1、2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系,第1课时 直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中圆心,元二次方程的判别式为.,【做一做1】 直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 解析:直线ax-y+2a=0恒过定点(-2,0),而(-2,0)满足(-2)2+029,所以直线与圆相交. 答案:B,【做一做2】 已知直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相切,则m的值为( ),答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错
2、误的打“”. (1)过圆外一点可以作圆的两条切线且切线长相等. ( ) (2)直线ax+y=1与圆x2+(y-1)2=1的位置关系与a有关. ( ) (3)过圆C内一点M作一直线l,要使直线与圆相交所得弦长最短,则须满足CMl. ( ) (4)若一条直线被一个圆截得弦长最大,则该直线过圆心. ( ),探究一,探究二,探究三,探究一直线与圆位置关系的判断 【例1】 已知圆的方程为x2+y2=1,直线y=x+b,求当b为何值时, (1)直线与圆相切; (2)直线与圆相交; (3)直线与圆相离. 分析:可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况,或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系,求解b的值或b的
3、取值范围.,探究一,探究二,探究三,消去y并整理,可得2x2+2bx+b2-1=0,则=4(2-b2).,探究一,探究二,探究三,反思感悟1.直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 2.本题中显然解法二更简单,计算量也小,所以几何法是解此类问题的常用方法.,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 解析:由点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,得a2+b
4、21.,则直线与圆O相交.故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究二圆的切线问题 【例2】 已知圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=1.试分别求经过下列各点的圆的切线方程:,分析:(1)可判断点A在圆上,故可用直接法求切线方程;(2)点B在圆外,可用待定系数法求切线方程,但应注意切线斜率不存在的情况.,探究一,探究二,探究三,(2)因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点B在圆外. 若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,若切线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切
5、,所以另一条切线方程是x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.,反思感悟在利用点斜式设直线方程时,斜率不存在(即直线与y轴平行或重合)的情况,要另外单独验证.若此时直线方程满足题意,则列入答案,若不符合题意,也要作出说明.本例(2)在求解时容易漏掉切线方程x=4而导致错误,因此在解决此类问题时注意分类讨论.,探究一,探究二,探究三,变式训练2平行于直线2x-y+1=0,且与圆x2+y2=5相切的直线方程是( ) A.2x-y+5=0 B.2x-y-5=0 C.2x+y+5=0或2x+y-5=0 D.2x-y+5=0或2x-y-5=0 解析:设切线方程为2x-y+b=0(b
6、1),答案:D,探究一,探究二,探究三,探究三圆的弦长问题 【例3】 求经过点P(6,-4)且被定圆x2+y2=20截得的弦长为6 的直线的方程.,解:如图,显然直线的斜率存在,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y+4=k(x-6),即kx-y-6k-4=0.,故所求直线的方程为x+y-2=0或7x+17y+26=0.,探究一,探究二,探究三,反思感悟直线与圆相交求弦长时,可将直线方程与圆的方程联立,然后求得两交点的坐标,再利用两点间的距离公式求得;也可不求,探究一,探究二,探究三,变式训练3(2018全国卷,文15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .
7、,解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,1,2,3,4,5,1.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心,解析:(方法1)直线y=kx+1恒过定点(0,1),定点到圆心的距离,答案:C,1,2,3,4,5,2.直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( ),解析:设直线与圆相交所得弦为AB.,故选A. 答案:A,1,2,3,4,5,解析:由圆的方程(x-4)2+y2=r2(r0),可知圆心为(4,0),半径为r.,答案:C,1,2
8、,3,4,5,4.若点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为 .,由题意知ABPC,所以kAB=1, 因此直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0. 答案:x-y-3=0,1,2,3,4,5,5.已知直线l的方程为y=kx+2,圆C的方程为(x-1)2+y2=1.当k为何值时,直线l与圆C:(1)相切;(2)相交;(3)相离.,消去y,得(x-1)2+(kx+2)2-1=0, 即(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0. 判别式=(4k-2)2-44(k2+1)=-16k-12.,1,2,3,4,5,(方法二)由题知圆心C(1,0),半径r=1.,
