1、第7节 立体几何中的向量方法,考纲展示,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量.直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量,显然一条直线的方向向量有 个. (2)平面的法向量.如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作n,此时向量n叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有 个,且它们是 向量.,无数,无数,共线,2.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面,的法向量分别为=(a2,b2,c2), v=(a3,b3,c3). (1)线面平行(
2、l ) laa=0a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直 laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 v=va2=a3,b2=b3,c2=c3. (4)面面垂直 vv=0a2a3+b2b3+c2c3=0.,设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图(2)(3),其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平面角,图(3)中则为其补角).,(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解.,对点自测,1.若平面,的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(
3、 ) (A) (B) (C),相交但不垂直 (D)以上均不正确,解析:因为n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)=-290, 所以n1与n2不垂直, 又n1,n2不共线, 所以与相交但不垂直. 故选C.,C,2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是( ) (A)(1,1,-1) (B)(1,-1,1) (C)(-1,1,1) (D)(-1,-1,-1),D,A,4.(教材习题改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .,第一课时
4、证明平行和垂直,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中, ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:CM平面PAD.,利用向量法证明平行问题的三种方法 (1)证明线线平行:两条直线的方向向量平行. (2)证明线面平行: 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. (3)证明面面平行:两个平面的法向量平行.
5、,反思归纳,【跟踪训练1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1平面ADE;,(2)平面ADE平面B1C1F.,考点二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为CC1的中点,求证:平面A1BD平面GBD.,取b=-1,则a=1,c=2,故平面BDG的一个法向量是n2=(1,-1,2). n1n2=(1,-1,-1)(1,-1,2)=0, 故n1n2,故平面A1BD平面GBD.,反思归纳,向量法证明垂直关系 已知直线a,b的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为m,n,平面内两个不共线向量
6、为e,f. (1)若ab,则ab; (2)若am,则a; (3)若ae,af,则a; (4)若mn,则.,【跟踪训练2】 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证: AB1平面A1BD.,考点三 利用空间向量解决与垂直、平行有关的探索性问题 【例3】 (2018河南郑州名校压轴)如图,在梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=a, ABC=60,四边形ACFE是矩形,且平面ACFE平面ABCD,点M在线段EF上.,(1)求证:BC平面ACFE;,(1)证明:在梯形ABCD中,因为ABCD,AD=DC=CB=a,ABC=60, 所以四边形ABCD是等腰梯形,且DC
7、A=DAC=30,DCB=120, 所以ACB=DCB-DCA=90, 所以ACBC. 又因为平面ACFE平面ABCD, 又平面ACFE平面ABCD=AC, 所以BC平面ACFE.,(2)当EM为何值时,AM平面BDF?证明你的结论.,反思归纳,立体几何开放性问题求解方法有以下两种 (1)根据条件做出判断,再进一步论证. (2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在.,备选例题,【例1】 如图所示,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E,F分别是BC,CD上的点,且BE=CF=a(0a1),则DE与BF的位置关系是( ),(A)平行 (B)垂直 (C)相交 (D)与a值有关,【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,PA=AB=1, AD= ,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在BC边的何处, 都有PEAF.,【例3】 如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中, PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF平面PAB;,(2)求证:平面PAD平面PDC.,
