1、2.2等差数列,第一课时/等差数列的概念与通项公式,新课导入,知识探究,题型探究,达标检测,新课导入实例引领 思维激活,实例: (1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为:16,32,48,64,80,96,112,128,320.(2)某次比赛女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg)分别为:48,53,58,63.(3)某公司技术员的工资有5种级别(单位:千元)8,7,6,5,4.想一想 1:观察实例中三个数列,每个数列从第2项起,每一项与前一项的差有什么特点?(等于同一常数),知识探究自主梳理 思考辨析,1.等差数列的定义如果一个数列从第 项起,每
2、一项与它的前一项的差等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.思考1:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于常数,该数列是等差数列吗?请举例说明.(2)等差数列的定义用数学符号怎样表示?提示: (1)不一定是.如数列1,3,7,15,不是等差数列.(2)在数列an中,若an-an-1=d(d为常数,n2,nN*),则数列an是等差数列.,同一个常数,2,3.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式an= ,通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量n的一次函数.思考2:等差数
3、列an的公差为d,第n项an与第m项am(nm)有何关系?提示:an=am+(n-m)d.,a1+(n-1)d,题型探究典例剖析 举一反三,名师导引: (1)要证bn是等差数列,只需证bn+1-bn=常数或bn-bn-1=常数(n2且nN*).(2)利用(1)的结论先求bn,再求an.,题后反思 判断或证明一个数列为等差数列的常用方法:(1)定义法:an-an-1=d(d是常数,n2且nN*),数列an是等差数列.(2)等差中项法:在数列an中,2an=an-1+an+1(n2且nN*),数列an是等差数列.,解:c2-c1=-1-1=-2,n2时,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=
4、2,cn+1-cn(n1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义,数列cn不是等差数列.,题型二 等差数列的通项公式【例2】 已知数列an为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式.(1)a3=5,a7=13;(2)前三项为a,2a-1,3-a.名师导引:要求得通项公式,需要求哪几个量?(先确定数列的首项a1与公差d,然后代入an=a1+(n-1)d即可),题后反思 在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解,以减少计算量.,跟踪训练2-1:(2013兰州一中高二期中)已知等差数列an中,a
5、2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于()(A)30(B)45(C)90(D)186,题型三 等差中项的应用【例3】 (12分)已知等差数列an满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列an的通项公式.名师导引:怎样利用等差中项使已知等式用两个未知量表示?(利用等差中项先求出a3或用a3和公差d的代数式表示a2和a4),题后反思 若三个数成等差数列且和为定值时,常利用等差中项求出中间项.,跟踪训练3-1:已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为,.解析:因为数列8,a,2,b,c是等差数列,所以2a=8+2,所以a=5,因为公差d=5-8=-3,所以b
6、=2+(-3)=-1,c=-1+(-3)=-4.答案:5-1-4,备选例题,【例题】 (1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.解: (1)法一设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d.依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=4,故三个数为-2,2,6或6,2,-2.,法二设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,所
7、以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,即d2=16,于是d=4,三个数为-2,2,6或6,2,-2.,(2)法一设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,d2=1,d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,d0.d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.,达标检测反馈矫正 及时总结,B,2.ABC的三个内角A、B、C成等差数列,则B=.解析:由三角形内角和定理知A+B+C=.A、B、C成等差数列,3.在等差数列an中,(1)已知a1=2,d=3,n=10,则an=;(2)已知a1=3,d=2,an=21,则n=;(3)已知a1=12,a6=27,则d=;,解析: (1)an=a1+(n-1)d=2+(10-1)3=29;(2)由an=a1+(n-1)d21=3+(n-1)2n=10;,答案: (1)29(2)10(3)3(4)10,课堂小结,1.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得另一个量.2.等差数列的判定关键是看an+1-an(或an-an-1(n2)是否为一个与n无关的常数;也可以利用2an+1=an+an+2来判定等差数列.,点击进入课后作业,
