1、数据的预处理与用最小二乘和准最小二乘组合方法校正数据张正江 1, 方伟超 1, 张仁 1, 骆雅晴 1，洪雪聪 1, 邵之江 21. 温州大学，物理与电子信息学院, 温州 325035 E-mail: 2. 浙江大学，工业控制技术国家重点实验室，工业控制研究所，杭州 310027摘 要：过程系统的控制与优化要求可靠的过程数据。通过测量得到的过程数据含有随机误差和过失误差，当有多组数据时，可以对其进行数据的预处理，减小恒值系统误差的影响。此外，采用数据校正技术可有效地减小过程测量数据的误差，从而提高过程控制与优化的准确性。针对传统基于最小二乘的数据校正方法和基于准最小二乘的鲁棒数据校正方法，分析
2、了两种方法的优缺点，并提出了一种最小二乘与准最小二乘组合方法，综合前两种方法各自的优点，使得数据校正结果更加准确。将提出最小二乘与准最小二乘组合方法应用于线性与非线性系统的数据校正中，通过校正结果的比较验证了此方法的高效性。关键词：数据预处理，数据校正，过失误差，最小二乘，准最小二乘Data pretreatment and with the least squares and quasi least squares calibration data combination methodZhengjiang Zhang1, Weichao Fang1, Ren Zhang1, Yaqing L
3、uo1, Xuecong Hong1, Zhijiang Shao21. College of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou 325035, Zhejiang, ChinaE-mail: 2. State Key Laboratory of Industrial Control Technology, Institute of Industrial Control, Zhejiang University, Hang Zhou 310027, Zhejiang, China
4、Abstract: Reliable process data are required for process control and optimization. As a result of random and gross errors existing in the measured process data, data rectification is needed to minimize the measurement errors.When there are multiple data,can carry on the data pretreatment and reduce
5、the influence of constant value system error. Therefore, the results of process control and optimization are more accurate. The advantages and disadvantages of methods for data rectification based on weighted least squares and quasi-weighted least squares are analyzed. An efficient method, weighted
6、least squares and quasi-weighted least squares combined method, is proposed in this paper. The proposed method, considering the advantages of previous two methods, is used for both linear and nonlinear systems. The effectiveness of the method can be demonstrated by the result of numerical simulation
7、s. Key words: data pretreatment, data rectification, gross error, weighted least squares, quasi-weighted least squares引言过程系统的控制与优化要求准确的过程数据，然而通过仪表测量获取过程数据不仅存在随机误差而且有时还存在过失误差，直接影响过程控制与优化的准确性。因此采用数据预处理与数据校正技术，调整测量数据，剔除过失误差，减小随机误差的影响，提高测量数据的质量是过程控制与优化实现过程中重要的环节。自从 Kuehn 等 1961 年首先提出化工过程的稳态数据校正问题，其准则为：在
8、满足物料平衡与能量平衡的条件下，要求校正值与其对应的测量值的偏差之平方和最小 1。此后，国内外学者对数据校正技术做了大量的研究。在线性系统数据校正方面，Crowe 于 1983 年提出了投影矩阵法处理含有未测量变量的线性数据校正问题，通过在平衡方程两边同乘一个矩阵，使未测量变量的系数全为零，从而消去了未测量变量 2。之后学者们对投影矩阵的获取方法进行了研究，Swartz 运用 QR分解方法获取投影矩阵从而解决含未测量变量的数据校正问题 0，其后 Sanchez 和Romagnoli 将此方法发展得更为完善 0。Kelly 提出了一种相对更简单的求解投影矩阵的算法，并且提出了一种更适用于工程实际
9、的基于奇异值分解的算法，特别适合应用于病态系统的数据校正 0。在非线性系统数据校正方面，Crowe 等八十年代提出了一种基于迭代线性化的方法来求解非线性数据校正问题 6-7，随后 Liebman 等人提出应用非线性规划而非迭代线性化来提高求解非线性数据校正问题效率 8。1991 年 Tjoa 与 Biegler 提出了一种有效的算法 9，采用污染的正态分布函数同时描述过失误差和随机误差，并基于极大似然原理构造目标函数。校正目标函数不同于加权最小二乘法，当存在过失误差时也可以得到无偏的校正结果。 基于极大似然原理，Johnston 等研究了一种灵活的高效的鲁棒的估计方法 10。此外还有其它不同的
10、鲁棒的估计方法 11-12。Derya 等对化工过程中的数据校正与过失误差诊断各种方法进行了理论分析和数值实验，分析了各种方法的优缺点 13。数据校正与参数估计在流程工业上的应用主要有郭超、荣冈等将数据校正技术应用于流程工业企业上的物料平衡计算 0。耿宝金与赵霞将数据校正技术应用于能源经营计量系统中 0。刘宝卫、赵霞等将过程测量数据校正技术在线应用于甲醇工厂中 0。蒲扬飞、陈丙珍等将稳态数据校正技术应用于石脑油裂解过程 0。李博、陈丙珍等开发了稳态过程在线数据校正软件 DRS,采用方差检验法进行稳态检测，通过两层次变换进行数据分类，将数据预处理、逻辑判断与整体检验法和测量数据检验法相结合用于侦
11、破、识别过失误差，并在工业过程系统进行实施 0。韩小岗、刘福国等将数据校正用于诊断锅炉减温水阀门泄漏上0。赵亚明、张维玲等将数据校正技术应用于火电厂煤粉浓度软测量中 0。林孔元将数据校正技术应用于常减压蒸馏装置上 0。数据校正一般采用的是最小二乘法，最小二乘法对测量数据仅有随机误差的效果很好，但是当测量数据存在显著误差时，由于显著误差的影响，用最小二乘法获得的校正结果却不准确。因此，学者们鲁棒的估计方法进行了研究，减小数据校正的目标函数对显著误差的影响，从而得到较准确的校正结果。虽然鲁棒的估计方法能抑制显著误差对数据校正结果的影响，然而却不能消除显著误差的影响。本文基于传统的最小二乘法和鲁棒的
12、准最小二乘法的优缺点，提出了一种最小二乘与准最小二乘组合方法，使得数据校正结果更加准确。1. 数据的预处理当拿到多组数据时，要先对其进行数据的预处理，得到较为可靠的数据，减小恒值系统误差的影响。数据的预处理主要是通过编写程序，求出一组大量数据的有效平均值，从而得到一个较可信的数值。我们需要利用现有的求解算法，针对复杂过程系统的优化问题特点（主要包括大规模、非线性、自由度大、求解困难等） ，开展高效求解计算方法的研究，从而解决大规模优化问题求解困难的难题。数据预处理的步骤如下：现采集了某电压的测量数据各 1000 次（见附件） ，对这些测量数据进行处理。1用修正值等办法，对测得值进行修正，将已减
13、弱恒值系差影响的各数据 xi依次列成表格。数据为 excle 的 A1：A1001。2求出算术平均值 ，n=1000，x i为 excle 的 A1：A1001。求得 为 50.98843 求剩余误差 。C1:C10014.求标准差的估计值，利用贝塞尔公式 。求得 = 3.13575. 按 的原则，检查和剔除粗差。 D1：D989 。第一次剔除后剩余 988 个数据。6. 后从开始重新计算。7. 求出算术平均值 ，n=988，x i为 excle 的 D1：D989。求得 为50.8361求剩余误差 。E1:E989。nix1xviniv123iv ixivini1求标准差的估计值，利用贝塞尔
14、公式 。求得 =2.7903按 的原则，检查和剔除粗差。F1：F905。第二次剔除后剩余 904 个数据。求出算术平均值 ，n=904，x i为 excle 的 F1：F904。求得 为49.9900求剩余误差 。G1:G905。求标准差的估计值，利用贝塞尔公式 。求得 =0.2878按 的原则，检查和剔除粗差。F1：F905。第三次剔除后剩余 904 个数据。由此得出，坏值已经全部剔除。8. 断有无变值系统误差。(1).先判断线性误差：马利科夫判据是判别是否存在累进性系差的方法具体步骤如下： a:将 n 项剩余误差 按顺序排列；b:分成前后两半求和，再求其差值；当 n 为偶数时：当 n 为奇
15、数时： c：若，则说明数据不存在累进性系差，若明显地不等于，则存在累进性误差。N=904，求得 D=-6.5878,|D|Ximax|的，所以可以判断存在线性误差。(2).再判断周期误差若满足下列关系式，则认为在测量中存在周期性系统误差。|-2.7509| |2.4898|,所以得出存在周期性系统误差。若存在变值系统误差，其全部测量数据原则上应该舍弃不用。niv123ivviniv123ivni1 xiniinivD12/2/1niini 2/)1(2/)(19. 算术平均的标准偏差 求得 =0.0096。因为 n 很大，所以算术平均值的不确定度为 0.028710. 写出最后结果 ，U=49
16、.99000.0287（V） 2 最小二乘法目前，最简单的稳态数据校正问题就是只含随机误差的线性问题，传统的校正方法是最小二乘方法，其基本假设是：随机误差服从期望为 0 的正态分布。最小二乘法对校正随机误差的效果较好，但是当测量数据存在显著误差时，用最小二乘法获得的校正结果却不准确。在流程工业操作中，仪表测量的数据存在随机误差和显著误差，这直接影响了模拟与优化的精确度。因此采用数据校正技术，调整测量数据，剔除显著误差，减少随机误差的影响，提高测量数据的质量是实时优化实现过程中重要的环节。当测量变量中只存在随机误差时，可以描述为：（1）mx其中 表示测量变量的测量值， 表示测量变量的真实值， 表
17、示随机误差。而当测mx 量变量不仅存在随机误差，而且存在显著误差时，此测量变量可描述如下：（2）mxb其中 为显著误差大小。数据校正就是检测并剔除显著误差，减小随机误差，且使得b校正值满足过程系统的机理模型方程。数据校正问题一般描述如下：（3）1li(,)().0MmriifxestGu其中， 为目标函数， 为校正误差的某个单调函数， (,)mrfx()ie为测量变量的测量值， 为测量变量的校正值，12,.mTMx 12,.rrTMxx为未测量变量的估计值， 为总变量数， 为测量变量个数，Nu N为测量变量的校正误差， 为 的标准差， 为过程系统的机()riiieimi (,)0rGu理模型方
18、程。当 时，上述原理即为传统的数据校正问题所采用的最小二乘方法。21()iie根据最小二乘法的原理，从大量的工业数据中取出测量数据，确定目标函数。然后根据物料守恒、能量守恒等规律，列出约束方程。最后利用目标函数和约束方程，求得原变量的最优解，由此得到的解即为测量变量的校正值。但由于最小二乘法的前提是随机误差服从期望为 0 的正态分布，而现实的测量数据中不可避免会出现显著误差，用最小二乘法xxA3则会造成显著误差的误判。因此最小二乘法不是鲁棒的估计法，下面提出了一种可信度较高的方法，即准最小二乘法。3 准最小二乘法鲁棒估计方法可以构造一种无偏估计函数，在一定偏离理想条件下对这种偏离不敏感，从而得
19、到相对可靠的结果 22。若在数据校正方法中引入鲁棒估计方法，可以使目标函数对偏离理想条件的数据不敏感，从而可达到数据校正与显著误差检测同步的要求。将鲁棒估计理论应用于数据校正中，根据影响函数的定义，可推导出影响函数正比于数据校正中目标函数的导数，即 ，其中 为校正误差， 为估计函数。0()()deI()e在数据校正问题中，如果 是鲁棒的估计函数，则 需满足以下条件：e()(1) 当 时， 应为一常数 ；edc(2) 在随机误差的情况下，即 较小时， 应与测量误差近似成正比，即()e。()de对于最小二乘法， ， ，当 时， ，因此这不2()e()de()de是鲁棒的估计法。当测量误差增大时，为
20、了使目标函数对显著误差不敏感，因此构造估计函数如下： 2()|e（4）其中 为下降因子，用于抑制大的测量误差对目标函数的影响； 为估计器的调整参|e 数。由上式可知，当测量误差较小时，误差对此估计器与对最小二乘估计器影响效果差不多。而测量误差比较大时，由于下降因子的存在使得大的测量误差对此估计器影响较小。如果设定 ，此估计法与最小二乘估计法完全相同，因此称此为准最小二乘估计法 23。0准最小二乘估计法的影响函数可表示为：（5）224,0(),ed当 较小时e（6）()de当 时（7）241lim()e当 时e（8）241lim()e因此，准最小二乘估计法是鲁棒的估计法。由上述过程可以看出，准最
21、小二乘估计法的调整参数 的选择对数据校正的结果影响较大，选择最佳的参数值会使得校正结果更为准确， 的取值可采用方法 AIC(Akaike Information Criterion)进行调整选择。 AIC指标是用来定量地描述过程的真实模型与所建模型之间的偏差，在此中不再做详细介绍。经过很多组实验结论的对比中得出，本论文采用的实例中 取1为佳，所以以下使用准最小二乘法中，取定 。 1与最小二乘法相类似，准最小二乘法也是根据目标函数和约束方程求得最优解。根据上文的描述，用函数 作为目标函数的估计器，可以避免最小二乘法对显2()|e著误差误判的缺点。但是，考虑到估计结果的准确度，虽然准最小二乘法对显
22、著误差的判别能力比较强，但相对来说，准确度有适当的下降。针对两种方法的优缺点，最后总结了一种既能避免显著误差的误判又能有较高的准确度的方法。4 一种最小二乘与准最小二乘组合方法从上文的描述中，我们可知最小二乘法不是鲁棒的估计法，不能准确检测出显著误差；但是它却是优化稳态数据中含有随机误差的线性问题中最理想的校正方法。同时，也可知准最小二乘法是检测显著误差的鲁棒估计法。而流程工业中的测量数据往往同时存在着随机误差和显著误差，因此研究高效的数据校正技术来调整测量数据，先剔除显著误差，再减少随机误差的影响，提高测量数据的质量是本章最重要的环节。基于对最小二乘和准最小二乘法的分析研究，本文提出了一种高
23、效的数据校正方法，即最小二乘与准最小二乘组合法。该过程操作流程模拟与优化主要通过如下步骤来实现：首先，获取工业流程操作中仪器得到的测量数据，通过算法给定初始值，标准差和真实值。然后就是对其进行数据优化校正：先用最小二乘法进行显著误差检测，若存在显著误差就直接进行剔除，再用最小二乘法进行优化计算，以减少随机误差的影响；若不存在显著误差，那么可直接采用最小二乘法对其进行随机误差的优化校正。最终返回校正结果。过程操作优化的流程可简单表示如图 1 所示(WLS 为最小二乘法，QWLS 为准最小二乘法) 。5 实例5.1 线性数据校正实例本文线性引用Heenan 和serth 24采用的蒸汽测量流程作为
24、数据校正与显著误差检测的实例，如图2所示。此流程有28个流股，11个结点，即在这个数据校正实例中，共有28个变量，11个等式约束，所有的变量均为测量变量，各测量变量的真实值如表1所示。将随机误差与显著误差引入测量流量中。当在测量变量 中引入显著误差(即使 增3x3x大30)时，基于最小二乘估计法、准最小二乘估计法和校正两步法的原理，通过Matlab编程实现算法，对测量变量含有随机误差和显著误差的情况分别进行数据校正和显著误差检测，结果如表1所示。开始给定测量信息基于 WLS 的数据校正有无显著误差？基于 QWLS 的数据校正剔除显著误差基于 WLS 的数据校正返回校正结果YESNO图 1 过程
25、优化流程图图 1 过程优化流程图图 2 蒸汽测量流程图表1 蒸汽测量流程的数据校正与显著误差检测结果表最小二乘法 准最小二乘法 组合法测量变量 真实值 测量值 标准差 校正值 显著误差 校正值 显著误差 校正值 显著误差1x0.860 0.868 0.017 0.869 0.868 0.868 21.000 1.009 0.020 1.011 1.009 1.009 3111.820 141.787* 2.236 120.956 3x112.987 3x111.650 3x4x109.960 110.620 2.199 119.077 4111.109 109.773 553.270 52.8
26、89 1.065 53.716 53.494 53.424 6112.270 112.094 2.245 109.621 112.159 112.548 7x2.320 2.339 0.046 2.340 2.340 2.340 8164.050 165.009 3.281 161.835 164.151 164.470 90.830 0.838 0.017 0.838 0.838 0.838 10x52.410 52.573 1.048 52.847 52.626 52.556 14.860 14.722 0.297 14.916 14.779 14.767 1267.270 69.740
27、1.345 67.763 67.405 67.322 3x111.270 112.236 2.225 108.611 111.150 111.539 1491.860 92.188 1.837 95.447 92.440 91.850 560.000 60.309 1.200 61.258 60.214 60.020 16x23.640 23.755 0.473 24.250 23.861 23.817 732.730 32.660 0.655 33.695 32.843 32.735 1816.230 16.281 0.325 16.313 16.295 16.291 9x7.950 7.8
28、98 0.159 7.925 7.906 7.907 2010.500 10.543 0.210 10.568 10.550 10.552 187.320 86.502 1.746 90.928 21x87.939 87.343 2x5.450 5.426 0.109 5.407 5.420 5.420 32.590 2.567 0.052 2.570 2.568 2.568 2446.630 46.254 0.933 47.783 46.771 46.581 5x85.460 86.013 1.709 86.606 85.846 85.719 2681.320 81.637 1.626 80
29、.264 81.067 81.192 27x70.790 70.531 1.416 69.769 70.593 70.718 872.230 72.880 1.445 71.004 72.535 72.725 由表1可知，对于蒸汽测量流程的数据校正和显著误差的检测结果，引入 的显著误3x差后，最小二乘法的检测结果把 和 误判为显著误差；准最小二乘法和组合法则准确4x21检测到只有 为显著误差；通过观察三种方法，显然可以发现，采用组合法之后得到的校3x正值比采用最小二乘和准最小二乘法之后的更接近真实值，它在剔除了显著误差 后，又3根据算法准确估算了接近真实值 的校正值，该线性实例证实了提出的组合
30、法的准确性和3高效性。为了使结论更加有力可信，图3把这三种校正法的结果进行了直观的图像对比。图3中，横轴表示测量变量的个数 ，纵轴表示校正值与真实值之差的绝对值 ，那么图中N|riix所示的点越接近横轴，就表示校正值与真实值之间的差距越小，即得到的校正结果越准确。对比结果如图3所示（WLS表示最小二乘法，QWLS表示准最小二乘法，QWLS+WLS表示组合法） 。5.2 非线性数据校正实例本文选取Biegler 25曾采用的实例进行研究。该实例中有6个已测变量，2个未测变量，6个非线性约束方程，其约束为：(9)2 221236613212236213413252136120.5.7 5.80,.
31、,70,0,26.xxxuxxu0123456789100 5 10 15 20 25 30 35Number of measured variableOffsetsWLSQWLSWLS+QWLS图 3 蒸汽测量流程的校正值与真实值比较图将随机误差与显著误差引入测量流量中。当在测量变量 中引入显著误差(即使 增2x2x大1)时，基于最小二乘估计法、准最小二乘估计法和校正两步法的原理，通过Matlab编程实现算法，对测量变量含有随机误差和显著误差的情况分别进行数据校正和显著误差检测，结果如表2所示。表2 非线性实例的数据校正与显著误差检测结果表最小二乘法 准最小二乘法 组合法测量变量真实值 测量
32、值 标准差矫正值显著误差矫正值显著误差矫正值显著误差1x4.5124 4.51360 0.0902 4.2808 1x4.4773 4.5130 25.5819 6.5770 0.1116 5.7579 25.6082 2x5.5834 2x31.9260 1.9074 0.0386 1.9572 1.9305 1.9258 4x1.4560 1.4653 0.0292 1.4719 1.4660 1.4655 54.8545 4.8491 0.0970 4.7947 4.8389 4.8462 611.070 11.026 0.2156 10.5983 10.9984 11.068 7x0.
33、61467 0.6094 0.6140 0.6146 82.0504 2.0101 2.0413 2.0472 由表2可知，引入显著误差 后，采用最小二乘法会产生 的误判；准最小二乘法和2x1x组合法则准确检测到只有 为显著误差；再观察三种估计法优化后的校正值，显然可以发现，采用组合法之后得到的校正值比采用最小二乘和准最小二乘法之后的更接近真实值，它在剔除了显著误差 后，又根据算法准确估算了接近真实值 的校正值，该非线性实例2 2证实了提出的组合法的准确性和高效性。如前一例子所示，下图为该例的三种校正方法的对比。如图4所示。00.10.20.30.40.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9
34、Number of measured variableOffsetsWLSQWLSWLS+QWLS图4 非线性实例的校正值与真实值比较图6 总结流程工业过程中，测量数据的准确性对于资源的合理利用、故障的推测、系统的优化等都具有很大的作用。因此，对测量数据的校正显得极其重要。本文首先介绍了最小二乘法和准最小二乘法，讨论了他们的优缺点，最后提出了更高效准确的最小二乘和准最小二乘组合方法。然后引用了一个线性实例和一个非线性实例，通过计算机模拟计算比较了三种方法数据校正的结果。从表格和图像中都可以清楚地看到组合法具有更高的鲁棒性，数据校正更准确更高效。参考文献：1. Kuehn D R, Davids
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