1、【名师解析】湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学 2015 届高三 10 月四校联考数学（理）试题本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数，函数模型、圆锥曲线、立体几何、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1. 复数 z 的共轭复数是（ ） 3 i2 iA2 i B2 i C1i D1 i【知识点】复
2、数的基本概念与运算 L4【答案解析】D z= =-1+i复数 z= 的共轭复数是3()5iii32i-1-I,故答案为：D【思路点拨】根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可【题文】2若 2log3a， 3l2b， 41log3c，则下列结论正确的是（ ）A c B ab C bca Dba【知识点】对数 B7【答案解析】D a=log 23log 22=1，0=log 31b=log 32log 33=1，c =log4 log 41=0，cba13故选 D【思路点拨】利用对数的单调性将 a、b、c 与 0 和 1 进行比较，从而可得 a、
3、b、c 的大小关系【题文】3已知两个集合 ， ，则)2ln(|xyxA012|xeB（ ）BAA B C D )2,121,( ),1(),(e【知识点】集合及其运算 A1【答案解析】B 由 A 中的函数 y=ln（-x 2+x+2），得到-x 2+x+20 ，即 x2-x-20，整理得：（x-2）（x+1）0，即-1x2A=（-1 ，2），由 B 中的不等式变形得：（2x+1）（e-x）0，且 e-x0，即（2x+1）（x-e）0，且xe，解得：x- 或 xe ，即 B=（-，- （e，+），则 AB=（-1，- 故选：B 11212【思路点拨】求出 A 中函数的定义域确定出 A，求出 B
4、中不等式的解集确定出 B，找出 A与 B 的交集即可【题文】4已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中:pR3x:qxR32x为真命题的是（ ）A. B. C. D.pqppq【知识点】命题及其关系 A2【答案解析】C 因为 x=-1 时，2 -13 -1，所以命题 p：xR，2 x3 x 为假命题，则p为真命题令 f（x）=x 3+x2-1，因为 f（0）=-10，f（1）=10所以函数 f（x）=x3+x2-1 在（0，1 ）上存在零点，即命题 q：xR ，x 3=1-x2 为真命题则pq 为真命题故选 C【思路点拨】举反例说明命题 p 为假命题，则p 为真命题引入辅助函数 f（x）=x
5、3+x2-1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题 q 为真命题，由复合命题的真假得到答案【题文】5. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数的应用 B12【答案解析】A 该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线，该抛物线在 x轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在 x 轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；同理可分析正确；从其导函数图象来看，原函数在（-，0）单调递增，在（0，a ）单调递减（a 为图中虚线处的横坐标） ，图与题意不符，故错误；同理可分析错误；故选 A【思路
6、点拨】利用导数大于 0 可得其单调递增区间，导数小于 0 可得其单调递减区间，的正确性【题文】6若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足 ，0)2()( OACBO则ABC 一定是（ ）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案解析】B ( - )( + -2 )=( - )( - )+( - )OBCOABCOAC=( - )( + )= ( + )=( - )( + )A=| |2-| |2=0，| |=| |，ABC 为等腰三角形故答案为： B【思路点拨】利用向量的运算法则将等式中的向量 , , 用三角形的各边对应的OAB
7、C向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状【题文】7定义在 R 上的偶函数 满足 ，当 x3，4时,()fx()2)f ，则 ( ) ()2fxA B sin1cosffsincos3ffC D()()2()()2【知识点】函数的单调性奇偶性与周期性 B3 B4【答案解析】A 由 得到周期为 2，当 x3，4时, 为增函()fx ()2fx数，且定义在 R 上的偶函数，则 f(x)在0，1为减函数，因为 sin1cos1,所以(sin1)(cos)ff故选 A.【思路点拨】先根据函数的周期性奇偶性确定单调性再求结果。【题文】8关于函数 ，有下列命题:)42sin()xf 其表达式可写成 ；co
8、( 直线 图象的一条对称轴；)8xfx是 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到；)(fg2sin(4 存在 ，使 恒成立.),0)3()xff其中，真命题的序号是（ ）A B C D【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】C f(x)=sin(2x- )= （sin2x-cos2x ）f (x)=cos(2x+ )44= （cos2x-sin2x）与原函数不为同一个函数，错误x =- 时，f（x）2 8=sin2（- ）- =sin（- ）=-1，函数取得最小值，所以直线 x=- 是 f(x)图象的一8428条对称轴正确将 g（x）=sin2x 的图象向右平移 个单位得到，得到图象对
9、应的解4析式是 y=sin2（x- ）=sin（2x- ）=-cos2x，与 f（x）不为同一个函数 错误取= ，f（x+）=f （x+ ）=s in2(x+ )- =sin（2x+ ），f （x+3）23=f（x+3 ）= sin2(x+ )- =sin（2x+3- ）=sin（2x+2+- ）3444=sin（2x+ ），所以存在取 = （0，），使 f（x+）=f（x+3）恒成立 正342确故选 C【思路点拨】将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则正确，否则错误若 x=- 时，f（x）取得最值，则 正确否则错误8根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误考虑
10、先取特殊值，比如取 = 等进行验证2【题文】9我们常用以下方法求形如 )(xgfy的函数的导数：先两边同取自然对数得：)(lnlxfgy，再两边同时求导得到： ，11ln()()fxgfx 于是得到 ，运用此方法求得函数()gxfln()fx()gfxy1（ ）的极值情况是( )0A. 极小值点为 B. 极大值点为 eeC. 极值点不存在 D. 既有极大值点，又有极小值点【知识点】导数的应用 B12【答案解析】B 由题意知 y= ( lnx+ 1)= ，（x0）1x2x2ln令 y0，得 1-lnx00xe，xe, 所以极大值点为 , 故选 B.0ye【思路点拨】根据定义，先求原函数的导数，令
11、导数大于 0，解不等式即可。【题文】10设函数 的定义域为 R，如果存在函数 为常数） ，使得)(f ()gxa对于一切实数 都成立，那么称 为函数 的一个承托函数. 已知对于)(xgfx)(f任意 ， 是函数 的一个承托函数，记实数 a 的取值范围为集合(0,1)k(gxa()exkfM，则有（ ）A. e,B. 1e,MC. 1,eMD. 1【知识点】导数的应用 B12【答案解析】C 令 F（x）= -ax，则 F（x）= -ax0对于任意 k（0，1）恒成立xkexke由题意，x0 时，a ，x0 时，a 下面考虑 a ，令 h（x）= ，kkxkxe则 h（x）= 由 h（x）0 得
12、xk，由 h（x）0 得 xk，2(1)ke所以 h（x）在（0 ，k）上单调递减，在（k，+）上单调递增，所以当 x=k 时 h（x）取得最小值 h（k）= ，a ekk（0，1），a ex0 时，h（x）0 ，h（x）在（- ，0）上单调递减，a0，0aee -1M，e M 故选 C【思路点拨】函数 g（x）=ax（a 为常数）是函数 f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数 g（x）的上方（至多有一个交点） ，根据函数，再分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得到结论第卷（非选择题 共 100分）二、填空题：（本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共
13、25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（1114 题）【题文】11在各项均为正数的等比数列 na中，若 228logl1a，则 = 5a 【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】 由 log2a2+log2a8=1，得 log2（a 2a8）=1，a 2a8=2数列a n是等比数列， =a2a8=2所以 = 故答案为： 。55【思路点拨】由对数的运算性质结合已知得到 log2（a 2a8）=1，求出 a2a8=2，再由等比数列的性质得答案.【题文】12计算定积分 _.dx)sin( 21【知识点】定积分与微积分基本定理 B13【答案解析】C ( x3-co
14、sx) = -cos1+ +cos(-1)= 故选：dx)sin( 211132C【思路点拨】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差后的答案【题文】13. 已知函数 ，对任意的3()sin205fxx2,()(0mfxf恒成立，则 x 的取值范围为_ 【知识点】函数的单调性奇偶性 B3 B4【答案解析】 由 求导数的 f(x)为增函数且为奇函数，,33)sin215fx由题意得到 mx-2201410092(12)12 41009(12)1 41009故 ，所以 ， 所以 ，故 M 的最小值为 8. (12)+1 11009 9n8【思路点拨】根据等差数列等比数列性质求出通项
15、公式，利用等比数列求和求出最小值。【题文】19.（本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形NADMBEC是菱形， 是矩形，平面 平面 ， ， ，ABCDANMADNMBCD0A62D=， 是 的中点1=E（）求证： /平面 ； EC（）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出APE-6的长 ；若不存在，请说明理由.Ph【知识点】空间向量及运算 G9【答案解析】 （I）略（） 7（I）CM 与 BN 交于 F，连接 EF由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形，所以 F 是BN 的中点因为 E 是 AB 的中点，所以 ANEF 又 EF平面 MEC，AN平面 MEC，
16、所以 AN平面 MEC （II）由于四边形 ABCD 是菱形，E 是 AB 的中点，可得 DEAB 又四边形 ADNM 是矩形，面 ADNM面 ABCD，DN面 ABCD，如图建立空间直角坐标系 D-xyz，则D（0，0，0），E （ ，0，0），3C（0，2，0），P （ ，-1，h）， =（ ，-2，0）， =（0 ，-1，h），C3EP设平面 PEC 的法向量为 =（x，y，z）则 ， ，1n1n32xyz令 y= h， =（2h， h， ），又平面 ADE 的法向量 =（0，0，1），3132cos ， = = ，解得 h= ，1n2277在线段 AM 上是否存在点 P，当 h= 时使二面角 P-EC-D 的大小为 76【思路点拨】 （I）利用 CM 与 BN 交于 F，连接 EF证明 ANEF，通过直线与平面平行的判定定理证明 AN平面 MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设 x 在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角
