1、广东六校联盟 2015 届高三第二次联考（文科）数学试题本试题共 4 页，20 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟第卷选择题（满分 50 分）一选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1. 等差数列 的前 项和为 ，若 nanS2341,aS则 A. 12 B. 10 C. 8 D. 62. 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是 A. B. C. D. 3yx|1|yx2yx|1yx3已知向量 共线，那么 的值为 (1,)(2,)akbab且 与 kA. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 设
2、函数 ，则 1,log)(21xxfx (4)=fA. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 函数 是 sin()yA. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数226. 已知 则 的值为 ,1tancosA. B. C. D. 53545537. 设向量 均为单位向量，且 ，则 与 夹角为 ,b|1ababA. B. C. D.322348. 下列各函数中，最小值为 的是 A. B. ，1yx 1sinyx(0,)2C. D. 4(x2)-239设偶函数 ()fx对任意 ，都有 1(3)()fxfx，且当 3,2时， ,则R()4fx= 13
3、.5fA. 10 B. C. D. 10101010. 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列nad13,a1anS的前 项和，则 的最小值为 na2163nSA. 4 B. 3 C. D. 2392第卷非选择题（满分 100 分）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分11数列 的前 n 项和 满足 ，则 _. anS2+16=a12. 实数 满足 ，则不等式组所表示的平面区域的面积为_.,xy|-13x13已知 则 的值为_. 21tan(+)=,tan,5tan(+)414. 下列四种说法：命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”；xR213xxR2
4、13x设 、 是简单命题，若“ ”为假命题，则“ ” 为真命题；pqpqpq若 是 的充分不必要条件，则 的必要不充分条件；是把函数 的图像上所有的点向右平移 个单位即可得到函数sin2yx8的图像i4R其中所有正确说法的序号是 三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分 12 分）已知集合 ， .|2Axa2|lg(+6x9)0B（）求集合 和 ； R（）若 ，求实数 的取值范围.B16. （本小题满分 12 分）在数列 中，已知 na *11 14,;23log,()4nnnabaN（）求数列 、 的通项公式； nb（）设数列 满
5、足 ，求 的前 n 项和 .cnnacnS17. （本小题满分 14 分） 已知向量 ， ，设函数 .3sin2,1mx,3cos2xfxmn（）求 )(f的单调递增区间；（）在 中， a、 b、 分别是角 A、 、 的对边，ABCcBC若 , , 求 224,fb18. （本小题满分 14 分） 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100和50，可能的最大亏损率分别为 30和 10. 投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙
6、两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19. （本小题满分 14 分）已知函数 1=+xfe（）求函数 的最小值；f（）若对所有 都有 ，求实数 的取值范围.0x1)(axfa20. （本小题满分 14 分）已知二次函数 （ ） 2()fxaR（）当 0 时， （ ）的最大值为 ，求实数 的值；1(sin)fx54a（）对于任意的 ，总有| | 试求 的取值范围；(icos)fx1（III）若当 时，记 ，令 ，*Nn123ni naa 求证： 成立31()inf2015 届高三六校第二次联考（文科）数学试题参考答案及评分标准第卷选择题（满分 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题
7、，每小题 5 分，共 50 分1 （C） 2 （D） 3 （A ） 4 （B） 5 （B ）6 （D） 7 （C） 8 （C ） 9(B) 10 （A）第卷非选择题（满分 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11. ; 12. 8; 13. ; 14 6=21a98三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（） |222xaxaxa集合 = 3 分A| 集合 = 6 分22lg(+69)0,+691x84x或 B|42x或 8 分RCB，（）由 得 或者 .10 A2a2a分解得 或 . 11 分60综上所述
8、， 的取值范围为 或 12 分 |6016.（1） 11,4na数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 2 分n 41 . 4 分)()41*Na , . 6 分2log341nnb 143log()23nnb（2）由（）知， ， （n ）na)41(n*N .,)(23(*Nnc ， 7nnS )41(23()4153()41(741 分于是 81432 )4(23()4153()1(7)(4)1(4 nnnS分两式-相减得 9 分132 )4(23()41)(414 nnnS= . 11 分1)(23(1n . 12 分)(48*NnS17. 解：（1） ，3si2,1mx,3cos2x
9、1 分()cofx= 3 分2sin36x令 kk，故 5 分,6xkZ)(xf的单调递增区间为 6 分,3（2） ， ， .2ACBabcos2Cab2cos. 9 分0,4由 )(f得 ， ()2sin346fA1sin26A又 A为 BC的内角， ，15. 11 分3由正弦定理，得2c， 13 分2=4sin(+)sinisin()3bbbBCA. 14 分2134()26b18.解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知 ，目标函数 z=x+0.5y. 4.0,8.1.3.y分上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分 （含边界）即可行域. 7 分作直线 ，并
10、作平行05.:0yxl于直线 的一组直线 ,.Rz与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点， 且与直线 的距离最大，即 z 有最大值 10 分 .M 点是直线 和 的交点.10yx81.3.yx解方程组 得 x=4，y=6 12 分,.此时 （万元）.765041z当 x=4，y=6 时 z 取得最大值. 7答：投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。 14 分19 （1）由已知得 ， 1 分e)(xf令 ；令 . 10)(xf得 10f得因此，函数 f (x)在 上单调减函数，在 上 是单调增函数， 5 分,当
11、 x=-1 时， 的有极小值也是最小值， 6 分min0fx（2）令 ，1)e(1)(aaxfxgx则 ， . 8 分e)(0g（a）当 ，即 时， ，g(x )在 是减函数，00)e()(xx,0因此当 时，都有 ，即 ；x)(1,1fafa 10 分（b）当 时，令 ；令 ，ea)eln(0)(xg得 )eln(0)(xg得因此函数 上是减函数，在 上是增函数.(),lnexa在 l,a由于对所有 都有 ，即 成立，0x1)(axf 0)(g因此 ， ， ，)eln(aee,a又所以 . 13 分1综上所述，a 的取值范围是 . 14 分e1,20. 解：由 知 图像开口向上的抛物线，对称
12、轴 x=02a()fx 12a所以 ，故当 时 取得最大值为 ，-1,fx在 上 是 增 函 数 sin1x()f54即 ， 3 分5()4faa 对于任意的 ，总有| | ，Rx(sinco)fx1令 ，11sincosin2,t 则命题转化为 ，不等式 恒成立， 4 分,t|()|ft当 时， 使 成立； 0t()0f()1ft当 时，有 t2222411atttt对于任意的 恒成立； .7 分,0)(,t，则 ,故要使式成立，11,)(22ttt或 21()4t则有 ，又 ，故要使式成立，则有 ，由题 a)4 2a0a综上， 为所求。 9 分,0(,2（3）由题意， 1033111()23nniifnn分令 1()231gnn则 4n11(1)( 03432gnnn在 时单调递增， *N3()1g又 ，11231nn，综上，原结论成立 14 分()()1g
