1、江苏省高邮市第一中学 2015 届高三上学期月学情监测数学理试题一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知 abR、 ， i是虚数单位，若 (2)aibi，则 a+b 的值是 .2、若集合 2|90Ax， ZyB4|且 ，则集合 AB的元素个数为 .3、各项都是正数的等比数列 na的公比 1q，且 653,a成等差数列，则 6453a= _. 4、已知椭圆 的上、下两个焦点分别为 、 ，点 为该椭圆上一点，若219xy+=1F2P、 为方程 的两根，则 = .1PF2250mxm5、若不等式 x成立的一个充分非必要条件是 32x，则实数 m的取值范围是 .6、在
2、ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 2tancBb，则角 B 的大小是 .7、若过点 (,)a可作圆 2230xyx的两条切线，则实数 a的取值范围是 .8、在平面直角坐标系 中，点 P 在曲线 上，且在第二象限内，已知o3:1Cyx曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 。9、已知函数 是偶函数，则此函数图象与 轴交点的baxbxf )()(2 y纵坐标的最大值是 10、已知 x， y满足 041cbyax且目标函数 yxz2的最大值为 7，最小值为，则acb.11、设首项不为零的等差数列 na前 项之和是 nS，若不等式21nSa对任意n
3、a和正整数 恒成立，则实数 的最大值为 .12、定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点（ 43，0）对称，且满足 f (x)= -f (x+ 23)，f (1)=1， f (0)=-2，则 f (1)+f (2)+f (3)+f (2009)的值为 .二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、 (本题满分 14 分)已知函数 2()23sincos1()fxxxR（）求函数 (fx的最小正周期及在区间 0,上的最大值和最小值；（）若 006(),542f，求 0cosx的值。16、(本题满分 14 分)数列a n中，a 1=2，a
4、n+1=an+cn(c 是常数，n=1,2,3,)，且 a1,a2,a3成公比不为 1 的等比数列.()求 c 的值；()求a n的通项公式. 17、 （本题满分 14 分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ABCD的池底水平铺设污水净化管道FHERt(， 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口 是 AB的中点， ,F分别落在线段 ,上.已知20米， 103D米，记 BHE.（1）试将污水净化管道的长度 L表示为 的函数,并写出定义域；（2）若 sinco2，求此时管道的长度 L；（3）问：当 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.18、(本
5、小题满分 16 分) 给定椭圆 C： 1(ab0)，称圆 C1：x 2y 2a 2b 2x2a2 y2b2为椭圆 C 的“伴随圆” 已知椭圆 C 的离心率为 ，且经过点(0，1)（1）求实数 a，b 的值；（2）若过点 P(0，m)( m0) 的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 ，求实数 m 的值219、（本题满分 16 分）在直角坐标平面上有一点列 12(,)(,),()nPxyPxy ，对一切正整数 n，点 P位于函数 134yx的图象上，且 n的横坐标构成以 5为首项， 1为公差的等差数列 nx求点 nP的坐标；设抛物线列
6、,321ncc中的每一条的对称轴都垂直于 x轴，第 条抛物线 nc的顶点为 n，且过点 (0,)nD，设与抛物线 nc相切于 nD的直线斜率为 nk，求： 1231nkk ；设 |2,nSx*N， *|4,nTyN，等差数列 na的任一项 TSn，其中 1a是 T中的最大数， 102652a，求 n的通项公式.20、 （本题满分 16 分）已知二次函数 g（ x）对任意实数 x 都满足 211gxx，且 1g令19()ln(,0)28fxmR（1）求 g(x)的表达式；（2）若 x使 (f成立，求实数 m 的取值范围；（3）设 e， ()(1)Hxf，证明:对 12x， ， ，恒有12|()|
7、.Hx答案一、填空题1、 ； 2、3；3、 ; 4、-3； 5、 341m; 6、 或 32; 127、 a或 ； 8、 （-2，15） ； 9、2；10、-2； 11、 15; 12、2. 二、解答题15、 解：（1）解：由 2()3sincos1fxxx，得2()32sinco1)icsin(2)6fx x所以函数 ()fx的最小正周期为 因为 2sin6f在区间 0,6上为增函数，在区间 ,62上为减函数，又(0)1,1fff，所以函数 ()fx在区间 0,上的最大值为 2，最小值为-1（）解：由（1）可知 00()2sin6fxx又因为 06()5fx，所以 03i5由 0,42，得
8、027,6从而 2004cos1sin65xx所以 000034cos2cos2cosin2sin66610xxxx 16、 解：()a 1=2，a 2=2+c，a 3=2+3c，因为 a1,a2,a3成等比数列，所以(2+c) 2=2(2+3c)，解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时，a 1=a2=a3，不合题意，舍去，故 c=2. ()当 n2 时，由于 a2-a1=c，a 3-a2=2c，a n-an-1=(n-1)c，所以 an-a1=1+2+(n-1)c= (-)c. 又 a1=2，c=2，所以 an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,)，又当 n=1 时，上式也成立
9、，故 an=n2-n+2(n=1,2,3,). 17、解：（1）10cosEH，10sinFinF由于 10ta3BE，103tanA3tan， ,631010cosiscoL， ,63. (2) 2in时， 2in, )1(20L；（3）0cosinsco=sinco11()设 it 则2ist由于,63，所以31incosin(),24t 201Lt在,2内单调递减，于是当 2t时,63时 的最大值 (3)米. 答：当 6或 时所铺设的管道最短，为 20(31)米. 18、解：（1）记椭圆 C 的半焦距为 c由题意，得 b1， ， c2a 2b 2，ca解得 a 2，b 1 （2 ）由（1
10、 ）知，椭圆 C 的方程为 y 21，圆 C1 的方程为 x2y 25x24显然直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 ykxm，即 kxym0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，故方程组 （* ） 有且只有一组解由（*）得(14k 2)x28 kmx4 m240 从而(8km) 24(14 k2)( 4m24)0化简，得 m2 14k 2 因为直线 l 被圆 x2y 25 所截得的弦长为 2 ，2所以圆心到直线 l 的距离 d 5 2 3即 3由，解得 k22，m 29 因为 m0，所以 m3 19、 解：（1） 53(1)22nxn53,)44n nyP（2） c的对称轴垂直
11、于 轴，且顶点为 n 设 nc的方程为215(),ax把 ,0nD代入上式，得 1a， nc的方程为： 22(3)1yxxn3|ykx， 1 11(2)3nkn 123 )57923= 11()2304605nn. （3） |(2),NSxn，|151Ty|6,Ny,T 中最大数 7a设 na公差为 d，则 109(25,1)d，由此得：*248,9nm又*,724()Nnda20、解：（1）设 gxbc，于是22111gxax，所以12.ac，又 ，则 b所以 2g. （2） 191()lnln(0).28fxgmxxmR，当 m0 时，由对数函数性质， f（ x）的值域为 R；当 m=0 时，2()0fx对 ， ()0f恒成立； 当 m0 时，由 ()0mfxx，列表：min()()ln.2fxfm这 时 ，inl0()0e0.f，所以若 x， ()f恒成立，则实数 m 的取值范围是 (e0， . 故 0使 f成立，实数 m 的取值范围 (,， （3）因为对 1x， ， (1)0xH， 所以 ()Hx在 1,m内单调递减.于是 212|()|()ln.H213|lnl0.2xmm记 3()ln(e)2hm，则 221103，所以函数 ()lnhm在 e， 是单调增函数， 所以 1e1022，故命题成立.x ()， m()，()f 0 减 极小 增
