1、.WORD 格式可编辑版2014年全国初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分 42分，每小题 7分）1已知 为整数，且满足 ，则 的可能的,xy2411()()3xyxyxy值有 【 】A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2已知非负实数 满足 ，则 的最大值为 【 ,xyz1yz2txyz】 A B C D4759961253在 中， ， 为 的中点， 于 ，交 于 ，已CADBEAP知 ， ，则 【 BP1E】 A B C D6223646 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是
2、【 】 A B C D125345设 表示不超过实数 的最大整数，令 .已知实数 满足 ，ttttx318则 【 x】A B C D112351(35)26在 中， ， ， ， 在 上， 在 上，使C906ABCEA得 为等腰直角三角形, ,则 的长为 【 DEDE】 A B C D423231(3)231二、填空题：（本题满分 28分，每小题 7分）1已知实数 满足 ， ，则,abc1cabcacb_abc.WORD 格式可编辑版2使得不等式 对唯一的整数 成立的最大正整数 为 98175nkkn3已知 为等腰 内一点， ， ， 为 的中点，PABCBC108PDAC与 交于点 ，如果点 为
3、 的内心，则 BDCEPEA4已知正整数 满足: ， ， ，则 ,abcabc2bac三、 （本题满分 20分）设实数 满足 ，,ab2(1)(2)40ba，求 的值(1)8ab21a四、 （本题满分 25分）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，且ABCDEBD满足 , 的延长线与 的外接圆交于ECDABC点 . 证明： FF FCABE.WORD 格式可编辑版五、 （本题满分 25分）设 是整数，如果存在整数 满足 ，则称 具有性质 .n,xyz33nxyzxnP（1）试判断 1，2，3 是否具有性质 ；P（2）在 1，2，3，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性
4、质 的数有多少个？2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1已知 为整数，且满足 ，则 的可能的,xy2411()()3xyxyxy值有 【 】A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答】 C.由已知等式得 ，显然 均不为 0，所以 0 或423xyxy,xyxy.32()xy.WORD 格式可编辑版若 ，则 .又 为整数，可求得 或32()xy(32)4xy,xy12,xy，所以 或 .1.， 1因此， 的可能的值有 3 个.xy2已知非负实数 满足 ，则 的最大值为 【 ,z1xyz2txyz】 A B C D47599
5、6125【答】 A. 2122()2()()4txyzxyzxyzz，1()47373易知：当 ， 时， 取得最大值 .37xyztxyz73在 中， ， 为 的中点， 于 ，交 于 ，已ABCDBCEACDP知 ， ，则 【 P1E】 A B C D62236【答】 B.因为 ， ，所以 四点共圆，所以ADCBEA,PDCE，又 ，所以 ，所以 .12BP6B3DP又易知 ，所以 ，从而可得.623EAD46 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】 A B C D12534.WORD 格式可编辑
6、版【答】 B.若取出的 3 张卡片上的数字互不相同，有 2228 种取法；若取出的 3 张卡片上的数字有相同的，有 3412 种取法.所以，从 6 张不同的卡片中取出 3 张，共有81220 种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4） ， （4，4，6） ，（2，6，6） ， （4，6，6） ，由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有 428 种.因此，所求概率为 .82055设 表示不超过实数 的最大整数，令 .已知实数 满足 ，ttttx318则 【 1x】A B C D12351(35)2【答】 D.
7、设 ，则 ，1xa32 221()()3()xxxa所以 ，因式分解得 ，所以 .2()8360a由 解得 ，显然 ，所以 1.3x(5)2x1,x1x6在 中， ， ， ， 在 上， 在 上，使ABC90ACDBEA得 为等腰直角三角形, ,则 的长为 【 DEDE】 A B C D423231(3)231【答】 A.过 作 于 ，易知 ， .EFBCACDFEBAC设 ，则 ， ， ， ，故x2x2Ex(1)x1DF，即 .又 ，故可得21(1)410.3x故 .23BEx二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）FEBCAD.WORD 格式可编辑版1已知实数 满足 ， ，则,ab
8、c1c11abcacb_abc【答】 0.由题意知 ，所以122ca(1)()(1)2(1)2(1)abcacabc整理得 ，所以 0.8b2使得不等式 对唯一的整数 成立的最大正整数 为 9175nkkn【答】144.由条件得 ，由 的唯一性，得 且 ，所以8178n9，所以 .2972kn4当 时，由 可得 ， 可取唯一整数值 127.148kn162k故满足条件的正整数 的最大值为 144.3已知 为等腰 内一点， ， ， 为 的中点，PABCBC108PDAC与 交于点 ，如果点 为 的内心，则 BDCEPEA【答】 .48由题意可得 ，D而 ，180所以 ，6从而可得 .3A又 ，所
9、以 ，从而 .108BPC2PBE24AB所以 ，9246D，11()(630)1822PAEBDCAE所以 844已知正整数 满足: ， ， ，则 ,abcabc2bac【答】36.设 的最大公约数为 ， ， ， 均为正整数且,c(,)cd11cd1,cEDABPC.WORD 格式可编辑版， ，则 ，所以 ，从而 ，设 （ 为正1(,)ac1c221bacd2|b|d1bd整数） ，则有 ，而 ，所以 均为完全平方数，设 ，21(,)1,ac2,amcn则 ， 均为正整数，且 ， .1bmn, ,mn又 ，故 ，即 .ac11()dabc2()1dn注意到 ，所以 或 .227n13若 ，则
10、 ，验算可知只有 满足等式，此时 ，1dm,0m1a不符合题意，故舍去.若 ，则 ，验算可知只有 满足等式，此时3237n3,4n，符合题意.27,6,48abc因此，所求的 .三、 （本题满分 20 分）设实数 满足 ，,ab2(1)(2)40ba，求 的值(1)8ab21解 由已知条件可得 ， .2()40()8a设 ， ，则有 ， ， 5 分xabyxyxy联立解得 或 . 10 分(,)2,6(,)6,2若 ，即 ， ，则 是一元二次方程 的两xyab,260t根，但这个方程的判别式 ，没有实数根； 2()40 15 分若 ，即 ， ，则 是一元二次方程 的两(,)6,2xy6ab,a
11、b260t根，这个方程的判别式 ，它有实数根 .所以2()80. 20 分2 22 21 8abab.WORD 格式可编辑版四、 （本题满分 25 分）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，且ABCDEBD满足 , 的延长线与 的外接圆交于点 . 证明：ECDABCFF证明 由 是平行四边形及已知条件知.EDF5 分又 A、B、F、 D 四点共圆，所以， .10 分C所以 ， 15 分所以 . 20 分D又 ，所以 ，故EDFBEBAF. 25 分A五、 （本题满分 25 分）设 是整数，如果存在整数 满足 ，则称 具有性质 .n,xyz33nxyzxnP（1）试判断 1，2，3 是否具
12、有性质 ；P（2）在 1，2，3，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 的数有多少个？解 取 ， ，可得 ，所以 1 具有性质 ；x0yz331010取 ， ，可得 ，所以 2 具有性质 ；12 P5 分若 3 具有性质 ，则存在整数 使得 ，P,xyz33()()()xyzxyzzx从而可得 ，故 ，于是有3|()xyz|()，即 ，这是不可能的，所以 3 不具有性质39| xyz9|. 10 分P（2）记 ，则33(,)fxyzzxy, ()f z3()()3()xyzxyzxy ()z221()(2xyzzxyFCABE.WORD 格式可编辑版.2221()()()
13、2xyzyzx即 ,f 2()xyzx15 分不妨设 ，yz如果 ，即 ，则有 ；1,0,1xxz,xzy(,)31fxyz如果 ，即 ，则有 ；y 12如果 ，即 ，则有 ；,2xzx2,xzy(,)9()fxyz由此可知，形如 或 或 （ 为整数）的数都具有性质 .31k9kP20 分又若 ，则 ，从3|(,)()()()fxyzzxyzzx3|()yz而 ，进而可知 .3|39|,f yx综合可知：当且仅当 或 （ 为整数）时，整数 不具有性质 .nk96knP又 201492237，所以，在 1，2，3，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 的数共有 2242448 个. 25 分P我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。在物业人员配备中，我们遵循如下原则： 1、本着精简、高效原则根据项目实际服务、管理和经营的需要，推行统一目标、分解责任、责权利相结合。2、职责、权限明确原则日常工作由综合服务主管直接对各服务人员即集指挥和职能于一身，便于综合服务主管全面掌握日常工作及人员状况，减小失控。
