1、图 1广东省信宜市西江中学 2015 届高三 10 月月考数学（理）试题参考公式：独立性检验：设随机变量 )()(22 dbcadbanK（其中 dcban）是由观测样本的 22 列联表所得到的随机变量，则 2K的计算值 k对应的概率 2(KP )k如下表所示：P（K 2k） 0.50 0. 40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828一、 选择题：1设全集 |3,1,12IxxZAB，则 ()IABA1 Bl,2 C0,1
2、,2 D一1,0,1,22复数 z满足 2)1()(izi,则在复平面上复数 z对应的点位（ ）.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为（ ）.A B yx C 3yx D lnyxyx. 在 C 中，若 60,45,2AB，则 AC（ ）.A 43 B 23 C D 5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ( )A14 B16 C18 D646.如图 1， E、 F分别是正方体 1BA中 、 CB1上的动点（不含端点） ，则四边形 FE1的俯视图可能是A B C D7现有 16 张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各张，从中任
3、取张，要求这张不能是同一颜色，且红色卡片至多张，不同的取法为（ ） A232 种 B252 种 C472 种 D484 种8在区间 02， 上随机取两个数 xy,，其中满足 2yx的概率是（ ）A1B14C18D16二、填空题：9. 不等式 34x的解集是 10. 0cos11. 已知平面向量 )3 ,( a， )2 ,4(b，若 ba，则实数 12. 若 x， y满足约束条件430yx，则 yxz的最大值是 13. 曲线 2log在点 1处的切线方程为 .选做（两题任选做一题）14. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 A的极坐标
4、为 (2)4， ，曲线 C的参数方程为 2cosinxy，则曲线 C上的点 B 与点 A 距离的最大值为 15. 如图,在 Rt中,斜边 12,直角边 6A,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D,则 C的半径长为 。三、 解答题：（本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ）16. （本小题满分 12 分）已知 、 都是锐角， 53cos， 135)cs(，求 sin和 ta的值；求 )(和 cos的值。17. （本小题 12 分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，得到如下列联表：文艺节目 新闻节目 总
5、计20 至 40 岁 40 16 56大于 40 岁 20 24 44总计 60 40 100用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应抽取几名？是否有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由；18. （本小题满分 14 分）某校兴趣小组进行了一项 “娱乐与年龄关系”的调查，对 1565岁的人群随机抽取 1000 人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：各年龄段样本人数频率分布直方图 “追星族”统计表（1）求 ,ab的值（2）设从 45 岁到 65 岁的人群中，随机抽取 2
6、 人，用样本数据估计总体， 表示其中“追星族”的人数，求 分布列、期望和方差19.（本小题 14 分）如图，在长方体 1ABCD中， AD= 1=1， 2B，点 E 是线段 AB 中点.组数 分组 “追星族”人数 占本组频率一 15，25) a 0.75二 25，35) 200 0.40三 35，45) 5 0.1四 45，55) 3 b五 55，65 2 0.1岁岁/岁岁岁岁(岁)0.050.040.0050.0030.002 655545352515A BA1CDB1C1D1E(1)求证： 1DEC;(2)求二面角 的大小的余弦值；（3）求 A点到平面 1的距离.20.（本小题满分 14
7、分）焦点在 x 轴的椭圆21:(34)4xyCaa，过 1C右顶点2(0)Aa，的直线 :()0lyka与曲线 22:k相切，交 1于 2AE、 二点（1）若 1C的离心率为 53，求 1C的方程（2）求 2|AE取得最小值时 2的方程21.（本小题满分 14 分）21（本小题满分 14 分）已知函数 )()baxef，曲线 )(xfy经过点 )2 ,0(P，且在点 P处的切线为 l ： 24y 求常数 ， 的值； 求证：曲线 )(xf和直线 l只有一个公共点； 是否存在常数 k，使得 1,2， )24()xkf恒成立？若存在，求常数 k的取值范围；若不存在，简要说明理由答案一、ADCB，AB
8、CB二、9.80,3 10. 11.231212.0 13. 0lnyx 14.5 15. 3三、16.解：（1）因为 ,都是锐角，所以 0sin， -1 分2cos1si（-2 分）546)53(2（-4 分）35cosinta （-6 分）因为 ,都是锐角，所以 ),0(， 0)sin( （-7 分）cos1)sin(2= 1325 （-9 分）)(co（10 分） sin)si(cos（-11 分）653124)35(（-12 分）17.应抽取大于 40 岁的观众人数为 0（名）4 分（列式 4 分，计算 1 分）根据列联表中的数据，得 635.92.3160465)2(2 K10 分（
9、列式 2 分，计算 2 分，判断 2 分）所以，有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关12 分18.解： (1)由题设知15， 25)这组人数为 0.04101000=400，1 分故 a=0.75400=300 2 分45，55)这组人数为 0.003101000=30，故 b= 30.1 3 分综上，a=300，b=0.1 4 分(2)由45 ，65范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为 10pB(2， 10) 6 分故 的分布列是 0 1 2p 0.81 0.18 0.018 分的期望是 120.25E 10 分的方差是 9.18D 12 分19. () 证明： 1面 ABCD
10、， E面 ABC所以， E分RtDA中， ， 2 同理： CE，又 2 ， 22CDE3 分D所以， 面 14 分又 1E面 C所以， 5 分()解法一 由（）证可知 ED1是所求二面角 1ECD的平面角 分在 EDRT1中， ， 2；故， 2tan1 8 分即二面角 1EC的大小的余弦值为 63 9 分A BA1CDB1C1D1Exyz解法二：利用向量法设平面 ECD1的法向量为 )1,(yxm，由()得 ),(， 0C01yxm且 yE解得： 2,即 )1,2(；7 分又平面 CDE的法向量为 ),0(1， 3614|,cos11 m所以，二面角 1DEC的余弦值为 . 9 分（）)解法一
11、： B， 1A， CEB，2ACES 10 分又 31， ， D1， 262CDES （11 分）设 A点到平面 1的距离为 d，则 dVVECDCED 26311231 AA ，解得 6d，即 点到平面 1的距离为 6. （14 分）解法二：利用向量法由() () 知 )0,(AE，平面 ECD1的法向量为 )1,2( m故， 点到平面 1的距离为 62|A|d20.解：解：(1)由 1C的离心率2453ae得 29a 2分21:94xy3 分(2) l与 2C方程联立消 y得 2304akx由 与 相切知 k，由 知 5 分l与 1方程联立消 y得 23242(4) 0axka 6 分设点
12、 ()Ex，l交 1C于 2A、 二点， Ex、 a是的二根324Eakx，故 284k 8 分 22222246|()(1)(19)EEEaAxayxa429()a10 分令 2916t， ，则229|64()tA令2()()4)tft，则22318(49)(7)0ttf 在 916t， 上恒成立故 ()ft在 916， 上单减 12 分故 t即 4a， 2k时 ()ft取得最小值，则 2|AE取得最小值此时 22:1Cyx 14 分21. 解：21 解： )()/ baxef1 分，依题意， 4)0(2/f即 4)0(23 分，解得 ba5 分。记 )12()(2)()() xexexgx，则 42(/ 6 分，当 0x时， 0)(/x；当 时， 0)(/xg；当 时，)(/g8 分，所以 )(g，等号当且仅当 x时成立，即24xf，等号当且仅当 x时成立，曲线 )(fy和直线 l只有一个公共点9 分。 1 ,时， 024，所以 )24()xkf恒成立当且仅当2)(4)(xefk10 分，记 1)()h， 1 ,2， 2/ )1(3)xeh11 分，由 0(/x得 （舍去） ， 3x12 分当 23时， 0)(/h；当 2时， 0)(/xh13 分，所以 1()xeh在区间 1 ,上的最大值为 2341e，常数 k的取值范围为 ) ,4(2314 分
