1、吉林省东北师大附中 2015 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题（解析版）试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第 I 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】 （1）设集合 M
2、= ,N= ,则如图所示的 Venn 图的|1xZ|(2)0xR阴影部分所表示的集合为(A)0 (B)0,1 (C)0,1 (D)-1,1【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】B 解析：M= = ，N= = |1xZ,01-|(2)0xR，则|02x0,1MN=【思路点拨】先把集合化简，再求交集即可。【题文】(2)“ ”是“ ”成立的2xx（A）充分必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件.A2 【答案解析】C 解析：由 解得 ，但 不能推出 ，21x1x-且 故选 C.【思路点拨】由题意列出不等式组即可。【题文】(4)下列命题中，
3、真命题是（A） （B）,20xR1,lg0x（C ） （D）1,10,loRx【知识点】命题的真假的判断.A2 【答案解析】A 解析： 为真命题；易知 B,C,D 为假命题，故选 A.,2x【思路点拨】利用指数函数以及对数函数的性质即可判断。【题文】 （5） “ ”是“ ”的1xx（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件A2 【答案解析】A 解析：由 得：当 a0 时，有 1 a，即 a1；当 a0 时，不等式恒成立所以 a1 或 a0，从而 a1 是 的充分不必要条件故应选：A【思路点拨】可以把不等式“ ”变形解出 a 的取值范
4、围，然后再作判断，具体地说，两边同乘以分母 a 要分类讨论，分 a0，a0 两类讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法【题文】 （6）若 ，则下列不等式成立的是01b（A） （B） （C） （D）2 122logl2ba21ab【知识点】不等式的基本性质E1 【答案解析】C 解析：b= ，a= ，则 ab= ，b 2= ，故 A 不正确；a 2= ，ab= ，故 D不正确；log =2，log =1，故 B 不正确；0ba1，21，2 b2 a2，故选： C【思路点拨】取特殊值，确定 A，B，D 不正确，0 b a 1 ，21，利用指数函数的单调性，可得 C 正确【题文】 （
5、7）如图，已知直线 l 和圆 C，当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转（转动角度不超过 90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 y 是时间 x 的函数，这个函数的图象大致是(A) (B) (C) (D)【知识点】直线与圆相交的性质H4 【答案解析】B 解析：观察可知面积 S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知 D 符合要求，故选 B【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。【题文】(8)定积分 的值为21xd(A) (B) (C) (D)3ln2343ln
6、21【知识点】定积分B13 【答案解析】A 解析： dx= =ln2ln1+ = 故选：A【思路点拨】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案【题文】 （9）偶函数 的定义域为 R， ， 为奇函数，且 ，()fx()1)gxf(gx(3)=1g则 (2014)=f（A）0 （B）1 （C）-1 （D ）2014【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值B4 【答案解析】B 解析：g（ x）是奇函数，g（ x）=f（x1）= g（x）=f（x1） ；又 f（x）是偶函数，f（x+1）=f（x1） ，即 f（x1）=f（x+1） ，f（x）=f（x+2）=f（x+4）f（ x）是周期
7、为 4 的周期函数；f（2014） =f（2+5034）=f（2）=g（3）=1故选 B【思路点拨】根据 g（x）是奇函数及已知条件得到 f（x+1）=f（x1） ，即 f（x1 ）= f（x+1） ，所以 f（ x）=f（x+2）=f（x+4） ，所以函数 f（x）的周期是 4，所以 f（2014 ）=f（2+5034）=f（2 ） ，所以根据已知条件求 f（2 ）即可【题文】 （10）函数 在 处有极值 10，则点 的坐标为323()=fxab=1(,)ab（A） （B） （C） 或 （D）不存在(3,)4,1(,)(4,)【知识点】函数在某点取得极值的条件B12 【答案解析】B 解析：对
8、函数 f（x）求导得 f（x）=3x 22axb，又在 x=1 时 f（x）有极值 10， ，解得 或 ，验证知，当 a=3，b= 3 时，在 x=1 无极值，故选 B【思路点拨】首先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1 时有极值 10 可得 解之即可求出 a 和 b 的值【题文】 （11）若-1,1 ,则实数 t 的取值范围是2|1xt（A）-1,0 （B） ,0 （C） （D） , (,222【知识点】集合的包含关系判断及应用A1 【答案解析】A 解析：令 f（x）=|x 2tx+t|， 1，1x|x 2tx+t|1，|f （1）|1，|f（1）| 1，即|1+2t| 1，解得：1t 0
9、，实数 t 的取值范围是1，0 ，故选：A【思路点拨】令 f（x）=|x 2tx+t|，依题意可得|f （1）|1，|f（1 ）|1，解之即可【题文】 （12）x 表示不超过 x 的最大整数，函数 ()fx 的定义域为 R； 的值域为0 ，1） ； 是偶函数； ()f ()f 不是周期函数； 的单调增区间为 .上面结论中正确的个数xx(,)kN是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【知识点】函数解析式的求解及常用方法B1 【答案解析】C 解析：f（x）=|x| x，函数的定义域为 Rf（x+1）=|x+1|x+1=|x+1|x1=|x| x=f（x） ，f（x）=|x| x在 R 上为周期是
10、 1 的函数当 0x1 时， f（x）=|x| x=|x|0=|x|，函数x的值域为0，1） ，函数 y=|x|x为非奇非偶函数，函数 y=|x|x在区间（0，1）上为增函数，f（x）的单调增区间为（k ，k+1 ） （kN）故正确，故选：C【思路点拨】根据已知中x表示不超过 x 的最大整数，我们可以分别求出函数 y=|x|x的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的个结论，即可得到答案二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分.【题文】 （13）设函数 若 ，则 a 的值为123,()=log(),xefa(1)2f_；【知识点】函数的值B1 【答案解析】-5 解析：数 f（x）= ，f
11、（f（1） ）=2，f（1）=2e 11=2，f（f（1） ）=f（2）=log 3（4 a）=2，4a=9，解得 a=5故答案为：5【思路点拨】由已知得 f（1）=2e 11=2，从而 f（f （1 ） ）=f（2）=log 3（4a）=2 ，由此能求出 a 的值【题文】 （14）函数 恰好有两个零点，则 的值为_3()=fxmm【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性B12 【答案解析】2 或-2 解析： f（x）=x 33x+m，f （x）=3x 23，由 f（x）0，得 x1 或 x1，此时函数单调递增，由 f（x）0，得1x1，此时函数单调递减即
12、当 x=1 时，函数 f（x）取得极大值，当 x=1 时，函数 f（x）取得极小值要使函数 f（x）=x 33x+a 只有两个零点，则满足极大值等于 0 或极小值等于 0，由极大值 f（ 1）= 1+3+m=m+2=0，解得 m=2；再由极小值 f（1）=1 3+m=m2=0，解得m=2综上实数 m 的取值范围：m=2 或 m=2，故答案为：2 或 2【思路点拨】若函数 f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为 0，建立方程即可得到结论【题文】 （15）函数 是定义在(0,4)上的减函数，且 ，则 a 的取值范()f 2()(faf围是_.【知识点】函数单调性的性质B3 【答案解析】
13、（-1,0） （1,2 ） 解析：根据已知条件，原不等式变成 ，解得1 a0，或 1a2；a 的取值范围是（1，0）（1，2） 故答案为：（1，0）（1， 2） 【思路点拨】因为 f（x）是定义在（0，4 ）上的减函数，所以由 f（a 2a）f（2）得，解该不等式组即得 a 的取值范围【题文】 （16）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，对任意的()fx0x2()=fx，不等式 恒成立，则实数 t 的取值范围是_.,2xt2()tf【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质B4 【答案解析】 （ ） 解析：当 x0 时，f（x）=x 22,函数是奇函数，当 x0 时，f（x）= x
14、2f（x）= ，f（x）在 R 上是单调递增函数，且满足 2f（x）=f（ x） ， 不等式 f（x+t） 2f（x）=f （ x）在t，t+2 恒成立，x+t x 在t，t+2恒成立，即： x（1+ ）t 在t，t+2恒成立，t+2（1+ ）t，解得：t ，故答案为： ，+） 【思路点拨】由当 x0 时，f（x）=x 2，函数是奇函数，可得当 x0 时，f （x）=x 2，从而f（x）在 R 上是单调递增函数，且满足 2f（x ）=f（ x） ，再根据不等式 f（x+t ）2f（x）=f（ x）在t，t+2 恒成立，可得 x+t x 在t，t+2 恒成立，即可得出答案三、解答题（解答应写出文
15、字说明，演算步骤或证明过程）【题文】 （17） （本题满分 10 分）已知函数 2()=|()fxaR（1 ）当 a=0 时，画出函数 的简图，并指出 的单调递减区间；fx()fx（2 ）若函数 有 4 个零点，求 的取值范围.()fx【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法B8 B9 【答案解析】 （1）见解析；（ 2）1 a 0 解析：（1）当 a=0 时， ，由图可知，f（x）的单调递减区间为（ ，1）和（0，1 ） （2）由 f（x）=0，得 x22|x|=a，曲线 y=x22|x|与直线 y=a 有 4 个不同交点，根据（1）中图象得1a0【思路点拨】 （1）当 a=0 时
16、，将函数转化为分段函数，进行化图；（2）根据 f（x）有 4个零点，结合图象确定 a 的取值范围【题文】 （18） （本题满分 12 分）已知直线 为曲线 在点（1,0）处的切点，直线 为该曲线的另一条1l2()fx2l切线，且 的斜率为 1.2（I）求直线 、 的方程；1l（II）求由直线 、 和 轴所围成的三角形的面积.2x【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线的交点坐标B12 【答案解析】 （）y=4x 4，y=x2；（） 3解析：（）求得 f（x）=3x 2+1（ 1， 0）在曲线上， 直线 l1 的斜率为 k1=f（1）=4所以直线 l1 的方程为 y=4（x 1）即 y
17、=4x4设直线 l2 过曲线 f（x）上的点 P（x 0，y 0） ，则直线 l2 的斜率为 k2=f（x 0） =3x02+1=1解得 x0=0，y 0=x03+x02=2 即 P（0，2）l2 的方程 y=x2（）直线 l1、l 2 的交点坐标为直线 l1、l 2 和 x 轴的交点分别为（1，0）和（2，0）所以所求的三角形面积为【思路点拨】 （）求出 f（x） ，把 x=1 代入导函数即可求出直线 l1 的斜率，然后根据斜率和（1，0 ）写出直线 l1 的方程即可；设直线 l2 与曲线相切的切点坐标，将横坐标代入导函数即可表示出直线 l2 的斜率，又 l2 的斜率为 1，列出关于横坐标的
18、方程，求出解得到切点的横坐标，代入 f（x）中求得纵坐标，然后根据切点坐标和直线的斜率为 1 写出直线 l2 的方程即可；（）联立两条直线方程求出交点坐标 ，然后分别求出两直线与x 轴的交点坐标为（1 ，0）和（2，0 ） ，三角形以|2 1|长为底，交点的纵坐标| |为高，根据三角形的面积公式即可求出面积【题文】 （19） （本题满分 12 分）某旅游景点经营者欲增加景点服务设施以提高旅游增加值.经过调研发现，在控制投入成本的前提下，旅游增加值 （万元）与投入成本 （万元）之间满足：yx，其中实数 为常数，且当投入成本为 10 万251ln0(10)0yaxxxa元时，旅游增加值为 9.2
19、万元.（I）求实数 的值；（II）当投入成本为多少万元时，旅游增加值 去的最大值 .y【知识点】函数模型的选择与应用B10 【答案解析】 （I ）a= ；（II） 投入 50 万元改造时旅游取得最大增加值解析：（I）由于当 x=10 万元时 y=9.2 万元，因此，9.2a10 2+ 10ln10+ln10，解得 a=；（II）从而 f（x）= + xlnx+ln10（10 x100） ，f （x）= ，令 f（x）=0，可得 x=1，或 x=50当 x（1，50）时，f （x）0，且 f（x）在（1，50）上连续，因此 f（x ）在（1，50 上是增函数；当 x（50，+） ）时，f（x）0
20、，且 f（x）在（50，+）上连续，因此 f（x）在（50，+ ）上是减函数则 x=50 时，函数 f（x）取得极大值，即投入 50 万元改造时旅游取得最大增加值【思路点拨】 （I）代入 x=10 万元时 y=9.2 万元，可得 9.2a10 2+ 10ln10+ln10，从而求a；（II）求导 f（x）= ，判断函数的单调性从而求其最大值【题文】 （20） （本题满分 12 分）已知函数 ，当 时 取得极值 5.32()9(0)fabxa1x()fx（I）求 的极小值；x（II）对任意 ，判断不等式 是否能恒成立，并说明理12,(3,)12|()|3fxf由.【知识点】利用导数研究函数的极值
21、B12 【答案解析】 （）-27；（） 不等式|f（x 1）f（x 2）|32 能恒成立解析：（）函数 f（x）=ax 3+bx29x（a0）的导数 f（x）=3ax 2+2bx9，当 x=1 时 f（x ）取得极值 5，则有 f（ 1）=5 且 f（ 1）=0，即有a+b+9=5 且 3a2b9=0，解得 a=1，b=3则 f（x）=x 33x29x，f （x）=3x 26x9，f（x）0 得， x3 或 x1；f（x）0 得，1x3则 f（x）在 x=3 处取极小值且为 272727=27（）由于任意 x1，x 2（3，3） ，|f（x 1）f（x 2）|f（x ） maxf（x） min
22、，由（）可知 f（x）在（3，1）上递增， （ 1，3）上递减，则 x=1 取得最大值，且为 5，f（3）=f（3）=27，由于任意 x1，x 2（3，3） ，则|f（x 1）f（x 2）|5（ 27）=32，故对任意 x1，x 2（3，3 ） ，不等式|f（x 1）f（x 2）|32 能恒成立【思路点拨】 （）f（x）是实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为 f（x）=0 的根建立起相关等式，运用待定系数法确定 a、b 的值，进而得到极小值；（）分别求出端点值和极值，通过比较即可的出结论由中求得的函数的单调区间可得函数 f（x）在区间（3 ，3）上单调性，求出最大值和最小
23、值，从而得到对任意x1，x 2（ 3，3） ，不等式|f （ x1）f（x 2）|32 恒成立【题文】 （21） （本题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，其离心率 ，短轴长为 4.53e（I）求椭圆 C 的标准方程；（II）已知直线 和椭圆 C 相交于 A、B 两点，点 Q（1,1） ，是否存:()lyxmR在实数 m，使ABQ 的面积 S 最大？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8 【答案解析】 （） （）3解析：（）由题意可设椭圆 C 的方程为 ，又 e= ，2b=4，a 2=b2+c2，解得 a=3，b=2故椭圆 C 的方程为 （）设直线 l：y=x+mm R 和椭圆 C 相交于 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点联立方程得， ，消去 y 得，13x 2+18mx+9m236=0
