1、第7讲 数学归纳法,1.了解数学归纳法的原理.,2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可.2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.,D,C,3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有对角线数,f(n1)为(,),C,A.f(n)n1B.f(n)nC.f(n)n1D.f(n)n2,故当 nk1 时，不等式成立.,上述证法(,),A.过程全都正确C.归纳假设不正确,B.n1 验得不正确D.从 nk
2、 到 nk1 的推理不正确,D,考点 1,用数学归纳法证明恒等式命题,所以当 nk1 时，等式也成立.由(1)(2)可知，对于一切 nN*等式都成立.,【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.,【互动探究】,考点 2,用数学归纳法证明不等式命题,(1)解：由题意，得Snbnr，,解得 r1.,当n2时，Sn1bn1r， 所以anSn
3、Sn1bn1(b1). 因为b0，且b1，所以当n2时，an是以b为公比的等比数列.,【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法,不容易证，则可考虑应用数学归纳法.,用数学归纳法证明不等式的关键是由nk 成立，推证nk1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法.,【互动探究】,2.函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明：2xnxn13； (2)求数列xn的通项公式.,考点 3,用
4、数学归纳法证明整除性命题,例 3：试证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除.证明：方法一，(1)当 n1 时，f(1)348964，命题显然成立.(2)假设当 nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除.,32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)， 即f(k1)9f(k)64(k1)， 当nk1时命题也成立. 根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立.,方法二，(1)当n1时，f(1)348964，命题显然 成立. (2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除. 由归纳
5、假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入f(k1)中， 得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)， 故当nk1时命题成立. 根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立.,【互动探究】,3.求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除.证明：(1)当 n1 时，,x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立. (2)假设当nk(k1，kN*)时， x2ky2k能被xy整除， 则当nk1时，,x2k2y2k2x2x2ky2y2k x2x2kx2y2kx2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2)， 显然x2k2y2k
6、2能被xy整除， 即当nk1时命题成立. 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立.,考点 4,用数学归纳法证明几何问题,例 4：平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三,思路点拨：用数学归纳法证明几何问题的关键是注意从nk 到nk1 时图形的变化情况，为了发现这一变化规律往往从特殊情况入手，如 n1,2,3，时，图形的变化规律，从而推出从nk 到nk1 时图形的变化情况.有时也可以用f(k1)f(k)来探讨变化情况.,第 k1 条直线被这 k 条直线分成 k1 段，,每段把它们所在的区域分成两块，因此增加了 k1 个,区域，,当 nk1 时命题也成立.,由知，对一切 nN*，命题
7、均成立.,【名师点评】用数学归纳法证明几何问题时，要注意从nk 到 nk1 图形究竟发生了哪些变化，变化的规律是什么等.,【互动探究】,B,4.若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k1 棱柱的对角面的个数,为(,),A.2f(k)C.f(k)k,B.f(k)k1D.f(k)2,解析：增加一条棱与前面 k 条棱中不相邻的棱作对角面，有 k2 个，同时，一个侧面变成了对角面，故共增加了 k21k1 个对角面.故选 B.,难点突破归纳猜想证明,【规律方法】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳 猜想 证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.,(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,
