1、专题达标检测,一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1.从2 009名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2 009人中剔除9人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 009人中，每人入选的概率( )A.都相等，且为 B.都相等，且为 C.均不相等 D.不全相等解析 每人入选的概率相等.概率为 ，故选B.,B,2.（2009山东理，8）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 96,106,样本数据分组为96，98），98， 100），100，1
2、02），102，104），104， 106.已知样本中产品净重小于100克的个数是 36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104 克的产品的个数是 （ ）A.90 B.75 C.60 D.45,解析 产品净重小于100克的频率为（0.050+0.100）2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n,则 =0.300，所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100+0.150+0.125）2=0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.75=90.故选A. 答案 A,3.某市拟从4个重点项目和6
3、个一般项目中各选2个项 目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般 项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是（ ）A.15 B.45 C.60 D.75解析 从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目 共有 =90（种）不同选法，重点项目A和一 般项目B都不被选中的不同选法有 =30（种），所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法 有90-30=60（种）.,C,4.（2009辽宁理，5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A.70种 B.80种C.100种 D.140种解析 对此问题可分类：男2女1和男1女2，故总
4、 共有,A,5.如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次可以跳两个点.该青蛙从5这点跳 起，经2 008次跳后它将停在的点是 （ ）,A.1 B.2 C.3 D.4 解析 记an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1=1，a2=2，a3=4，a4=1，a5=2，a6=4，显然an是一个周期为3的等比数列，故a2 008=a1=1，答案为A.,A,6.（2009全国文，10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 （ ）A.6种 B.12种
5、C.24种 D.30种解析 甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法 为 （种）.,C,7.（2009福建理，8）已知某运动员每次投篮命中 的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运 动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器 产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以 每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概
6、率为 （ ）A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15,解析 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有 两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随 机数，故所求概率为 =0.25.答案 B 8.已知随机变量 和 ，其中 =12 +7，且E =34,若 的分布列如下表，则m的值为 （ ）,A. B. C. D. 解析 本题考查随机变量的期望及有关的运算，由 =12 +7E =12E +734=12E +7E = =1 +2m+3n+4 ，又 +m+n+ =1，联立求解可得m= . 答案 A,9.（2008聊城模拟）1个盒子中有9个正品和3个次品，现每次从盒子中取1个
7、产品，取出后不放回，直到 取到正品时停止，则在取到正品前已取出次品数 的期望E 等于 （ ）A.0.3 B.0.4C.0.6 D.0.9解析 的所有可能取值为0，1，2，3并且有P( =0)= ,P( =1)= ,P( =2)= ，,答案 A 10.（2009湖北理，6）设A.-1 B.0 C.1 D. 解析 (a0+a2+a4+a2n)2-(a1+a3+a5+a2n-1)2 =(a0+a1+a2+a2n)(a0-a1+a2-a3+a2n).在( +x)2n中，令x=1，得a0+a1+a2n=( +1)2n.,P（ =3）= . E =0 +1 +2 +3 =0.3.,答案 B 11.在 的展
8、开式中，x的幂指数是整数的 项共有 （ ）A.3项 B.4项C.5项 D.6项解析 Tr+1= （ ）24-r（ ）r= （0r24）r可取值为0,6,12,18,24符合要求的项共有5项.故选C.,C,令x=-1,得（a0-a1+a2-a3+a2n）=( -1)2n. 故,12.掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2 分，则恰好得3分的概率为 ( )A. B. C. D. 解析 有三种可能的情况：连续3次都掷得正面，其概率为（ ）3；第1次掷得正面，第2次掷得反面，其概率为 （ ）2；第1次掷得反面，第2次掷得正面，其概率为（ ）2，因此恰好得3分的概率为,A,二、填空题（本大题共4小题
9、，每小题4分，共16分） 13. 的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为 .解析 二项展开式的通项 Tr+1= ，令10- =4得r=4，由 a6=210，得a6=1，故a=1. 14.（2009湖北理，12）样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图 估计，样本数据落在6，10）内的频数为 . 数据落在2，10）内的概率约为 .,1,解析 由于组距为4.因此在6，10）之间的频率为0.084=0.32,其频数为0.32200=64. 落在2，10）之间的概率为（0.02+0.08）4=0.4. 答案 64 0.4,15.某班级共有学生52人，现将学生随机编号，
10、用系 统抽样方法，抽取一个容量为4的样本.已知6号，32号，45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是 号.解析 间距为 =13，又在第一组中抽取的是6， 所以应该依次抽取：6+13=19；6+213=32;6+313=45，故还有一个编号为19.,19,16.（2009上海理，7）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机 变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学 期望E = (结果用最简分数表示).解析 的可能取值为0，1，2，P（ =0）= ，P（ =1）= ,P( =2)= ,E = .,三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）甲、乙
11、二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、 乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是 多少？解 (1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有 个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有 个，故甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有 个；又甲、乙依次抽一题的可能有 个，所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为： .,(2)甲、乙二人依次都抽到判断题的的概率为 ， 故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 1 =1- =1- = . 或用以下解法.,18.（12分）在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的
12、十个整数，从箱子中任取出一张卡片，记下 它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子 中任意取出一张卡片，记下它的读数y，试求：（1）x+y是10的倍数的概率；（2）xy是3的倍数的概率.解 （1）先后两次抽取卡片，每次都有1到10这 10个结果，故所得有序实数对（x，y）共有1010=100个.因为x+y是10的倍数，它包含下列10个数对：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）， （5，5），（6，4），（7，3），（8，2）， （9，1），（10，10），故x+y是10的倍数的概率 P（A）= .,（2）要使xy是3的倍数，只要x是3的倍数或y是3的倍数即可，在这里可分三类： x是
13、3的倍数，y不是3的倍数，这样的数对（x，y） 有 个； x不是3的倍数，y是3的倍数，这样的数对（x，y） 有 个； x，y都是3的倍数的数对（x，y）有 个. 故xy是3的倍数的概率为 .,19.（12分）已知数列an的通项an是二项式（1+x）n 与(1+ )2n的展开式中有x的次数相同的各项的系数 之和，求数列的通项an及前n项和Sn.解 （1）按(1+x)n及(1+ )2n两个展开式的升幂表 示形式，写出x的各整数次幂，可知只有当（1+ ）2n中出现 的偶数次幂时，才能与（1+x）n的x的次数 相比较.由(1+x)n =，,可得,(2)an=2n+22n-1, Sn=(2+22+2n
14、)+ (22+24+26+22n) =2(2n-1)+ (4n-1)=2n+1-2+ (22n-1) = (22n+1+32n+1-8)，Sn= （22n+1+32n+1-8）.,20.(12分)已知10只晶体管中有8只正品，2只次品， 每次任意抽取1只测试，测试后放回，求下列事 件的概率.（1）抽3次，第3只是正品；（2）直到第6次时，才把2只次品抽到；（3）如果每次抽检的结果不再放回去，直到第6 次时才把2只次品都找出来的概率是多少？解 每次从10只晶体管中任取1只，经过若干 次，各种结果的可能性是一样的，抽3次，所有 可能抽出的结果总数为101010;抽6次，所有 可能抽出的结果总数为1
15、06，到第6次时正好第2只 次品也抽到了，说明前5次抽检中出现过另一只次,品，当然这只次品也可能出现过几次.我们可以用间接法来求出符合这个要求的所有可能结果的总数为 （99999-88888）= （95-85）.,(1)抽检3次所有可能的抽检结果总数为103，第三只是正品的所有可能的抽检结果总数为10108. 所以第三只是正品的概率为（10108）103=0.8. (2)抽检6次所有可能的抽检结果总数为106. 第6次才把第2只次品抽检到， 前5次抽检未出现第6次抽到的次品，但是至少出现一次另一只次品. 第6次才把第2只次品抽检到的所有可能的抽检结果总数为 （95-85）.,此事件发生的概率为
16、 （95-85）106=0.052 562. （3）这个问题仍然是等可能事件的概率问题，因为抽出的产品不再放回，所以前6次抽出的不同结果相当于从10件产品中抽出6件的一个排列，所有可能的结果总数为 ，第6次抽到第2件次品，说明第6件是次品，前面还有一件次品，所有可能的结果总数为 5 ，其含义是先在第6个位置放一个次品，另一个次品在前面5个位置的某一个上，最后在其他四个位置上放上8件正品中的4个.用等可能事件的概率公式可算出此事件发生的概率是（ 5 ） = .,21.（12分）（2009厦门模拟）为抗击金融风暴，某系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评
17、估，然后依 据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、 不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款 数额.为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了 所属的部分企业，抽查的有关数据如下表，其频率分 布直方图如图所示.,(1)任抽一家所属企业，求抽到企业等级是优秀或良好的概率； (2)对照标准，企业进行了整改.整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列.要使所属企业获得贷款的平均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？,解 （1）设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是P1、P
18、2、P3、P4, 则根据频率分布直方图可知： P1=0.01510=0.15, P2=0.04010=0.4, P3=0.02010=0.2, P4=0.02510=0.25. 故抽到的企业是优秀或良好的概率是 P3+P4=0.2+0.25=0.45. （2）设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为a,b,c,整改后，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列， a,b,c也成等差数列，即2b=a+c. 又a+b+c+0.25=1, b=0.25,a+c=0.5, 整改后一家企业获得的低息贷款 的分布列是,E =0a+2000.25+400c+8000.2
19、5=450-400a, 由已知得E 410，450-400a410，解得a10%. 故整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值为10%.,22.（14分）有一个456的长方体，它的六个面上 均涂颜色.现将这个长方体锯成120个111的小 正方体，从这些小正方体中随机地任意抽取1个.（1）若每次从中任取一小块后再放回，求取出的3 次中恰好有2次取到两面涂有颜色的小正方体的概率；（2）设小正方体涂上颜色的面数为 ，求 的分布列及数学期望；（3）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数 后再放回，连续抽取6次，设恰好取到两面涂有颜色的小正方体的次数为 ，求 的数学期望.,解 （1）记“取得恰有两
20、面涂有颜色的小正方体” 为事件A，记“取3次恰有2次取到两面涂色的小正方体”为事件B. 因为涂有2面颜色的小正方体有4(2+3+4)=36个. 所以P（A）= ， P（B）= . （2） 的所有可能取值为0，1，2，3.=0的小正方体有234=24个；=1的小正方体有(23+34+24)2=52个；=2的小正方体有4（2+3+4）=36个；=3的小正方体有18=8个.,所以P（ =0）= ，P（ =1）= ，P（ =2）= ，P（ =3）= . 所以 的分布列为,所以E =0 +1 +2 +3 = .,(3)由（1）知“取得恰好两面涂有颜色的小正方体”的概率为P（A）= . 有放回地连续取6次，所以可以看作独立重复试验. B(6, ) E =np=6 = .,返回,
