1、广西桂林中学 2015 届高三 8 月月考数学理试卷（解析版）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第卷 选择题一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.【题文】1设全集为 ，集合 则 ( )R,5x1B,09xA2 BCAR3.D13.
2、C1,3.B0,3.A【知识点】集合的运算.A1 【答案解析】C 解析： 因为 2|9(,)|5,(,1(5,)UxxB所以 ， 故选 C. ()RACB1,3【思路点拨】先化简集合然后再求出 即可.RAC【题文】2复数 在复平面上对应的点位于（ ）i4321A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 【知识点】复 数 与 复 平 面 .L4【答案解析】B 解析： ，12()34681234255iiii在复平面上对应的点位于第三象限. 故选 B.【思路点拨】先把原复数化简，再判断在复平面上对应的点所在的象限.【题文】3若 ，则 与 的夹角为 （ ）babaA30 B60 C150 D12
3、0【知识点】数量积表示两个向量的夹角.F3【答案解析】A 解析：由 可得 ,设 与 的夹角为 ， ba2aba则 ，所以 与 的夹角为 30，故选 A.|)(cos2ba3【思路点拨】本题主要考查数量积所抽象出的主要题类型，向量模的运算，夹角运算，这是向量考查的主要类型，也是解决空间距离和空间角的主要方法【题文】4在 中， 分别为 的对边，如果 成等差数列， ，ABCc,baC,BAc,ba30B的面积为 ，那么 （ ）B2332.D23.1.1.A 【知识点】等差数列，三角形面积，余弦定理的应用。C8 D2【答案解析】B 解析：a，b，c 成等差数列，2b=a+c平方得 a2+c2=4b2-
4、2ac又ABC 的面积为 ，且B=30 ，故由 S = acsinB= acsin30= ac= ，2312143得 ac=6，a 2+c2=4b2-12由余弦定理 cosB= = = ，2acb2b6解得 b2=4+2 又b 为边长，b=1+ 选 B。33【思路点拨】本题利用等差数列，三角形面积，余弦定理，通过构建方程组，得到结果。【题文】5从数字 1,2,3,4,5 这五个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为偶数的概率是（ ） 54.D53.C52.B51.A【知识点】古典概型.K2【答案解析】B 解析：因为偶数=偶数+偶数=奇数+奇数，所以要分为两种情况讨论，,选 B。2
5、35410C【思路点拨】分为两种情况讨论，然后利用公式代入求解即可.【题文】6过曲线 上点 处的切线平行于直线 点 的坐标为 ( )xy4P,2x3yP0,1.D1,0.C1,0.B0,1.A 【知识点】导数的几何意义.B10【答案解析】A 解析：由 y=x4-x，得到 y=4x 3-1，又直线 y=3x+2 的斜率为 3，则 4x3-1=3，解得 x=1，把 x=1 代入曲线方程得：y=0，所以点 P 的坐标为（1，0） 故答案为：（1，0） 【思路点拨】先对原函数求导得到斜率，然后代入即可.【题文】7如果变量 满足条件 上，则 的最大值（ ）y,x01y2xyxz.D1.C45.B2.A【
6、知识点】线性规划.E5【答案解析】D 解析：画出已知不等式所表示的平面区域：，再作出 ，由于0:0yxl目标函数 z 的几何意义可知：当直线经过点 时， ，故选 D.)21,3(A123maxz【思路点拨】画出已知不等式所表示的平面区域：，再作出 ，由于目标函数0:0yxlz 的几何意义可的结果.【题文】8.设命题 的解集是实数集 则 是 的( )2:10pax;:1,Rqapq必要不充分条件 充分不必要条件 .A.B充要条件 既不充分也不必要条件CD【知识点】充要条件.A2【答案解析】A 解析： 的解集是实数集,(1)若 ,则 恒成立;(2)若20ax0a1则 故 由(1)(2)得 故选0,
7、a20,41. .A【思路点拨】由 的解集是实数集,分类讨论即可.ax【题文】9运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为 ，从集合 中任取一个元素 a，则函数 是增函数的概率为 ( )0ya43.D53.C54.B73.A【知识点】程序框图；概率L1 K1【答案解析】C 解析：由程序框图可知：初始条件 .3x 是，所以 ，从而 3x 3)(2)3(y ;21 是，所以 ，从而0x 是，所以 ，从而3x 1)()1(2y ;01 是，所以 ，从而0;0x 是，所以 ，从而3x32y216 是，所以 ，从而8;3x7 是，所以 ，从而3x152y418 否从而集合 ；而函数 是增函数必须且只需
8、，故,80,3A0xyaa所求概率 ，故选53【思路点拨】由程序框图可知：初始条件 然后依次考虑循环直到跳出循环为止即可.3x【题文】10设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 两点，F3y:C2F30CB,A则 （ ） ABA. B. C. D. 306127【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的定义H7【答案解析】C 解析：由题意，得 又因为 故直线 AB 的方程为0,43F,30tank与抛物线 联立，得 ，设 ，由抛物,43xy2=3yx9x168212(xy)()AB线定义得， ，选 C12ABp【思路点拨】先由题意解出直线 AB 的方程，与抛物线 联立，再根据抛物线定义即
9、2=3yx可。【题文】11.已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,四边形 ABCD 为正方形,点 是E的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )PBAEPD32.3.C32.31.A【知识点】异面直线所成的角。G3【答案解析】C 解析：设棱长都为 1,连接 AC,BD 交于点 O,连接 OE.因为所有棱长都相等,因为 ABCD 是正方形,所以 O 是 BD 的中点,且 OEPD,故AEO(或其补角)为异面直线 AE 与 PD 所成的角.易知,21PDOE,212AC1O,3AB在OAE 中,由余弦定理得 .32143Ecos【思路点拨】设棱长都为 1,连接 AC,BD 交于点
10、 O,连接 OE.因为所有棱长都相等,因为 ABCD是正方形,所以 O 是 BD 的中点,且 OEPD,故AEO(或其补角)为异面直线 AE 与 PD 所成的角.【题文】12已知函数 （ 为常数） ，当 时取极大值，当dcxbxf23dcb、 1,0x时取极小值，则 的取值范围是（ ）2,1x2125,.D25,437.C5,.B5,237.A【知识点】函数的导数问题；极值问题；线性规划问题；数形结合的思想.B11 B12 E5【答案解析】D 解析：因为函数 的导数为 .32()fxbcxd2()3fxbxc又由于当 时取极大值，当 时取极小值.所以 即可得1,0x2,1(1)02ff，因为
11、的范围表示以 圆心的半径的平方的范围.23410bc22()(3bc1(,3)通过图形可得过点 A 最大，过点 B 最小，通过计算可得 的取值范围为 .2cb 25,故选 D. 4b+c12=02b+c3=0BDAo bc【思路点拨】先求函数的导数，再判断极值，因为 的范围表示以221()(3c圆心的半径的平方的范围 .通过图形可得过点 A 最大，过点 B 最小，通过计算可得(,3)2取值范围.第 II 卷 非选择题二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.【题文】13设常数 .若 的二项展开式中 项的系数为 ,则 =_.Ra2xa7x15a【知识点】二项式定理；二项式展开
12、公式.J3【答案解析】-3 解析：二项式展开式第 r 项为 令 10-,xaCxTr3105r52r13r=7 则 r=1 ，所以 解得,15aC.3a【思路点拨】根据二项式展开式可解得 r，进而求 a 即可.【题文】14函数 的值域是_. 3,6x,4sin4xsinf22【知识点】三角恒等变换及三角函数的值域.C4【答案解析】 3,12解析： .2()sin()cos()cos(2)sin244fxxxx因为 .所以 .,633in1【思路点拨】化简原函数后根据定义域求值域科的结果.【题文】15若 在 上是减函数，则 的最大值是 .2xlnb21xf,1b【知识点】函数导数的应用及恒成立问
13、题综合。B12【答案解析】-1 解析：函数的定义域是 即 而,02x,2x2xbbxf因为 函数 在 上是减函数，即 在,02xlnbx21f102恒成立，得 在 恒成立，令 ，在1,1xxg， 所以 所以 的最小值为,x,1gx.1b.1【思路点拨】先求函数的定义域，再判断其单调性，然后利用不等式恒成立的问题加以解决.【题文】16在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 C 的 方 程 为 若 直 线 上 存 在xOy.0x4y21xky一 点 ， 使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取值范围是 P k【知识点】圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式.H2 H4【答案解析
14、】 解析：圆 C 的方程为 “圆的两条切线相互2,2()xy垂直”转化为“点 到圆心的距离为 ”，即 2 .2k,1k32【思路点拨】先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点 到圆心的距离为 ”，再将P“直线上存在点 到圆心的距离为 ”转化为“圆心到直线的距离小于等于 ”，再利P2 2用点到直线的距离公式求解 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.【题文】17 （本小题满分为 10 分）在数列 中，na,31)Nn,2(a21n、（）求 的值；32a,（）证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式nna【知识点】赋值法；等比数列的定义。D3【答案解析
15、】 （）6,13（） 12.n解析：（）令 令 .-4 分,2n,61a,3132a（） ,-n(11an）数列 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， -7 分 -10 分,24na1n.na1【思路点拨】(I)赋值令 ；（II）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需3n,2按照定义证明即可，利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出的通项公式，从而求出 .nana【题文】18 （本小题满分为 12 分）已知四棱锥 PABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱 PC 上的动点。（）求四棱锥 PABCD 的体积；（）不论点 E 在何位置，是否都有 BD AE？试证明你的结论；()若点
16、 E 为 PC 的中点，求二面角 DAEB 的大小。【知识点】三视图；线面垂直的性质定理；二面角.G2 G5【答案解析】 （） （）见解析() 12023解析：（）由三视图知 PC面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PC=2，AB=BC=1，-4 分321PCS1VABDCP （）PC面 ABCD，BD面 ABCDPCBD ,而 BDAC，ACAE=A，BD面 ACE，而 AE面 ACEBDAE -7 分 ()法一：连接 AC，交 BD 于 O由对称性，二面角 D-AE-B 是二面角 O-AE-B 的 2 倍，设 为二面角 O-AE-B 的平面角注意到 B 在面 ACE 上的射影为 O,42
17、12S1ACEO ,2EA21S ,1ScosABE=60二面角 D-AE-B 是 120-12 分法二：以 C 为坐标原点，CD 所在直线为 x 轴建立空间直角坐标系则 D（1，0，0） ，A（1，1，0） ，B（0，1，0） ，E（0，0，1） ，从而 =（-1，0，1） ， =（0，1，0） ， （1，0，0） ， （0，-1，1）EDBA设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 （x 1，y 1，z 1） ， =（x 2，y 2，z 2）nn则-x 1+z1=0，y 1=0,x2=0，-y 2+z2=0 令 z1=1，z 2=-1，则 （ （1，0，1） ， =（0，-1，-1）
18、nn（分数）40 50 60 70 80 90 100 100 频率组距0.0100.0050.0200.025a设二面角 D-AE-B 的平面角为 ，则|cos|=| .21n二面角 D-AE-B 为钝二面角二面角 D-AE-B 是 120-12 分【思路点拨】本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。【题文】19 （本小题满分为 12 分）某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六组： ， ，40,5,60后得到如图的频率分布直方图90,1（）求图中实数 的值；a（）若该校
19、高一年级共有学生 500 人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于 60 分的人数；()若从样本中数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生 ,40,59,10试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.【知识点】直方图以及古典概型.I2 K2【答案解析】 （）0.03（）425 ().157解析：（）由 ，可得 -2 分 .02.a1.05. .03a（）数学成绩不低于 60 分的概率为8.102.3.0数学成绩不低于 60 分的人数为 人 - 5 分458.5()数学成绩在 的学生人数： 人 - 6 分4, 20.数学成绩在 的学生人数： 人 - 7 分10
20、,941.设数学成绩在 的学生为 ，52,A数学成绩在 的学生为 90,13456,A两名学生的结果为： ，21141516,A232456333,A共 种-9 分 4566,A15其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有 ，12,A， ， ， ， ， 共 7 种，- 34,A35,36,45,A46,5611 分 因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为 -12 分.15【思路点拨】主要是考查了直方图以及古典概型概率的计算，属于基础题。【题文】20. （本小题满分为 12 分）椭圆 的左、右焦点分别为0bayx:C2上顶点为 ,在 轴负半轴上有一点 ,
21、满足,F21AxB.AFB,F21（）求椭圆 的离心率.C（） 是过 三点的圆上的点, 到直线 的最大距离等于椭圆长轴的D2FBD03yx:l长,求椭圆 的方程.【知识点】椭圆的性质；椭圆的方程.H5 H8【答案解析】 （） （）.21e.13y4x2解析：（）设 B(x0,0),由 F2(c,0),A(0,b),知 =(c,-b), =(x0,-b).因为 ,所以 cx0+b2=0,x0=- ,由 = 知 为 中点,故 1F2B,c2b所以 b2=3c2=a2-c2,即 a2=4c2,故椭圆 C 的离心率 -6 分.2e（）由(1)知 得 于是 F2 ,B . ,1c,由题意知ABF 2为直角三角形,BF 2为斜边,所以ABF 2的外接圆圆心为 F1 ,半径 r=a. D 到直线 lx- y-3=0 的最大距离等于 2a,所以圆心到直线的距离为 a,
