1、2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 1 of 11第十四讲等腰三角形中考要求考试要求板块A 级要求 B 级要求 C 级要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等 边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题知识点睛等腰三角形1 等腰三角形的定义：有两条 边相等的三角形叫做等腰三角形2 等边三角形的定义：有三条 边相等的三角形叫做等边三角形3 等腰三角形的性质：(1)两腰相等(2)两底角相等(3)“三线合一”，即
2、顶角平分线、底 边上的中线、底 边上的高互相重合(4)是轴对称图形，底边的垂直平分 线是它的对称轴线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合4 等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形5 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于 606 等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 2 of 11(
3、2)三个角都相等的三角形是等边三角形(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形607 等腰直角三角形的性质：顶 角等于 ，底角等于 ，两直角边相等9045等腰直角三角形的判定：(1)顶角为 的等腰三角形9(2)底角为 的等腰三角形45重、难点重点：探索等腰三角形“ 等边对等角”和“ 三线合一”的性质 ，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助 难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他 们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练例题精讲板块一、等腰三角形的认识【例 1】 下列两个命题：如果两个角是对顶
4、角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是，那么这个等腰三角形一定是等边三角形则以下结论正确的是( )60A只有命题正确 B只有命题正确C命题、都正确 D命题、都不正确【 C【例 2】 如图，在 中， 于 请你再添加一个条件，就可以确定 是等腰三角形你BAC ABC添加的条件是 2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 3 of 11D CBA【 或 平分 或 ABC【例 3】 (2006 年扬州中考)如图，在 中， 、 分别是 、 上的点， 与 交于点 ，给A DEACBDCEO出下列四个条件： ； ； ； (1)上述四EOBOEB个条件中，哪两个条件可判定 是等
5、腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第小题中的一种情形，证明 是等腰三角形BC OE DCBA【 (1)，四种情况可判定 是等腰三角形ABC(2)下面以 两个条件证明 是等腰三角形AB ， ， ，EDEOD ，O ，BC ， 是等腰三角形A【例 4】 如图，点 是等边 内一点， ， 将 绕点 按顺时针方向旋转OABC10AOBCBO C得 ，连接 ，则 是等边三角形；当 为多少度时， 是19060 D D AOD等腰三角形？O DCBA【 分三种情况讨论：要使 ，需 AOADO ， ，190A606 252010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 4 of 11要使 ，需
6、 OADADO ，180()5065 要使 ，需 1904 综上所述：当 的度数为 或 或 时， 是等腰三角形125014ABC【例 5】 (2007 福建晋江中考)如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 ，则下列说法DEa正确的个数有( ) 平分 ； 长为 ；DCBEC(2)a 是等腰三角形； 的周长等于 的长EDBCA 1 个； B2 个； C3 个； D4 个CBAEDCBAECDCBA【 由图可知 ，ADE ， a45又 ， ，C2a 的周 长B2()CED又 ， ， ECE 2.5B ， 是等腰三角形故 正确D【例 6】 如图， ， ， 分别平分 ， 问：ABDA图中有几个
7、等腰三角形？过 点作 ，如图，交 于 ，交 于 ，图中又增加了几个等腰三角形？EFCBECF如图，若将题中的 改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段与 、 有什么关系？如图， 平分 ， 平分外角 交 于 ，交 于 线段 GDBAECFE与 、 有什么关系？B如图， 、 为外角 、 的平分线， 交 延长线于 ，交 延DMNA长线于 ，线段 与 、 有什么关系？ FEBCF2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 5 of 11(1)CDBA(5)(4)(3)(2)(1)MDD DDCC C CB B B BA AA12 3AAB CDEEEE FFFFGMN
8、N【 图中有两个等腰三角形： 、A图中又增加了三个等腰三角形： 、 、EDF图中有两个等腰三角形： 、 ，F由于 ， ， ，故EDBFBCEBCF图所示中仍有两个等腰三角形 、从而 ， ，又 ，故C如图所示与类似， EB板块二、等腰三角形的性质【例 7】 (2008 乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为( )3cm6A 或9cm12c15125c【 【例 8】 已知等腰三角形的周长为 ，一腰长是底边长的 倍，则腰长是( )4cmA B C D4.8c9.62.4c1.2c【 B【例 9】 (2008 沈阳)若等腰三角形中有一个角等于 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
9、50A 或 或5080680【 【巩固】(2007 重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 ，则这个等腰三角形顶角的度数为( )1:4A B C 或 D2012012036【 当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为 ；:202010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 6 of 11当顶角为钝角时，内角的度数之比 为 ，此 时顶角为 故选 1:4120C【例 10】 (2007 四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 ，则该三角形的一个底角25为( )A B C 或 D 或32.57.5657.32.57.【C【例 11】 (2006 自
10、贡)从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A两腰长的和 周长一半 周长 一腰长与底边长的和【 A【例 12】 (2000 年常州市中考题)已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 9 和 12 两部分，求腰长和底长【 设这个三角形的腰长为 ，底 长为 ，则 ，解得 ，或 ，解得 ，xy129xy85xy21xy69xy而 8，8，5 和 6，6，9 均能组成等腰三角形注意等腰三角形中的分类讨论【巩固】等腰三角形的周长是 50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是 32 和 22，求腰长【 设这个三角形的腰长为 ，底 长为 ，一腰上的中线为
11、 ，xy(32)502-根据题意可得： 或 ，解得 或250y2503xx1【例 13】 (05 年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为 12，腰长为 ，求 的取值范围x【 ，且 ，解得12xx20x36x【例 14】 已知等腰三角形的周长为 16，三边长为整数，求底边长【 设腰长为 ，则 ，则 ， ， ，底 边分别为 6，4，2x485x7【巩固】已知等腰三角形的周长为 20，三边长为整数，求底边长【 设腰长为 ， ，且 ，解得 ，则腰长为 6、7、8、9，对应的底边长为x20x20x510x8、6、4、22010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 7 of 11【例 15】
12、等腰三角形中一角是另一角的 2 倍，求各内角的度数【 (1)若底角是顶角的 2 倍， 设顶角为 ，则 ， ，1803627三角形三内角依次是 ， ， 736(2)若顶角是一底角的 2 倍，设 底角为 ，则 ， ， ，24590三角形三内角依次是 ， ， 4590【例 16】 已知 是等腰 一腰上的高，且 ，求 三个内角的度数BDAC50ABDABC【 若 为钝角三角形时， 为顶角时，三内角大小为 140，20，20；AC若 为钝角三角形时， 为底角时，三内角大小 为 100，40，40；若 为锐角三角形时， 为顶角，三内角大小 为 40，70，70【例 17】 在 中， ， 求 ABACBDE
13、A EDCBA【 设 ，则 ， ， ，Ax2Ex3BCx32DBx在 中，可得 ，3180180()7【巩固】在 中， ， ， 求 BCAAEA E DCBA【 设 ，则 ， ，Ax1802Ex12EDBx， ，3180()D 80192ACx在 中， ，解得BC392x45x【例 18】 (2000 年威海市中考试题)等腰三角形的顶角 ，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它902010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 8 of 11分成两个等腰三角形，求 AB CD【 由题意，画出 图形如 图所示，这里 ，90BAC和 都是等腰三角形A， ， ， ，2D设 ，则 ，CxAxx
14、中，B180B ， ，318036【例 19】 的两边 和 的垂直平分线分别交 于 、 ，若 ，求CBCDE150BACDEACED CBA【 根据题意可得： ，BAE则 ADBCDA即 ，解得180150 10【例 20】 (河南省数学竞赛)如图，在 中， ， 在 上， ，在 上取一点ABC50ADC，使得 ，求 的度数EAE AB CDE【 由题设 ， ，及三角形外角定理，A即 ，E有 18021802EDC而 55(1802)C故 ，即2DC2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 9 of 11【例 21】 (2001 年龙岩市、宁德市中考试题)如图所示，已知 中，
15、、 为 边上的点，且ABCDEBC， ，求证： ADEBCABC【 作 于 ， ， 又 ， ，FDEFDEFA AB CD EAB CD EF考察垂直平分线的性质【例 22】 如图， 为等边三角形，延长 到 ，又延长 到 ，使 ，连接 ，求A BAEBD,CE证： 为等腰三角形CE EDCBAFEDCBA【 延长 到 ，使得 ，连接 FE 为等边三角形，A 60,又 EB CDFB 为等边三角形 F 60,E ， CED【例 23】 如图，在 中， ， 为锐角， 分别为边 、 、 上的点，满足ABC,MNDABC， ，且 求证： MNDC2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 pag
16、e 10 of 11AB CDM NEFNMD CBA【 分析若 ，则问题迎刃而解直接证明困难，可考虑反证法解 若 ，则在 上取一点 ，使 ，连接 交 于 ，连接 BEAFEN在 与 中， ， ， ，故 ENNDC于是有 ， E所以 ，从而 ，故 FBCFBBC从而有 A但另一方面，由于 ，知 ，DMAFA所以 11(80)()22N1()2CBACB从而 矛盾故假设不成立EC若 ，同法可证假设 不成立综上所述 ，于是由 知 ，从而 BDN MN说明：在某些平面几何问题的证明中，反 证法也是常用的方法家庭作业【习题 1】(2007 双柏中考)等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边长为
17、【 当腰长为 9 时，三边长为 4、9、9；当腰长为 4 时，三边长为 4、4、9 ，不符合三角形的三边关系，故腰长为 9【习题 2】(1997 年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 和 两部分，12cm则这个等腰三角形的底边的长为( )A B C 或 D无法确定17cm5c17cm5【 设腰长为 ，底边长为 ，此题可分为两类，ab2010 年暑假 初二数学 第 14 讲 教师版 page 11 of 11或 ，第一 类无解；第二类解为 ，故 选 12ab12ab 145abB【习题 3】已知等腰三角形的周长为 20，腰长为 ，求 的取值范围x【 ，且 ，解得20xx2
18、0x510【习题 4】(2001 年江苏中考题)如下图所示， 中， ， 在 上，ABCDBC， ，求 的度数5BADEAD50ED CBA【 设 ， 则 ， ，由外角定理得， ，AAED50ADC即 ，则 又 ，50EC50CE ，E ， 22月测备选【备选 1】 的一个内角的大小是 ，且 ，那么 的外角的大小是( )ABC04ABCA B 或 C 或 D 或1408011408014【 D【备选 2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和 15 两部分，求腰长和底长【 设这个三角形的腰长为 ，底 长为 ，则 ，解得 ，或 ，解得 ，xy152xy107xy125xy89xy而 10，10，7 和 8，8，9 均能组成等腰三角形
