1、山西省康杰中学、长治二中、临汾一中、忻州一中 2015 届高三上学期第一次联考数学理试题）（满分 150 分，考试时间 120 分）一、选择题(51260 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集为 R，集合 ，则1log,422xNxMNMA2 ，2 B C D)(),(),2(2. 已知 是虚数单位，则复数 的值为 i 2i1A B C D1 i3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为 4 时，输入 的值为xA2 B 2C2 或3 D2 或34. 实数 满足 ，则 的最大值是yx,1032yyxzA1 B
2、0 C3 D45. 二项式 展开式中的常数项是12)(xA180 B90 C45 D3606. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为 A B C D612364237. 已知双曲线 的离心率为 ，则此双)0,(12bayx 6曲线的渐近线方程为A B C Dxxy2xy2xy218. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 =nanS032qA2 B2 C3 D39. 点 均在同一球面上，且 、 、 两两垂直，且 DC, A，1AB，C,则该球的表面积为3侧视图正视图1俯视图开始输入 xx1? 是否y=1x输出 y结束y=x2A
3、 B C D71427314710. 若 满足 ， 满足 ，函数 ，algxb40x022)()(xbaxf， ，则关于 的方程 解的个数是f)(A1 B2 C3 D411. 抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一点，若 的外接0:pxyCFMCOFM圆与抛物线 的准线相切( 为坐标原点) ，且外接圆的面积为 9，则OpA2 B4 C6 D812. 已知函数 是定义在 R 上的偶函数，对于任意 都 成)(xfy Rx)3()6(fxf立；当 ，且 时，都有 给出下列四个命题：3,0,2121x0)(21ff ； 直线 是函数 图象的一条对称轴；函数 在)(f 6)(xfy)(xfy上为增函数；
4、函数 在 上有 335 个零点6,94,0其中正确命题的个数为A B C D二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数 的值为 .ba23bba214. 数列 的前 项和记为 ， ， ，则 的通项公式nnS1)1(nSn na为 .15函数 的最小值是 .)432(si32si)( xxxf16在等比数列 中， ，则能使不等式na104a 0)1()1(21 naa成立的最大正整数 是 .三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置
5、上) 17. (本小题满分 12 分)在 中，角 ， , 的对边分别是 ， ， ，其面积为 ，且ABCabcS.Sacb342（1）求 ; （2）若 ， ,求 .554cosBc FEB CA DP18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， , ， ,ABCDPABCDP面/ 90BAD, 分别为 的中点.2,1,BDACFE（1）证明： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.EF19. (本小题满分 12 分)为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：班 级 甲 乙 丙 丁志愿者人数 45 60 30 15为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样
6、的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取 50 名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的 50 名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；（2）在参加问卷调查的 50 名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用 表示抽得甲班志愿者的人数，求 的分布列和数学期望.XX20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，2:1(0)yxCab32椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切 是椭圆xyBA、的右顶点与上顶点，直线 与椭圆相交于 两点)0(kFE、（1）求椭圆 的方程； C（2）当四边形 面积取最大值时，求 的值AEBF21. (本小题满分 12 分)
7、已知函数 .)1ln(xxf（1）设函数 在区间 上不单调，求实数 的取值范围；)fag1,2ea（2）若 ,且 对 恒成立，求 的最大值.Zk0)(kf xk请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的ABCBOA切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆PCBC于点 ，若 .OED、 02（1）求证： ；PABC DE22 题图Oxy FEBOA（2）求 的值.DEA23(本小题满分 10
8、 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 ： （ 为参数， 为 的倾斜角） ，以坐标原点为极点, 轴lsinco1tyxtl x的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 为： .C05cos62（1）若直线 与曲线 相切，求 的值；l（2）设曲线 上任意一点的直角坐标为 ，求 的取值范围.C),(yx24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知正实数 满足： .ba、 ab22（1）求 的最小值 ;m（2）设函数 ，对于（1）中求得的 ，是否存在实数 ，)0(|)(txtxf mx使得 成立，说明理由.2f2015 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考 理 科 数 学 参 考
9、答 案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16. 729na31三、解答题：17 (本小题满分 12 分)解：（1）由已知得： 4 分AbcAbcsin2134os25 分3tanA由 A 是内角， 6 分06（2）由 得 7 分54cosB53ins 10 分1034c2i1)(inCosB由正弦定理得： 12 分34sinACac18 (本小题满分 12 分)解：(1)易知 AB,AD，A P 两两垂直如图，以 A 为坐标原点，AB,AD, AP 所在直线分
10、别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系设 ，则相关各点的坐标为：xyzBt， ， ， , , . (0,)(,0)Bt(,1)Ct(02)D()P(0,1)2tE(,)F2 分从而 , ， 2EFA(,)tB(,)t因为 ，所以 .ACD20解得 或 (舍去) 4 分tt于是 ( ，1，1)， ( ，1,0)EF2C因为 110 0，所以 ，即 6 分AEFC(2)由(1)知， ( ,1,-2)， (0，2,-2)PPD设 是平面 PCD 的一个法向量，则(,)xyzn即0,CPD20,.xyz令 ，则 (1， ， ) 9 分zn设直线 EF 与平面 PCD 所成角为 ，则| ， | | .si
11、ncosEFn15即直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 12 分19. 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为 15,20,10,52 分从参加问卷调查的 50 名志愿者中随机抽取两名的取法共有 种，2501C这两名志愿者来自同一班级的取法共有 + + + =350. 5 分215C0215 . 6 分721530p（2）由（1）知，在参加问卷调查的 50 名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10. X 的可能取值为 0,12， 8 分， ， .)0(P3251C21)(501CXP207)(51CXPX 的分布列为：X 2FEP DACBx yz
12、11 分12 分20.(1) 由题意知： ， . 2 分cea3222cabe342ab又圆 与直线 相切， ， ， 3 分22xyb0xy1故所求椭圆 C 的方程为 4 分14（2）设 ，其中 ，12()()EkFk， ， ， 12x将 代入椭圆的方程 整理得： ，yxyx2(4)kx故 5 分2124k又点 到直线 的距离分别为 ，EF， AB212(4)5xkkh 22()4k7 分215AB所以四边形 的面积为EF9 分12()Sh24()kA2()4k， 11 分24k24k1k当 ，即当 时，上式取等号2(0)k所以当四边形 面积的最大值时， =2. 12 分AEBFk21.解：（
13、1） 在 上递增 1 分)1ln(xaxg),(由已知，有 解得03)(2e31a的取值范围为 . 4 分a,（2）由题知 对 恒成立. 5 分21lnxk2xP320170令 则)(xu21)ln(1x)(xu2)(31lnx令 3lvv即 在 上递增 8 分0)(2x)(),又 02ln5,1ln4，使得 即,0xv(xu在 上递减，在 上递增. 10 分)(u)0),02)1l( 0min x4,3(2)1)31( 0000 x)minxuk又 的最大值为 3. 12 分kZ,22. 解：（1）PA 是圆 O 的切线 又 是公共角ACBPP 2 分ABPC 4 分22（2）由切割线定理得
14、： BA0又 PB=5 6 分15又AD 是 的平分线 DC 8 分DC25,0又由相交弦定理得： 10 分BEA23. 解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为 062xy即 曲线 C 为圆心为(3,0)，半径为 2 的圆. 4)3(2yx直线 l 的方程为: 3 分sincosinyx直线 l 与曲线 C 相切 2i|3|2即 5 分21sin 0,) = 6 分65或（2）设 sin,co3yx则 = 9 分y2)4sin(23 的取值范围是 . 10 分x,24. 解：（1） 即 2 分abb2a22ab1又 当且仅当 时取等号 =2 5 分m（2） 9 分2|1|)(f ttxtx满足条件的实数 x 不存在. 10 分
