1、- 1 -组长：王鹏道 110714组员：任利伟 110713、孙祎 110706小组成员负责情况：王鹏道：选择论文题目、设计论文版面字体、分配成员任务、总结任利伟：一、问题提出、关键、分析。二、模型假设、三、模型建立孙祎：四、模型求解、五、模型的检验、拓展及延伸2014 年 11 月 24 日摘 要为了求解3个商人和3个随从的过河问题，用数学分析方法，建立数学模型，并且加以求解，展示动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机蝙程进行求解，获得过河问题的完整求解过程；有效地求解类似多步决策问题的作用。关键词：多步决策 计算机求解 状态转移律 图解法- 2 -一、 问题的提出随从们密约, 在河的任一
2、岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货，但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?二、 问题的关键解决的关键集中在商人和随从的数量上，以及小船的容量上，该问题就是考虑过河步骤的安排和数量上。各个步骤对应的状态及决策的表示法也是关键。三、 问题的分析在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制，这需要多步决策过程，必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树树根是原问题。原问题的解依赖
3、于子问题树中所有子问题的解。四、 模型假设记第k次过河前A岸的商人数为X K，随从数为Y K k=1，2，XK ,YK=0，1，2，3，将二维向量S K=(XK，Y K)定义为状态把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。记作S。则S=(XK ,YK)|(XK =0,YK =0,1,2,3),(XK =3,YK =0,1,2,3),(XK =YK =1)(XK =YK =2)记第k次过河船上的商人数为U K随从数为V K将二维向量D K=(UK ,VK)定义为决策由小船的容量可知允许决策集合（记作D)为D=(UK ,VK)|UK +VK=l,2=(O,1);(O,2);(1,O);(1,
4、1);(2,O)五、 模型建立：动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一- 3 -层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。用动态规划法分析三名商人的过河问题。可得如下的递归树：- 4 -K=1A(3,2)B(0,1) A(3,2)B(0.1)K=2A（3,1）B(0,2)(0,1)A（2,2）B(1,1)（0，2）A(3,0)B(0,3)(1,1)(2,0)（3,3）（1,1）(1,0) 相同情况K=3 (0,2)A(3,1)B(0,2)K=
5、4K=5(0,1)(2,0)A(1,1)B(2,2)K=6A(2,2)B(1,1)K=7=A(0,2)B(3,1)K=8 (0,1)- 5 -A(0,3)B(3,0)K=9 (0,2)A(0,1)B(3,2)A(1,1)B(2,2) A(0,2)B(3,1)(1,0) (0,1)A(0,0)B(3,3)K=10K=11（注解：当K为奇数时，船在B岸；当K为偶数时，船在A岸。）通过分析该递归树，知道求解关键在于正确地写出基本的状态转移关系式和恰当的边界条件。因为k为奇数时，船是从A岸驶向B岸，k为偶数时。船是由B岸驶回A岸。所以状态S K随决策D K变化的规律是SK+1=SK+(-1)K DK，
6、k=l，2，称之为状态转移律，这样，制定过河方案就归结为如下的多步决策问题：每一步，船由A岸驶向B岸或B岸驶回A岸，都要对船上的人员(商人U K，随从VK各几人)作出决策，在保证安全的前提下即两岸的商人数X K都不比随从数Y K少，用有限步使人员全部过河用状态(变量)S K表示某一岸的人员状况，决策(变量)DK表示船上的人员状况，可以找出状态S K随决策D K变化的规律这样安全过河问题就转化为：求决策D KD(k=1,2，n)，使得状态S KS，按照状态转移律，由初始状态S 1=(3，3)，经有限步n到达状态S K+1=(O,O)。SK+1=SK+(-1)KDK，k=l,2，3，其中D K D
7、=(U K ,VK)|UK +VK=l，2，其中SK (X K ,YK)|(XK=0，Y K =1，2，3)；(X K =3，Y K=0,1,2,3);(XK =YK =1,2),Sn+1 =(0,0)这就是三个商人的过河问题模型。- 6 -六、 模型求解：a) 穷举法：先建立编程的基本过程，然后考虑模型，再编写程序b) 然后就可以得出结果了开始变量赋值初始化判断是否完全过河选择一种可行方案，进行过河或返回，得到新的状态否判断是不是允许状态集合中的状态，并且还没在已经考虑的状态 中是否还有其他状态否结束是是是主程序流程图- 7 -c) 图解法：状态s=(x,y) 16个格点允许状态 10个点允
8、许决策 移动1或2格; k奇,左下移;右下移xy3322110S1sn+1d1d11总共需要11步七、模型的检验用2名商人和2名随从的过河问题的解决思路，检验3名商人和3名随从的过河问题。八、 模型的拓展和延伸通过三名商人和三名随从的过河问题的解决方案，可以进一步计算四名商人和四名随从的过河问题，通过计算机编程可以设计m名商人和n名随从的过河问题。这需要用多步决策- 8 -九、总结这是通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题提出、问题假设、问题分析、模型建立、模型求解、模型检验的过程，解决商人过河问题。然后扩展延伸到n个商人的问题。学习数学建模以来，重新认识了学习数学的乐趣，也重新认识了数学，本以为数学是单调的，枯燥的，学习了之后，发现数学是普遍存在我们生活之中的。解决现实中的问题，很多都需要数学。沉浸在数学的世界里，发现学习是有趣的；相比于机械的认识各个组织器官，建立一个数学模型解决问题是十分有趣的。参考文献：（1）傅清祥数据结构与算法王晓东北京：电子工业出版社 1998（2）姜启瑟数学建模(第二版)北京：高等教育出版社，2000（3）运筹学教材编写组运筹学(修订版)北京：清华大学出版社。2001
