1、,第二章 几个重要的不等式,2 排序不等式,阅读教材P32P34“排序不等式”的有关内容，完成下列问题： 1定理1 设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbd_，此式当且仅当_时取等号 2顺序和、乱序和、逆序和的概念 设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1a2a3，b1 b2b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式，通常称_为顺序和，_为乱序和，a1b3a2b2a3b1为逆序和(倒序和),adbc,ab(或cd),a1b1a2b2a3b3,a1bj1a2bj2a3bj3,3定理2(排序不等式) 设有两个有序实数组 a1a2an及b1b2bn， 则(顺序和)_ (乱
2、序和)_ (逆序和)_. 其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取等号,a1b1a2b2anbn,a1bj1a2bj2anbjn,a1bna2bn1anb1,已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_. 解析：,答案：220 180,如图所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和,解析：由图可知阴影面积a1b1a2b2，空白面积 a1b2a2b1.根据顺序和逆序和，可知答案 答案：,利用排序不等式证明不等
3、式,【点评】 (1)利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组 (2)在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证,利用排序不等式求最值,【点评】 利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及逆序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可一般最值是顺序和或逆序和,(1)有A，B，C，D四个人同时去银行同一窗
4、口排队办理业务，办理业务所需时间依次是A需2 min，B需 5 min，C需4 min，D需10 min，则四人全部办理完业务总的耗时最长为_min，最短为_min. (2)若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min和 30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失0.05元在只能逐台维修的条件下，按照什么样的顺序维修才能使经济损失降到最小？,利用排序不等式求解简单的实际问题,(1)解析：由排序不等式，知总耗时最长为41035241265 (min)，总耗时最短为42342511040 (min) 答案：65 40 (2)解：设t1，t2，t3为25,
5、30,45的任一排列 由排序不等式，知3t12t2t332523045180. 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小,【点评】 利用排序不等式解决实际生活中的最优化问题，关键是从实际问题中抽象出两个数组，并根据需要得到这两个数组的顺序和、乱序和及逆序和，从而用排序不等式完成解答,3有十个人各拿一只水桶到水龙头前打水，设水龙头注满第i桶需要ti min(i1,2，10)若这些ti各不相同，有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使他们的总花费时间(包括等候时间)最少？ 解：不妨设t1t2t3t10， 现有两个水龙头，只要安排t1，t3，t9在一个水龙头，t2，t4，t1
6、0在另一个水龙头打水ti越小排得越靠前，则总时间t5t15t24t34t43t53t62t72t8t9t10. 这是一个逆序和，故数值最小,1在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，在解答问题时，我们可以利用排序不等式的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题因此，对于排序不等式，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时，要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题,2使用排序不等式，必须出现有大小顺序的两列数(或代数式)来探求对应项的积的和的大小关系 3排序不等式有广泛的应用，许多重要的不等式(如柯西不等式、平均不等式等)都可以由它推得此外，它在涉及最优化问题的实际生活中也是重要的解决工具 4排序不等式可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两的积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两的积之和最小,谢谢观看！,
