1、广东省揭阳一中、潮州金山中学 2015 届高三上学期暑假联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1若集合 0Py， ，则集合 Q不可能是（ ）PA B 2,RyxC 2,Rxy D 2log0【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质， 时， ，所以，集合 Q不可能x2ylogx是 2log,0yx，选 .考点：1.集合的基本运算；2.函数的值域.2若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）ziizA. B. C. D.22i2i【答案】A【解析】试题分析：由 得 ，所以， 的虚部为 ，选 .izizA考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算.3已知 且 ，则“ 1a”是 “ ”的（
2、）Ra0A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析： 时， 1a；反之， 1a时， 或 ，0,1a所以“ 1a”是 “ ”的必要不充分条件 . 选 .B考点：1.充要要件；2.分式不等式的解法.4某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过 按 元/50 kg.3收费，超过 的部分按 元/ 收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则kg50 kg0.85kg处应填（ ）NY输入 x50输出 y结束开始A B0.85yx50.3(50).8yxC D.3.【答案】 B【解析】试题分析：由已知， ，故选 .50.3(50).8yxB
3、考点：1.算法与程序框图；2.函数的概念.5在ABC 中， 3sinA， 8BC，则ABC 的面积为（ ）A.3 B.4 C.6 D.125【答案】A【解析】试题分析：由已知， 所以，|cos8,ABA，23|1()8,|105BCC三角形的面积为 ，故选 .3|sin25考点：1.平面向量的数量积；2.三角形的面积.6一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A 21 B C 23 D【答案】 A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是直角梯形，两底分别为，高为 ，四棱锥的高为 ，所以，几何体的体积为1， 212.选 .
4、()3A考点：1.三视图；2.几何体的体积.7如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 145167【答案】C【解析】试题分析：由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为 ，阴1影部分的面积为 ，故选 311200 1|26xdx C考点：1.定积分的应用；2.几何概型.8设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使 对一切实数 均成()fRM|()|fxx立，则称 为“倍约束函数” 现给出下列函数： ； ；x 22()1f； ； 是定义在实数集 上的奇函数，且()sincof2()3xf()fxR对一切
5、 ， 均有 其中是“倍约束函数”的有（ ）1x2112|xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】试题分析： 对 任 意 ， 存 在 ， 都 有 成 立 ， 对xR0M|()|fxM任 意 ， 存 在 正 数 ， 都 有 成 立 .xRfx 对 于 ， 易 知 存 在 符 合 题 意 ；()2fx2对 于 ， ， 故 不 存 在 满 足 条 件 的 值 ， 故 不 是 ；212fxxM对 于 ， 由 于 时 不 成 立 ， 故 不 是 ；0|()|fM对 于 ， 恒 成 立 ， 故 是 ；241|3fx对 于 ， 当 时 ， 由 得 到 成 立 ，120， 212|()|fxf
6、x|2fx（ ）这 样 的 存 在 ， 故 是 ； 故 是 “倍 约 束 函 数 ”的 函 数 有 3 个 ，故选 .MC考点：1.新定义；2.函 数 的 定 义 域 、 值 域 ； 3.基 本 不 等 式 .二、填空题9不等式 的解集是 316x【答案】 ,42,【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，数轴上 之间的距离为 ，结合图形，当3,14落在数轴上 外时.满足不等式，故答案为 .x,42,考点：不等式选讲.10若 则 = .5234501(12) ,xaxaxx3a【答案】 8【解析】试题分析：由于 是展开式中第四项的系数，而 .所以，3 33451(2)80TCx= .3a0考点：二
7、项式定理.11若等比数列 的各项均为正数, 且 ,则na 512910ea.1220lnla 【答案】 50【解析】试题分析：由等比数列的性质得， ，2195aqe所 以 1220lnlnaa .201.921905120ln(a.)ln(a)ln(a)ln0qqe考点：1.等比数列等而性质；2.对数的性质.12设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，1F2 2:xyCbaPC线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为 .1Py1230PF【答案】 3【解析】试题分析：由已知， 轴，所以将 代入 ，2PFxxc2:10xyCab可得 ，所以由 得， ，解得22|yPbFa2012|
8、tan3|bac23e（舍去）.3,e考点：椭圆的几何性质.13设 、 满足约束条件 ，若目标函数 的最大xy2084,xy0,zaxby值为 4，则 的最小值为 .2ab【答案】 3【解析】试题分析：不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示 阴 影 部 分 ，当 直 线 过 直 线 与 直 线 的 交 点0,zaxby20xy840xy时 ，14A（ ， ）目 标 函 数 取 得 最 大 ， 即 .0,zaxby44ab而 = ，故21218183()(6)(62)24aba的最小值为 .ab3考点：1.简单线性规划；2.基本不等式.14已知圆的极坐标方程为 2cos，则该圆的
9、圆心到直线 sin2cos1 的距离是 .【答案】 5;【解析】试题分析：将极坐标方程化为普通方程即 ， ，所20xy210xy以圆心 到直线的距离为(1,0)2|10|5.考点：1.极坐标；2.点到直线的距离.15几何证明选讲选做题）如图，已知点 D在圆 O直径 AB的延长线上，过 D作圆 O的切线, 切点为 .C若 3,1DB,则圆 的面积为 . O DCBA【答案】 【解析】试题分析：由 已 知 得 所以 故圆 O的面积为 .2(2),CBDOA1,考点：1.切割线定理；2.圆的面积.三、解答题16设 , ,(3,sin2)ax(cos23)bx(fab（1 ）求 的最小正周期；)f（2
10、 ）求 的最大值及取最大值时 的集合；(xx（3 ）求满足 且 的角 的值)3f0【答案】 （1） ；（2）最大值 ， x 的集合为 （3）23|,12Zxk74或【解析】试题分析：（1）应用二倍角公式及两角和差的三角函数公式将化简得到 即得最小正周期；()3cos2infxx(x)23cos()6fx（2 ）由 ，得 ，此时 有最大值. ,6Zk,1Zk(f（3 ）由 得 ，()fcos(2)6又由 得 ，可得 ，进一步求解.02463或试题解析：（1） 1 分()3csinfxx= 3 分 5 分 123(cosin22cos()6最小正周期 6 分T（2 ）当 ，即 时， 有最大值 ，2
11、,6Zxk,12Zxk()fx23此时，所求 x 的集合为 9 分 |,（3 ）由 得 得 10 分()3fcos()361cos()62又由 得 ， 故 ，解02 43或得 12 分7412或考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.17某市 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：,ABCD中学 人数 30 4 20 1为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查（1 ）问 四所中学各抽取多少名学生？,ABCD（2 ）在参加问卷调查的 名学生中，从来自 两所中学的学生当中随机抽取两名
12、学生，50,AC用 表示抽得 中学的学生人数，求 的分布列，数学期望和方差【答案】 （1） 抽取的学生人数分别为 （2 ） 的分布列为：203176205E【解析】试题分析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 进一步计算可得；12（2 ）依题意知， 的可能取值为 ，计算概率即得0,的分布列为： 20322266173()()()5505D试题解析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 应从 四所中学抽取的学生人数分别为 4 分（2 ）由（1 ）知
13、， 名学生中，来自 两所中学的学生人数分别为 50,AC15,0依题意得， 的可能取值为 ， 5 分,12， ， 8 分21053()CP1502()P2157()0CP 的分布列为： 20310 分176205E12 分2 26373(0)()()505D考点：1.随机抽样；2.随机变量的分布列、数学期望.18如图，在四棱锥 中， / ， ，PABCD-ABD，4,2,AB平面 ， . P4（1 ）求证： 平面 ；（2 ）设点 为线段 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 QPBQCPA3PQB的值 PDCBA【答案】 （1）证明：见解析；（ 2） 的值为 . PQB127k【解析
14、】试题分析：解答该题可有两种思路，一是利用空间向量方法；二是利用几何法.注意到建立空间直角坐标系较为方便，因此利用“向量法”较好.（1 ）以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐A,ADPxyz标系，通过计算 ，(4)20BC.(4)0240BDAP证得 ， . 进一步得证.CBAP（2 ）设 （其中 ） ， ，线 与平面 所成角为 .所以Q1(,)QxyzCPA. 所以 .P(,4)(,0)xyz4,0,z即 . (4,0)Q-+(2,4)CQ由平面 的一个法向量为 . PA0BD计算得到 ， sinco,C根据 .2234()826(4)解得 .70,1试题解析：（1）证明：因为 平面 ， ，所以以 为坐标原点，APBCDAA所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，,ABDPxyz则 ， ， ， . 2 分(4,0)(,4)(0,2)(,20)所以 ， ， ，2AC,4AP所以 ，()BDA.4040P所以 ， . 4 分CP
