g(x)= f(x) 2，若 f(1) =1，则 g(1)的值为：A1 B1 C2 D210.若函数 f(x) (exe x) (R)，当参数
4、 的取值分别为 1 与 2 时，其在区间0,)上12的图像分别为图中曲线 C1 与 C2，则下列关系式正确的是： A 1 2 B 1 2C| 1| 2| D| 1| 2| 二、填空题：每小题 5 分,共 25 分。 11.若 的终边不与坐标轴重合,且 tan 1，则22572sin()cos(01)tan()(ik kZ_。12.设向量 (x)(cosx，sinx)，0x ，则函数 f(x)2 ( ) ( )的值域为_。a a2x613.若函数 f(x)3|cosx|cosxm, x(0, 2)，有两个互异零点，则实数 m 的取值范围是_。14. 若等腰ABC 底边 BC 上的中线长为 1，底
5、角 B60，则 的取值范围是_。AC15.已知ABC 内部的一点 O，恰使 2 3 ，则OAB ，OAC，OBC 的面积AOC0之比为_。(结果须化为最简)三、解答题：共 6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。16.（12 分） （）求 的值。sin40cos2013（）已知 6 sin2xsinxcosx 2cos2x0，x ，试求 sin2xcos2x tan2 x 的值。32xyOC1 C2117.（12 分）若函数 f(x) sin(x)cos(x ) (0，02)， 满足 f(x )f(x )，且部分图像如右图所示。33（）求 f(x)解析式； （）若
6、 (, 2)，且 f( )f( )1，求 cos 的值。3123218. （12 分）已知ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c，若 cosA ,cosC 。3418（）求 cos B 的值； （）若| | ，求 BC 边上中线的长。46xyO1219.（12 分）若 , , 为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足 ，且1e23 1e230向量 x (x ) (xR ，x0，nN )。ane（）求 与 所成角的大小； （）记 f(x)| |，试求 f(x)的单调区间及最小值。1e2 a20.（13 分）已知函数 f(x)x 2ln|x| (x0)。()求 f(x)的
7、最值； () 若关于 x 的方程 f(x)kx1 无实数解，求实数 k 的取值范围。21.（14 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60, M 为 AB 边上不与端点重合的动点，且 CM 与 DA 分别延长后交于点 N,若以菱形的对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并设 BM2t (0t1)。（）试用 t 表示 与 ,并求它们所成角的大小；DMB（）设 f(t) ，g(t)at42a(a0)，分别根据以下条件，求出实数 的取值范围： 存在 t1,t2(0,1)，使得 g(t 2)；12()ft 对任意 t1(0,1) ，恒存在 t2(0,1) ，使得 g(t 2)。12()f
8、tyxo ADCBM N南昌一中、南昌十中、南铁一中三校高三联考理科数学参考答案一、选择题：CDBAD BCABD。 二、填空题：112； 121, 2； 134m2 或 m0； 14(1, )； 2315321。三、解答题： 16. 【解】( I )sin40 cos20sin(3010) cos (3010)33 ( cos10 sin10) ( cos10 sin10) cos10。原式 1。122212( II ) 依题设：6tan 2xtanx20 (3tanx2) (2tanx1)0，又 x tanx 。不妨设 x322的终边过点(2,1) sinx ，cos x ， sin2x
9、，cos2x ，tan2x 。15545543故原式 。45342317. 【解】( I )依题设知：f(x )f(x)， f(x) 的周期 T ， 3。 23故 f(x)sin(3x)cos(3x ) sin(3x )。又点( ,0)在其图像上，sin0，241又 02， f (x) sin(3x )为所求。( II )依题设及( I )知：f( )f( ) sin sin( )1。整理得：31231222sin cos1 sin( ) 。又依题设： (, 2)， 。4 456564故 cos cos( ) 为所求。56618.【解】( I )依题设：sinA ，sinC ，2cosA234
10、1()721cos218()378故 cosBcos (AC ) cos (AC ) (cosAcosCsin AsinC) ( ) 。916( II ) 由( I )知：sinB ，再由正弦定理易得： ，229165716 4a5bc不妨设：a4k，b5k，c 6k，k0。故知：| |b5k，| |a4k。B依题设知：| |2| |22| | |cosC46 46k246，又 k0 k1。B故ABC 的三条边长依次为：a4，b5，c6。若设 BC 的中点为 D，由余弦定理得：AD 26 22 2262cos B40262 。916532故 BC 边上的中线长为： 。 【注】本小题还可通过求|
11、 |来解答。1062 AC19.【解】( I ) 依题设：| | | |1，且 ( )2( )2,化简得： 1e3e1e23e1e3 cos ，又0, 。1e222 ( II )由 ( I )易知： ，故由 f(x)| | ，将231 a1232)(nxxe其展开整理得： f(x) (xR，x 0，nN )。2)(nx0 时，对 u(x)x 2( )2n，求导并整理得： (x) 。则由 (x)0x ， u223()nxun且由 (x)00x 。即 f(x)的增区间为( , )，减区间为(0, )。ux0 时，因 f(x)为偶函数，由图像的对称性知：f (x)的增区间为( ,0)，减区间为(,
12、)。综上：f(x) 的增区间为 ( ，0) 与 ( , ) ，f (x)的减区间为(, ) 和 (0, )。n n再由均值不等式易求得：|x| 时， f(x)min 。n20. 【解】( I )f(x )为偶函数，我们先求其在(0,) 内的最值。求导得： (x)x (2lnx1), 令 (x)0 2ln x10 xe ，由此易知：f f 12x(0, e )时， (x)0 f (x)单调递减；x(e , )时， (x)0 f (x)单调递增。122故 f(x)在0,)上的最小值 f(x)minf (e ) 。12e再由 f(x)为偶函数，其图像关于 y 轴对称即知：f (x)min 为所求。1
13、2( II )由( I )知：f(x )的图像大致如右图所示，由图像知：当求出直线 ykx1与 f(x)的图像相切时，其斜率 k 的值后，便可求得该直线与 f(x)的图像无交点，即方程 f(x)kx1 无实数解时，其斜率 k 的取值范围。 我们先考虑 x0 的情况。设切点为(x 0, y0)，x 00 k 切 x 0(2ln x01)切线方程为：yx 0(2ln x01) xy 0x 02(2ln x01) ，因该切线与 ykx1 重合，故 x02(2ln x01) 1 2x 02ln x01x 02 。此即 2 f(x0) 1x 02。 ()在同一坐标系内，作出函数 y2f (x), x0,
14、 与 y1x 2 的图像，可知它们的交点为(1, 0) 。故方程()的解为：x 01 k 切 1； x0 时，k1，直线 ykx1 与 f(x)的图像有交点(即原方程有解)。再根据 f(x)的图像的对称性易知：k1 时，直线 ykx1 与 f(x)的图像也有交点。故1k1 时，直线 ykx1 与 f(x)的图像无交点，即方程 f(x)kx1 无实数解。21.【解】( I ) 过点 M 作坐标轴的垂线段，则依题设易求得M 点的坐标为：M( , 1t ) ( , 1t )， 3O3依题设知：ABD 为正三角形，故 (0, 1) ，由此知：D ( , 2 t )， DO又依题设知：BCMANM AN
15、 ,又NAx30,ANBCM2t1t12()t以求得，y NANsin30 ，且 xN AN cos30 ，由此可得： ( , )，1t33t ON3t1t又 (0, 1)， ( , )。 BOt12t由，两式得： 2( )，且| | |4( )。D2tDB21t故 cos ， ，又 ， 0, ， 60 为所求。M12 ( II )由( I )知：f( t)2( )，且由 0t1 知：f(t)2函数 y 的值域为 A(0,1)。t 2()ft另由 a0 知：函数 yg( t)，t 1(0,1) 的值域为：B(4 2a,4a)。若存在 t1,t2(0,1) ，使得 g( t2) 成立，则只要两函数的值域 A(0,1)与 B(42a,4a)12()ft存在公共元素即可。此时 A 与 B 间的关系有以下三种可能：( i ) AB 时，则必 2a3；40( ii ) AB 时，则 042a1，或 04a1， a2，或 3a4；3(iii) BA 时，则必 a 无解。 综上， a4，为所求。对任意 t1(0,1)，恒存在 t2(0,1) ，使得 g( t2)成立，则 t(0,1)时，函数 yg(t )必取遍函12()ft数 y 值域 A(0,1) 中的所有值，此即 AB，故由知：2a3 为所求。2()ftO1e1 xy1yxADCBM NO
