1、广东省中山一中等七校 2015 届高三 8 月摸底考试数学理试题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。1 设集合 A= 2|30x，则满足 AB=0，1，2的集合 B 的个数是( )A 1 B 3 C 4 D 62. i为虚数单位，复平面内表示复数 z=(1+i)(2+ )的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 “a”是“函数 axsincoy22的最小正周期为 ”的（ ）必要不充分条件 充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4.右图是一容量为 10的样本的重量的频率分布直方图
2、，则由图可估计样本重量的中位数为（ ） A 1 B 1.5 C 12 D .55.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A B 7 C 9 D 1 6、 由曲线 23,yx围成的封闭图形的面积为（ ）A 1 B 14 C 3 D 127 已知 O是坐标原点，点 1,0A，若 yxM,为平面区域 21yx上的一个动点，则 OAM的取值范围是（ ）A 51， B 52， C21， D50，8对于集合 ，如果定义了一种运算 “”，使得集合 A中的元素间满足下列 4 个条件：（） ,ab，都有 ab；（） e，使得对 A，都有 ea；（） ， ，使得 ；（） ,abc，都有 abcbc，则称集合
3、 A对于运算 “”构成“对称集” 下面给出三个集合及相应的运算“ ”： 整 数 ，运算“ ”为普通加法； A复 数 ，运算“ ”为普通减法； 正 实 数 ，运算“ ”为普通乘法其中可以构成“对称集”的有( )A B C D二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分(一)必做题(913 题)9. 若 axfxlg2)是奇函数，则实数 a=_。10.在 ABC中，角 ， ， 的对边分别为 bc， ， ，且 c， 32sinabA则角 的大小为 ；11已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如右图所示.若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为_ 12
4、.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的 7个专业中，选择 3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。13 若实数 a、b、c 成等差数列，点 P(1, 0)在动直线 l：ax+by+c=0 上的射影为 M，点N(0, 3)，则线段 MN 长度的最小值是 （二）选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线cos1与 cs的公共点到极点的距离为_21图6ABCDE1115、如图所示，过O 外一点 A 作一条直线与O 交于
5、C，D 两点，AB 切O于 B，弦 MN 过 CD 的中点 P已知 AC=4，AB=6，则 MPNP= 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本题满分 12 分）已知函数 1()2sin()3fx（ ,02xR）的图象过点 (,3)2M.（1）求 的值；（2）设 ,0,， 56(),(3),1ff求 sin()的值.17. (本小题满分 12 分) 2014 年巴西世界杯的周边商品有 80%左右为“中国制造” ，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层
6、抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望） 。18. （本小题满分 14 分）如图 6，四
7、棱柱 1DCBA的底面 A是平行四边形，且 1AB， 2， 06， E为 C的中点， 1平面 证明：平面 1平面 1；若 ED1，试求异面直线 与所成角的余弦值CDMBN O BAP19 .（本小题满分 14 分）已知各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS,且 2naS.（1）求 1a(2) 求数列 n的通项；(3) 若 )2Nb（ , nnbbT.21，求证： nT 3520. （本小题满分 14 分）已知圆 C 与两圆 22(4)1xy， 22()1xy外切，圆 C 的圆心轨迹方程为 L，设L 上的点与点 ,M的距离的最小值为 m，点 (0,F与点 (,)Mxy的距离为 n.()求圆
8、C 的圆心轨迹 L 的方程；（）求满足条件 mn的点 的轨迹 Q 的方程；（）试探究轨迹 Q 上是否存在点 1(,)Bxy，使得过点 B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 12。若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由。21 （本小题满分 14 分） 1)(0:23 ,)()(,1,2212xfkxfxfkeRkefx） 的 条 件 下 ， 试 证 明） 在 （ 的 取 值 范 围 。求有 两 个 极 值 点） 若 函 数（ ） 上 的 单 调 性 。，在 区 间 （判 断 函 数） 若（ 是 自 然 对 数 的 底 数 ）其 中已 知 函 数数学答案 2014.8一、选择题：
9、1 C2.A3 B4. C 5. C 6、D7 A 8 B二、填空题： 9. 10，10 6 11 4312.180 13 2414、 52 15、 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.解：（1）依题意得 sin()3， 3sin()62，2 分 02 264 分 3， 5 分（2） 10()sin()2cos,3f 5cos13，7 分又 562in5 in，9 分 ,0,， 2251sin1cos()3， 2234cos1in1()5，10 分 si()sicosin4531612 分17. （本小题满分 12 分）解：（1）乙厂生产
10、的产品总数为 5398；.2 分（2 ）样品中优等品的频率为 2，乙厂生产的优等品的数量为 23514；4 分（3 ） 0,2， .5 分35()iCP(0,12)，.8 分的分布列为 0 1 2P350.11 分均值 314()250E.12 分(本小题满分 14 分)依题意， CDABECB211 分，所以 ABE是正三角形，06A2 分，又 003)28(3 分，所以 9D， 4 分，因为 1平面 CD， 平面 ABCD，所以 E15 分，因为 AE1，所以 平面 E16 分，因为 平面 A1，所以平面 平面 17 分取 1B的中点 F，连接 、 F8 分，连接 B，则 F1/9 分，所
11、以 是异面直线 与 D1所成的角10 分。因为 3DE， 21AE，所以 2111 分，2， 6A12 分，所以 2cos2EFF14 分（列式计算各 1 分） （方法二）以 为原点，过 且垂直于 BC的直线为 x轴， AD所在直线为 y轴、 1A所在直线为 z建立右手系空间直角坐标系1 分，设 aA1（ 0） ，则 )0 ,(A，) ,20(D， ) ,(1a， ,213E3 分设平面 E1的一个法向量为 ) ,(1pnm，则 02131apAnmE4 分，0p，取 m，则 3n，从而 0 ,3 ,15 分，同理可得平面 DA1的一个法向量为 )2(2n7 分，直接计算知 02，所以平面 A
12、E1平面 D18 分由 E1即 2222 )(30)()3a9 分，解得 a10 分。)0 ,2(A11 分，1D12 分，所以异面直线 E与 DA1所成角的余弦值 6|cos1DAE14 分注：由于给分板按方法一设置，即第问 7 分，第问 7 分。若学生按方法二答题，得分7时，得分记在第问；得分 的部分，记在第问。19 解：（1）令 1n，得 1122aSa， 10a 2 分(2)又 nSa2有 11n 3 分-得 4 分0)(n01naa 1 6 分 n)( 8 分(3)n=1 时 1b=1 35符合9 分2时，因为 121422 nn,11 分所以 352125312 nkn.13 分
13、nnbbT.21 14 分第二问方法不唯一，请酌情给分20.（本小题满分 14 分）解析：（）两圆半径都为 1，两圆心分别为 1(0,4)C、 2(,)，由题意得 12C，可知圆心 C 的轨迹是线段 2的垂直平分线， 2的中点为 01，直线 2的斜率等于零，故圆心 C 的轨迹是线段 1的垂直平分线方程为 y，即圆 C 的圆心轨迹 L的方程为 y。(4 分)（）因为 mn，所以 (,)Mxy到直线 的距离与到点 (,)F的距离相等，故点M的轨迹 Q 是以 1为准线，点 (0,1)F为焦点，顶点在原点的抛物线， 12p，即2p，所以，轨迹 Q 的方程是 24xy (8 分)（）由（）得 4y， ，
14、所以过点 B 的切线的斜率为 1kx，切线方程为 11()2yx，令 0x得 21yxy，令 0得 12y，因为点 B 在 4y上，所以 214故 21yx，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 23111|246Sxyxx设 12S，即 3162x得 1，所以 1当 1x时， y，当 时， y，所以点 B 的坐标为 (,)或 ,). (14 分)221. =,2.1(0+0.3)(+.4) x xeexf （ ） 解 ： k-2,f(） 则 f)分当 ， ） 时 ， x 分故 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ， ） 分函 数 有 两 个 极 值 点 ， 即 方 程 fx)=0222
15、-=,.50 61 .7xx xeex k有 两 个 实 根 ,即 方 程 k有 两 个 实 根 ， 设 （ 则 （ )分当 时 ， （ ） ,函 数 （ ） 单 调 递 增 且 （ ） 0分当 时 ， （ ） ,函 数 （ ） 单 调 递 减 且 （ ） ;1 11122 21182 2= .20.9=0.0=x(-)(x+.xx xxxe ekeeke1212 分要 使 有 两 个 实 根 ， 只 需 k（ ） =故 实 数 的 取 值 范 围 是 （ ， ） 分（ 3） 由 （ )可 知 ， 函 数 f()的 两 个 极 值 点 x,满 足0由 f()k得 分所 以 ）1 .12(,)(+.30+.4f 分由 于 所 以 ） 分所 以 分第二问答案中更正：方程有两个不等实根，第二问也可二次求导，请酌情给分。
