1、广东省广州市海珠区 2015 届高三上学期摸底考试数学文试卷（解析版）【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容
2、。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1已知集合 21Mx， ,2N,则 MNA ,2B ,C 1,D 1【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合 ，即 ，又因为2xx或，所以 ，故选 B.1,2NN1,2【思路点拨】先化简集合 ，再求结果即可.M【题文】2设复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， 1zi，则1z2 12zA. B. C. iD. 【知识点】复数的运算.L4 【答案解析】A 解析：因为复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，1z2 1zi则，所以 ，故选 A
3、.21zi12z+=i【思路点拨】先利用已知条件求出 再计算结果即可.2z【题文】3已知13a， 12log,l3bc，则 A bcB aC cabD cba【知识点】指数函数的单调性；对数函数的单调性；比较大小.B6 B7【答案解析】C 解析：因为 ，故 ； ，10302122logl103故， ，故 .故 ，故选 C.0b1122logl3c1cab【思路点拨】分别利用指数函数的单调性与对数函数的单调性判断出各自的范围，然后再比较大小即可.【题文】4若 aR，则 是 的010aA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【知识点】充要条件.A2【答案解析】A 解
4、析：当 时， ；当 时，0a1010a，由此可知： 是 的充分而不必要条件，故选 A.01a或【思路点拨】对两个命题进行双向推出即可.【题文】5已知 ,mn表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 A若 /则 /B若 m， n，则 mn C若 ， ，则 D若 /， ，则 【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项 A：m、n 平行、相交、异面都有可能；选项 B 显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。【题文】6设等比数列 na的前 项和为 nS，若 243,15,S则 6A31 B32 C63 D64【知识点】等 比 数 列
5、的 性 质 ； 等 比 数 列 的 前 n 项 和 D3【答案解析】C 解析：由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 成 等 比 数 列 ，2464-SS， ，即 成 等 比 数 列 ， ， 解 得 63， 故 选 A.6315S， ， 615315【思路点拨】由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 成 等 比 数 列 ， 代 入 数 据 计 算244-， ，可 得 【题文】7下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A3()fxB ()sinfxC1fxD ()|fx【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3 、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项.【思路点拨】通过函数图像分
6、析结论.【题文】8由不等式02xy确定的平面区域记为 1，不等式 21yx确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为A. 1 B. 4 C. 43 D. 87【知识点】几 何 概 型 ； 简 单 线 性 规 划 E5 K3 【答案解析】D 解析：平 面 区 域 ， 为 三 角 形 AOB， 面 积 为 22 2，1 1平 面 区 域 ， 为 四 边 形 BDCO，2其 中 C（ 0， 1） ， 由 ， 解 得 ， 即 则 三 角 形 ACD2=01yx123xy3D2， ，的 面 积 S= 1 = ， 则 四 边 形 BDCO 的 面 积 S=SOABSACD 2
7、= ，24 147则 在 中 随 机 取 一 点 ， 则 该 点 恰 好 在 内 的 概 率 为 ， 故 选 ： D12748【思路点拨】作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 求 出 对 应 的 面 积 ， 利 用 几 何 槪 型 的 概 率公 式 即 可 得 到 结 论 【题文】9已知抛物线 24yx与双曲线 210,yab有相同的焦点 F，点A是两曲线的一个交点，且 AF轴，则双曲线的离心率为A 2 B 51 C 3 D 2+1【知识点】抛物线及其几何性质、双曲线及其几何性质.H6 、H7【答案解析】D 解析：根据题意得： 从而 所以 解得1,0F,2A214ab，因为需
8、使 ，所以 ，从而 ，所以23a2ac23a1a.故 选 ： D 1ce【思路点拨】先求出点 F、A 的坐标，从而求出 a、b、c 的值，进而求得离心率。【题文】10已知菱形 BC的边长为 2， 012BA，点 ,EF分别在边 ,BCD上，,BED.若 1E， 3CF，则 A 12 B 3 C 56 D 712【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 F3 【答案解析】C 解析：由 题 意 可 得若 EFEADFABFEABF=+=+（ ） （ ）2cos10BDmllm42cos10l-，ll=+-= 3ll()()() 11()CEFCEFBCDABlmlm-=-，() 212co
9、s03lmll=+即 3ll-+-由 求 得 ，56l故 选 C 【思路点拨】利 用 两 个 向 量 的 加 减 法 的 法 则 ， 以 及 其 几 何 意 义 ， 两 个 向 量 的 数 量 积 的定 义 由 ， 求 得 ； 再 由 ， 求 得1AEF423lml+-=23CEF 结 合 求 得 的 值 23lml-+=-l二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分（一）必做题（1113 题）【题文】11已知某程序框图如图，若分别输入的x的值 为 0,12，执行该程序后，输出的 y的值分 别为 abc，则 c 【知识点】程序框图 L1【答案解析】6 解
10、析： 分 析 程 序 中 各 变 量 、各 语 句 的 作 用 ， 再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 ，可 知 ： 该 程 序 的 作 用 是 计 算 分 段 函 数的 函 数 值 241xy=， ， ， 当 x=0 时 ， 则 y=4=1； 当 x=1 时 ， 则 y=1；当 x=2 时 ， 则 y=22=4；则 a+b+c=1+1+4=6,故 答 案 为 ： 6【思路点拨】分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 ，再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 ， 可 知 ： 该 程 序 的作 用 是 计 算 分 段 函 数 的 函 数 值 ， 将 x 的 值 分
11、 别 代 入 即 得 21xy， ， ， 【题文】12在 ABC中，角 A，B ，C 所对边分别为 ,abc且 452B， ，面积2S，则 b= 【知识点】三角形的面积公式；余弦定理. C8【答案解析】5 解析： ，面积 ，452Bc， 2S ，1sin412SacBaa=由余弦定理得 ， ()2222 2cos445bB+-+-=b故答案为：5【思路点拨】先利用三角形的面积公式求出边 ；利用三角形的余弦定理求出边 a【题文】13. 如图,对大于或等于 的正整数 的 次幂进行如下方式的 “分裂”( 其中2mn)例如 的“分裂”中最小的数是 ,最大的数是 ；若 的“分裂”中最小的数,mnN271
12、33是 ,则最大的数是 241第 11 题图123532 794231742759213第 13 题图【知识点】合情推理、数列，M1、D2【答案解析】271 解析： ：分裂中的第一个数 ，最后一个数325321； ：分裂中的第一个数 ，最后一个数 ；53213791772：分裂中的第一个数 ，最后一个数 ；34 134193发现分裂数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数 （底数 1）+1.又 分裂中的第一个数是 241，则 ，解得3m20m62m所以 的分裂中最大数是：16241671【思路点拨】根据 分裂的结果，归纳总结 分裂的特点：分裂数的个数与前面的3, 3底数相同，每
13、一组分裂中的第一个数是：底数 （底数 1）+1.从而求得分裂中的第一个数是 241 的底数 m 的值。（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）【题文】14 （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M的极坐标为 42,，曲线 C的参数方程为 （ 为参数） 则点 到曲线 上的点的距离的最小值为 1cos,iny C 【知识点】圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化N3 【答案解析】4 解析：由点 的极坐标为 ，得点 的直角坐标M42,M即 M（4，4），由曲线 的参数方程2cos=42sin=xypp， ， C1c
14、os,inxy（ 为参数） ，消去参数 得普通方程为： ，圆心为 A（1，0），半径()21xy-+=r=1，由于点 M 在曲线 C 外，故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为23415=4A-+-【思路点拨】利用公式即可把点 的坐标化为直角坐标；把曲线 的参数方程化为化为C普通方程，再利用|MA|-r 即可求出最小值【题文】15 （几何证明选讲选做题）如图，过 外一点 分别作圆 OP的切线和割线交圆于 ，且 ， 是圆上一点 ,AB9PC使得 ，则 4BC，【知识点】几何证明选讲.N1【答案解析】6 解析：因为 (弦切角等于它所夹弧所对圆周角) ,AB,所以 与 相似,PAAPB所以 即
15、 ,所以 .BC29436C【思路点拨】利用三角形相似求线段 AB 的长即可.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.【题文】 16( 本小题满分 12 分) 已知函数 ， .2cos4xfR（1）求 fx的单调递减区间；（2）若3sin5，,2，求 4f【知识点】三角函数的单调区间；同角三角函数的基本关系式；三角恒等变换. C2 C3 C5【答案解析】 （1） ；（2）()54,2kkZp+315解析：（1）由 2 分x-解得： ， 3 分54422kkp()k的单调递减区间为 4 分()fx ()5,4,2kZp+（2） ， ，5 分3sin
16、,52pq=2cos1sinq=-6 分241-7 分()()14cos2cos244f pqpqpq+=+-=+8 分2in-9 分()cosi2q=10 分 2nsicoq-11 分243455-12 分312=【思路点拨】 （1）直接利用余弦函数的单调区间即可；（2）先利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值，再利用公式把 化简代入数值即可.()4fqp+【题文】17. （本小题满分 1分）为增强市民的环保意识，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机选取 20名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄(岁)分成五组第 组 20,5,第 组 3,第 组 0,3
17、5,第 4组 ,0,第 5组 40,.得到的频率分布直方图( 局部)如图所示.（1）求第 组的频率,并在图中补画直方图；（2）从 名志愿者中再 选出年龄低于 30岁的志愿者 3名担任主要宣讲人,求这 3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率.【知识点】频率分布直方图；超几何分布；组合的运算；概率.I2 J2 K5【答案解析】 （1）0.3，图见解析；（） 25频 率组 距0.1.432506.703405O年龄岁第 17 题图解析：（1）第 4 组的频率为 .1 分 10.4.07250.3, .2 分, 0.365则补画第 4 组的直方图如图所示： .4 分 （）设“从 20 名志愿者中再选出年龄
18、低于 30 岁的志愿者 3 名担任主要宣讲人, 其年龄均在同一组”为事件 A.5 分第一组的人数为 人0.152第二组的人数为 人.6 分4设第一组的志愿者为 m，第二组的 4 名志愿者分别为 a,b,c,d.7 分从 m, a,b,c,d 中选出 3 名志愿者共有 ,c,abmadbcmd10 种选取方法。 .10 分,cdcdab其中都在第二组的共有 4 种选取方法.11 分,c,所以，所求事件的概率为 .12 分42P(A)105【思路点拨】 （1）先利用所有矩形的面积即概率和为 1，求出第四组的概率，再画出图形即可；（2）设“从 20 名志愿者中再选出年龄低于 30 岁的志愿者 3 名
19、担任主要宣讲人, 其年龄均在同一组”为事件 A，然后求出 从 m, a,b,c,d 中选出 3 名志愿者共有 10 种选取方法，再求出都在第二组的共有 4 种选取方法，即可求出其概率.【题文】18. （本小题满分 14 分）如图,四棱锥 ABCDE中,侧面 A为等边三角形,底面 BCDE是等腰梯形,且 /CDBE, 2, 4, 06, M为 E的中点, F为 A的中点 ,且 4（1）求证：平面 平面 ；第 18 题图（2）求证： /FB平面 ADE；（3）求四棱锥 C的体积【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；体积公式. G 4 G5 G7【答案解析】 （1）见解析（2）见解析
20、（3）3解析：（1） 为等边三角形 , ， 为 的中点, ADE2EMDAMDE，AM= 在DMC 中 DM=1，CDM=60，CD=4 ， 3 ,MC= 在 AMC 中，22416013MCcosAMC 是直角三角形 AMMC又224AAC，AMDE，MCDE=M，MC，DE 平面 BCDAM平面 BCD又AM平面 ADE，平面 ADE平面 BCD （2）取 DC 的中点 N，连接 FN，NBAC=DC，F，N 点分别是 AC，DC 的中点，FNAD又 FN平面 ADE，AD平面 ADE，FN 平面 ADE 点 N 是 DC 的中点，BC=NC，又BCN=60，BCN 是等边三角形，BNDE
21、 又 BN平面 ADE，ED平面 ADE，BN平面 ADEFNBN=N，平面 ADE平面 FNBFB 平面 FNB，FB平面 ADE（3）过点 B 作 于 H，则C2213BCH=-=-由（2）知四边形 EBND 是平行四边形， EB=ND=2，底面等腰梯形 BCDE 的面积 ()143BDES+四 边 形四棱锥 A-BCDE 的体积 3CVAM=四 边 形【思路点拨】 （1）由ADE 是边长为 2 的等边三角形，可求出 AM，利用余弦定理解DMC，可求出 MC，进而由勾股定理可得 AMMC ，进而结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可得平面 ADE平面 BCD；（2）取 DC 的中点 N，连接 FN，NB，由线面平行判定定理可分别证明出 FN平面 ADE 和 BN平面 ADE，进而由面面平行的判定定理可得平面 ADE平面 FNB，再由面面平行的性质得到 FB平面 ADE （3）求出底面面积再利用体积公式即可.
