1、广东省广州市第六中学 2015 届高三上学期第一次质量检测数学理试卷（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、不等式、向量、三视图、导数的综合应用、圆锥曲线、数列、参数方程极坐标、几何证明、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件的关系等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1已知集合 ， ，则集合 （ ）2,10M,2|MaxNNA B C D 0 120、【知识点】集合的表示及集合的交集 A1【答案解析】D 解析：因为 ，所以 0,2则选 D.|2,0,24xa【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2已知复数 ，则 的共轭复数是 （ ）1izzA. B. C. D.i1 i i【知识点】复数的代数运算、复数的概念 L4【答案解析】A 解析：因为 ，所以 的共轭复数是 ，则选 A.2izzi1【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，
3、掌握复数的代数运算法则是解题的关键.【题文】3. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）yx,.1,02yxyxz2A.2 B. 3 C. 4 D. 5【知识点】简单的线性规划 E5【答案解析】B 解析：不等式组 表示的平面区域为如图 ABCD 对应的区域，显然当动直线.1,02yx经过区域内的点 A 时目标函数的值最小，而 A 点坐标为(1,1) ，则目标函数的最小值为 1+2=3，yxz2所以选 B.【思路点拨】正确的确定不等式组表示的平面区域是解题的关键.【题文】4已知 ，则“ ”是 “ ”的（ ） ,abR33loglab1()2abA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条
4、件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件、对数函数与指数函数的性质 A2 B6 B7【答案解析】A 解析：因为由 得 ab0 ，所以 成立，若 ，因为33logl1()2ab1()2aba,b 不一定为正数，所以不能推出 ，则选 A. log【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）A. B. C. D. 3012244【知识点】三视图 G2【答案解析】C 解析：由三视图知几何体是底面为
5、边长为 3，4 ，5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为，所以选 C.1343422【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【题文】6直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心20xy21(0)xyab率为（ ）A. B. C. D. 5122523【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案解析】C 解析：因为直线 与两坐标轴的交点分别为 ，所以 c=2，b=1，a=20xy2,01,则离心率为 ，所以选 C .25bc5ca【思路点拨】因为椭圆的焦点与顶点都在坐标轴上，所以求出直线与坐标
6、轴的交点，即可解答.【题文】7. 已知向量 AB与的夹角为 120,且 ,若 ACBP,且3,2ACB，则实数 的值为( ）0)(ABCPA 73 B 712 C 6 D 1【知识点】向量的数量积 F3【答案解析】B 解析：因为向量 A与的夹角为 120,且 ,所以3,2ACB,则123ABC,解得 ，所以选 B.()()94310PABCAB 127【思路点拨】掌握向量的数量积计算公式及向量的数量积的运算法则是本题解题的关键.【题文】8.已知 cbaxxf ,96)(23 ，且 )()(cfbfaf ，现给出如下结论： ； ； ； . 其中正确结论个数为（ )0(f 01(f 0)3(f 1
7、822）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【知识点】导数的综合应用 B12【答案解析】D 解析：求导函数可得 f（x）=3x 2-12x+9=3（x-1） （x-3） ，当 1x3 时，f （x）0；当 x1，或 x3 时，f （x）0，所以 f（x）的单调递增区间为（-，1）和（3，+）单调递减区间为（1，3） ，所以 f（x）极大值=f（1）=1-6+9abc=4abc，f（x）极小值=f（3）=2754+27abc=abc，要使 f（x）=0 有三个解 a、b、c，那么结合函数 f（x）草图可知：a1b3c 及函数有个零点 x=b 在 13 之间，所以 f（1）=4-abc0，且 f
8、（3）=-abc0，所以0abc4，f（0）=-abc，f（0）=f（3） ，f（0）0，f（0）f（1）0，f（1）f（3）0，f（a）=f（b）=（c）=0，x 3-6x2+9x-abc=（x-a） （x-b） （x-c）=x 3-（a+b+c）x 2+（ab+ac+bc）x-abc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9，把代入 2得：a 2+b2+c2=18；故正确的为：，所以选 D.【思路点拨】本题可根据已知条件，利用导数及函数的图像确定函数的极值点及 a、b、c 的大小关系.二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分。本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第
9、 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答。【题文】9若 ,则 的值是 .21cosinsin【知识点】同角三角函数基本关系式、倍角公式 C2 C6【答案解析】 解析：因为 ，所以 ，得 = .3421coi1sinco42sin34【思路点拨】利用同角三角函数基本关系式可以对 之间相互转化.i,co【题文】10. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为 .3,4N232Paa【知识点】正态分布的性质 K8【答案解析】 解析：由正态分布的性质知，若 ，则 ，73 32a解得 a= .【思路点拨】由正态分布的性质知：若随机变量 服从正态分布 ，则其图像关于直线 x=3
10、 对称，3,4N利用图像的对称性知，x=2a3 与 x=a+2 的中间值为 x=3.【题文】11.若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_种【知识点】排列组合综合应用 J2【答案解析】19 解析： . 2519A【思路点拨】可先求出由一个 e 一个 o 和三个 r 的所有排列，再减去 1 个正确的顺序即可.【题文】12.若等比数列 的各项均为正数，且 ，则 na 30768594aa.1212lglga 【知识点】等比数列的性质 D3【答案解析】12 解析：因为 ，所以 ，则4958676730aa6710a.2121212lglgllgla 【思路点拨】在遇到等比数
11、列问题时，可先观察所给项的项数，判断有无性质特征，有性质特征的用性质解题，无性质特征的用公式转化. 【题文】13.已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为周期的偶函数，且当523xT()fx时， ，若在区间 内，函数 有 4 个零点，则实数 的取值范0,1x()f1,gfkk围是 【知识点】二项式定理、函数的零点 B9 J3【答案解析】 C 解析：由 的展开式通项公式0,4523x得常数项为 ，f（x）是以 2 为周期52 1051 531rrrrrTxx 2251C的偶函数，区间-1，3 是两个周期，区间-1，3内，函数 g（x）=f（x）kxk 有 4 个零点可转化为 f（x）与 r（x）
12、=kx+k 有四个交点，当 k=0 时，两函数图象只有两个交点，不合题意当 k0 时，r（-1）=0，两函数图象有四个交点，必有 0r（3）1 解得 104A B CD P M E O1 O2 .【思路点拨】在二项展开式中一般遇到求二项展开式的某项或某项的系数问题，通常利用展开式的通项公式进行解答，在遇到判断函数的零点个数问题通常转化为函数的交点个数问题，再利用数形结合进行解答.（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【题文】14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线 与曲线4l， （ 为参数）交于 、 两点，且 ，
13、以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极2cos1inxCy： AB2AOx轴建立极坐标系，则直线 的极坐标方程是_.l【知识点】参数方程极坐标 N3【答案解析】 解析：因为曲线 C 是圆心为(2,1)，半径为 1 的圆，若直线被圆截得的cosin1弦长 ，则直线经过圆心，所以直线方程为 y1=x2，整理得2ABxy=1，所以其极坐标方程为 .cosin1【思路点拨】一般遇到直线与圆位置关系问题，通常转化为圆心到直线的距离进行解答.【题文】15 （几何证明选讲选做题）已知O 1 和O 2 交于点 C 和 D，O 1 上的点 P 处的切线交O 2 于A、B 点，交直线 CD 于点 E，M 是O 2 上
14、的一点，若 PE=2，EA=1， ，那么O 2 的半径为 .45MB【知识点】圆的切割线定理、正弦定理 N1【答案解析】 解析：PE 切O 1于点 P，EP 2=ECED 32ED、EB 是O 2的两条割线，ECED=EAEBEP 2=EAEB，即 22=1EB，得 EB=4，因此，ABM 中 AB=EBEA=3，AMB=45，设O 2的半径为 R，由正弦定理得 所以O 2 的半3sin45r径为 .32【思路点拨】利用圆的切割线定理及两圆的公共割线求出 AB 的值，再利用正弦定理计算三角形外接圆半径，即可解答.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算
15、步骤.【题文】16 （本小题满分12分）已知函数 21()3sincos,fxxxR(1)求函数 的最小正周期；(2)已知 内角 的对边分别为 ，且 ，若向量 与ABC、abc、3,()0fC(1,sin)mA共线，求 的值(2,sin)ab【知识点】三角函数的性质、正弦定理、余弦定理 C3 C8【答案解析】(1) ；(2) 3,2解析：(1)因为 所以131()sincossin2cosin216fxxxx，即函数 )(f的最小正周期为 ； 2T(2)由 得sin106fC，因为i2，所以 ，又向量 与10,66C2,63C(1,sin)mA共线，得 sinB2sinA=0，由正弦定理得 b
16、=2a，又 c=3，由余弦定理得(2,sin)B，解得 .29cos53aba,2ab【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先把函数化成一个角的三角函数再进行解答，解三角形时应结合已知条件恰当的选择正弦定理或余弦定理进行转化.【题文】17 （本小题满分 13 分）为迎接 6 月 6 日的“全国爱眼日” ，某高中学生会从全体学生中随机抽取 16 名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于 5.0，则称为“好视力” (1)写出这组数据的众数和中位数；(2)从这 16 人中随机选取 3 人，求至少有
17、2 人是“好视力”的概率；（3）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选 3 人，记 X 表示抽到“好视力”学生的人数，求 X 的分布列及数学期望 【知识点】茎叶图、概率、随机变量的分布列与期望 I2 K2 K6【答案解析】(1) 众数为 4.6 和 4.7，中位数为 4.75；(2) （3） .1940解析：解：(1)由题意知众数为 4.6 和 4.7，中位数为 4.75； (2)这是一个古典概型，设至少有 2 人是“好视力”记为事件 A，则事件 A 包含的基本事件个数为：，总的基本事件个数为： ，所以 ；21344+C 316C214369()=0CP（3
18、）X 的可能取值为 0,1,2,3.由于该校人数很多，故 X 近似服从二项分布 B(3， )14P(X0)( )3 ，P(X1) ( )2 ，427613476P(X2) ( )2 ，P(X 3) ( )3 ，3C1496146X 的分布列为X 0 1 2 3 P 76 故 X 的数学期望 E(X)3 .4【思路点拨】求离散随机变量的分布列与期望一般先确定随机变量的取值，再依次求各个取值对应的概率即可得其分布列，再利用公式求期望即可，对于二项分布求期望时注意利用二项分布期望计算公式 E(X)=np 进行计算.【题文】18. （本小题满分 13 分）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且1ABC
19、1ABC112AB(1) 求证： ；(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求锐二面角 的大小.161C【知识点】空间直线垂直的判定、二面角的求法 G5 G11【答案解析】(1) 略；(2) 3解析：（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， 因 ，则 ，由平面1ABDA1AB1DA侧面 ，且平面 侧面 ，得 ，又 平面 ，ABC1C1B1DC、BC所以 .因为三棱柱 是直三棱柱，则 ，所以 . 又D1 1，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 . 1=BA1AB（2）解法一：连接 ，由（1）可知 ，则 是 在 内的射影CDBC、D1AC、 即为直线 与 所成的角，则 AD1、 =6在等腰直角 中， ，且点
20、 是 中点， ，且 ，1B2A1A12B=2D =6C过点 A 作 于点 ，连 ，由（1）知 ，则 ，且 ，1ECDE1ABC、1ADEAD 即为二面角 的一个平面角，在直角 中：D1AB，又 ， ，1263=22E ，且二面角 为锐二面角 ，即二面角sin=263AE1ACB=3AED的大小为1ACB解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以AB1AB、所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，且设 ，则1、 ,xyzxyzBCa， ， ， ， ， ， ， (0,2)A(,0)B(,0)Ca1(,2)(,0)Ca1(0,2)(,20)A，设平面 的一个法向量 ，由 ，
21、得： 1,1A1,nxyz1Bn1nxyz令 ，得 ，则 ，设直线 与 所成的角为 ，则 ，得y0,xz1(0,)A1C、6，解得 ，即 ，又设平面 的一个法向量为12sin64CAa 2a(,20)1A，同理可得 ，设锐二面角 的大小为 ，则 ，22(,0)1ACB1212cos,nA且 ，得 ， 锐二面角 的大小为 . (0,)313【思路点拨】证明两直线垂直通常可转化为线面垂直进行证明；求二面角可通过寻求其平面角通过三角形求解，也可用向量的方法通过求平面的法向量的夹角解答.【题文】19. （本小题满分 14 分）已知数列 中， ，前 项和 na13n1()12nnSa(1)设数列 满足
22、，求 与 之间的递推关系式；ban1b(2)求数列 的通项公式.n【知识点】数列的递推公式，数列的通项公式 D1 D4【答案解析】(1) ；(2) 1()nb21na解析：（1） ，12nnS11()nnSa ，整理得 ， 等式两边同时除1nnaS1(2)()1nnaa1()1nna以 得 ， 即 ，()1() 1()nb(2)由（1）知 即 ，所以1()nb1()na221n naa 313 ，得 .2nna【思路点拨】一般遇到由数列的前 n 项和与通项之间的递推关系式，通常利用公式进行转化求解.1nnS【题文】20 （本小题满分 14 分）已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是 轴、 轴
23、上的动点，且F)0(12ayx(,0)Mm(,)Nnxy满足 若点 满足 0NMPPON(1)求点 的轨迹 的方程；PC(2)设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于点 、ABABaxS（ 为坐标原点） ，试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由TOFST【知识点】曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系 H8 H9【答案解析】(1) (2) =0axy42解析：（1） 椭圆 右焦点 的坐标为 ， )0(12F(,0)a ， 由 ，得 设点 的坐标为 ，由(,)NFan,MNmnN2mnP),(yx，有 ，PO2(0)2(),)xy代入 ，得
24、.2,ynxm2aay42（2）设直线 的方程为 ， 、 ，ABxt21(,)4Aya2(,)4Bya则 ， 由 ，得 ， 同理得 所以xyalOA14:xyalOB24:axy,41214(,)aSy24(,)aTy，则 ，由 得221,FSFT 4216FT24xta，所以 ，则 ，所以 是定值，且定值2240yat214ya420aSFST为 0 .【思路点拨】求轨迹方程就是求轨迹上任意一点所满足的关系式，本题直接设出动点坐标，利用向量关系即可求出所求轨迹方程.对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把实际问题坐标化，再通过联立方程，利用韦达定理进行转化求解. 【题文】21 （本小题满分
25、14 分） 已知函数 （ 为常数， ）axxf 2)1ln() 0a（）若 是函数 的一个极值点，求 的值；2xf（）求证：当 时， 在 上是增函数；0a)(f),21（）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求正实数 的取值,1(0x )1()20amxfm范围.【知识点】导数的综合应用 B12【答案解析】 （）2；（）略；（） 1,4解析： axxaxf1)2(21)(（）由已知，得 且 ， ， ， （）当0)2(f0202a2时， 0a )1(12 aaa， 当 时， 又 ， ，所以 在212x0202x0)(xf)(xf上是增函数；),（）当 时，由（）知，f(x)在 上的最大值为 则问题转化)2,1(a1,21ln2fa
