1、 1基于双方合作博弈的效用模型 摘要 针对问题一，首先为了分析供求关系的匹配程度，引入里程利用率x1、车辆满载率x2、万人拥有量x3三个指标，并建立了VS匹配模型。其次以广州市越秀区、番禺区、天河区为空间研究对象，以一个工作日、周末、一周、一个月内为时间研究对象。采用蒙特卡洛法，并经过概率统计分析，得到各个时空指标的仿真数据，并带入VS匹配模型，得到了三个结论：1.三个城区的出租车供求匹配度为：番禺天河越秀。2.在工作日早高峰、晚高峰三个城区供求匹配度低。3.假日平均供求匹配度比工作日平均供求匹配度高。最后采用聚类分析，验证了VS匹配模型是合理的。 针对问题二，通过分析乘客与司机的利益博弈关系
2、，建立了基于PD博弈的效用模型，并推广到均衡演化博弈模型和博弈收益均衡模型。以滴滴打车与快的打车两家公司在推广过程中的同一时间发布的补贴方案为例，将相关数据带入均衡演化博弈模型，得到两家打车公司补贴方案缓解了打车难的问题的结论。以工作日为例，再相关数据带入博弈收益均衡模型，得到各个时间段滴滴打车（0.015，-0.029，-0.034，-0.034，-0.034，0.027，-0.008，-0.027），快的打车（0.011，-0.034，-0.039，-0.039，-0.039，0.022，-0.013，-0.032）的综合偏离指数差值 Z，结论为高峰期可以缓解打车难，但是非高峰期不能缓解打
3、车难。 针对问题三，通过实际分析，设计出以下方案：1、非高峰期，不给任何补贴。2、高峰期时，首先修改抢单规则：司机可发现两公里以内的乘客，发现有单接的司机可以去接乘客，先接上乘客的司机为成功接单，去接乘客的司机但是未接到乘客为未成功接单。成功接单的司机奖 10 元。未成功接单的司机在前往乘客所在地点时，走过的路程的每公里按1元计算给予补贴。利用问题二的基于PD博弈的效用模型并拟合补贴数与偏离方差匹配度的关系函数，进行每单补贴数的合理性验证，并且未成功接单的司机与第三方打车软件的博弈合理性验证，最终得出设计方案较为合理的结论。 关键词：蒙特卡洛法 VS匹配模型 基于PD博弈的效用模型 综合偏离指
4、数差值 2一、问题重述 出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”成为人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。 请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题： (1) 试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 (2) 分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？ (3) 如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。 二、问题分析 针对问题一，首先为了分析供求关系的匹配程度和定量分析供求关系，
5、需引入关相定量性指标。注意到供求关系涉及的利益有双向性。引入里程利用率、车辆满载率、万人拥有量三个指标，由于影响供求匹配度的指标有里程利用率、车辆满载率、万人拥有量等因素，而且根据经验，这些因素都有一个合理的范围，因此为了合理表达供求配度，可以引入综合偏离指数，从而建立了VS匹配模型。其次以广州市越秀区、番禺区、天河区为空间研究对象，以一个工作日、周末、一周、一个月内为时间研究对象，采用蒙特卡洛法，并经过概率统计分析，得到广州市越秀区、番禺区、天河区的一个工作日、周末、一周、一个月内的里程利用率、车辆满载率、万人拥有量的仿真数据，并将各个数据带入VS匹配模型，得到三个区的折现对比图，最后采用聚
6、类分析，验证VS匹配模型的合理性。 针对问题二，通过分析乘客与司机的利益博弈关系，经分析得知，出租车的收益与乘客的花费是对立关系，整个博弈过程我们采用收益函数为目标，收益函数是一个对双方满意程度变化的博弈的函数体现，从而建立了基于PD博弈的效用模型，并推广出了均衡演化博弈模型和均衡解的概率，得到了均衡直线，从而得到各个策略的最终演化趋势。并且也推广了博弈收益均衡模型，得到均衡方程。对均衡方程进行未知变量代换理论分析，求补贴方案与供求匹配程度的关系结果。以滴滴打车与快的打车两家公司在推广过程中的同一时间发布的补贴方案为例，滴滴打车每单奖司机10元，快的每单奖15元，将相关数据代入均衡演化博弈模型
7、，以工作日为例，再把相关数据代入博弈收益均衡模型，得到各个时间段滴滴打车快的打车的综合偏离指数差值，分析补贴方案对供求匹配度的影响。 针对问题三，设计出以下方案：非高峰期，不给任何补贴。在高峰期时，首先修改抢单规则。司机可发现两公里以内的乘客，发现有单接的司机可以去接乘客，先接上乘客的司机为成功接单，去接乘客的司机但是未接到乘客为未成功接单。成功接单的司机奖10元。未成功接单的司机在去乘客的地点所走的每公里按1元计算给以补贴。利用问题二的基于PD博弈的效用模型并拟合补贴数与偏离方差匹配度的关系函数，分析供求匹配变化，论证方案合理性。 3三、模型假设 1、 出租车运营过程不存在严重的交通问题。
8、2、 出租车、乘客、第三方打车软件公司进行的是合作博弈。 3、 不研究出租车和乘客晚上12点到第二天早上7点之前的软件打车情况。 4、 不考虑司机进行的拼车行为与司机的刷单行为。 5、 司机与乘客均为随机关系，不考虑司机的常客。 6、 忽略司机早晚交班对数据带来的影响。 四、定义与符号说明 序号 符号 符号说明 1 x1里程利用率 2 x2车辆满载率 3 x3万人拥有量 4 y综合偏离指数 5 6 An Am乘客平均收益期望 出租车平均收益期望 五、模型的建立与求解 5.1问题一模型的建立与求解 图 1 解决问题一的流程图 4根据题目要求，经查阅相关资料，可以知道可用里程利用率，车辆满载率，万
9、人拥有量三个指标来合理地衡量出租车供求的关系。为了分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度，在标准参加数列条件下，建立方差分析模型，采用综合偏离指数分析同一城市不同城区不同时段的供求匹配程度。 5.1.1指标建立与解释 为了定量分析供求关系，需引入关相定量性指标。注意到供求关系涉及的利益有双向性，即出租车与乘客的利益。对于出租车而言，营业里程与行驶里程比值越大，意味着燃油浪费成本越少。对于乘客而言，希望等待，等待时间的长短取决于空车的量。而每个城市出租车的运营能力硬指标直接体现在人均拥有车辆数。结合参加文献1，引入里程利用率、车辆满载率、万人拥有量三个指标，其定义与解释如下： 设里程利用率为1
10、x，营业里程为l，行驶里程为s，则 1= 100%lxs (1) 里程利用率可以反映车量的载客效率，里程利用率高说明车辆载客比例高，载空率低，说明乘客可租用的车辆少，乘客等待时间长，表现为供不应求。若里程利用率低，则出租车公司经营效率低。外国一些大城市采用里程利用率作为出租车发展的规划指标。其中日本的一些主要城市把里程利用率控制在52%左右。 设车辆满载率为2x，载客车辆数为v，总通过车辆数为，则有 2= 100%vx y(2) 车辆满载率为在客流比较集中的地方选取几个观测点，统计单位时间内道路通过载客车辆数与通过总车辆数的比值。当满载率过高时，应限制出租车的运力，当满载率过低时，应增加出租车
11、运力。这样对满足不同时段客运需求具用重要作用。经查阅相关资料，在中心城市，车辆满载率控制在70%为宜。 设万人拥有量有3x，出租车辆数为f，人口规模（万人）为g，则有 3fxg (3) 万人拥有量是人均拥有车辆量数，在城市道路交通规划设计规范（GB50220-95）给出了大城市不少于每万人20辆，根据下限标准估计最佳数量为每万人25辆。 55.1.2 基于方差分析供求匹配度模型(VS匹配模型)的建立 由于影响供求匹配度的指标有里程利用率、车辆满载率、万人拥有量等因素，而且根据经验，这些因素都有一个合理的范围，因此为了合理表达供求配度，可以引入综合偏离指数。设综合偏离指数为y，则 32011y
12、( )3i iix x (4) 式中 X0i为参考数列，即由经验得出的程利用率、车辆满载率、万人拥有量的理想值。由综合偏离指数的定义可知，y的值越大，表明供求匹配度越低，y的值越小，表明供求匹配度越高。为消除量纲影响，其中3x代入前要进行准标化。 5.1.3 基于方差分析供求匹配度模型的求解 为了采用综合偏离指数进行实例分析，我们以广州越秀区、番禺区、天河区为例，计算不同时段综合偏离指数分析出租车供求匹配程度走势。考虑到客流量受节日出游，上下班高峰的影响，出租车供求匹配程度也会随之变化。为了分析更加全面，贴切实际规律，划分研究时段为工作日、假日（一般指周末）、一周、一个月。其中一天内（指工作日
13、或假日）研究时段为早上7点到晚上23点，为了把上下班高峰期各自归为一个时间节点，以两个小时为时间间隔。一周内则以一天为时间节点。对于一个月内，以合理简化为原则，以一周为时间节点，为了保持数据齐整性，这里把一个月看成四周，忽略月末23天。 （1） 数据准备 基于蒙特卡洛法的数据仿真模型 根据标准和网上数据得出数据范围，以该范围作蒙特卡洛法随机生成数（具体代码见附录一）。 1高峰期相关数据生成 车辆满载率（工作日）：根据前文可知平均车辆满载率为70%，因为上下班的原因，各时段的车辆满载率会有所不同，高峰期和低峰期的车辆满载率差异也会相对较大。因为区域之间的单位繁荣度的差异，城区之间的车辆满载率也会
14、有所不同，单位繁荣度越高，车辆满载率也会相对提高。 里程利用率（工作日）：根据所找到的数据，得出平均里程利用率为55%-60%，但是由于里程利用率的数据难以采集，我们采取一般的情况，车辆满载率的提高，则出租车的营运距离增加，并且总的行驶距离总体不变，可得里程利用率会相应提高。 周末： 根据生活经验，周末和工作日相比较，高峰期的时段会有所改变，而且高峰期的满载率会低5%左右。 一个月：因为10月份第一个星期为国庆节，所以第一个星期为高峰期。 62低峰期相关数据生成： 车辆满载率（工作日）：低峰段分多个时间段，而且每个时间段的车辆满载率都会因工作时间而尽不相同。根据网上所查数据，晚上非高峰期的车辆
15、满载率也会比工作时间稍高一些，而单位繁荣度也会使城区之间有所差异。 车辆满载率（周）：由高峰期数据可得，以周为单位的低峰期为周一到周五。 车辆满载率（月）：有节假日的一周内会处于一个月的高峰期，而其他时间为非高峰期。 （2） 模型求解及分析 以广州越秀区、番禺区、天河区为研究对象，利用matlab软件编程可以得到三个城区各时间段的综合偏离指数。表1给出了一个工作日内番禺区、天河区、越秀区的综合偏离指数。周末、一周、一个月的综合偏离指数详见附录八。 表 1一个工作日内综合偏离指数 时间段 番禺 天河 越秀 79 0.044521943 0.060222289 0.093898068 911 0.
16、013255277 0.015422289 0.027798068 1113 0.006155277 0.010388956 0.023798068 1315 0.009255277 0.010922289 0.023398068 1517 0.004821943 0.010722289 0.027331401 1719 0.049321943 0.072588956 0.099664735 1921 0.013155277 0.036022289 0.055098068 2123 0.00648861 0.017522289 0.036864735 为了直观反映综合偏离指数变化，根据所得数据
17、利用EXCEL软件绘制折线图，分别如图2，图3, 图4，图5。 图 2 图 3 7从纵向来看，4 幅图均表明番禺区的综合偏离指始终在三个城区中始终最低，天河区位于第二，越秀区最高。说明越秀区出租车资源供求匹配程度在三个城区中最低，需要优先调整越秀区出租车资源配置。分析图2，三个城区折线趋势一致，关联性较强。在79点和1719点上下班高峰期均出现了综合偏离指数峰值，表明客流增多时供求关系紧张。 而在其余时段供求匹配程度较高。分析图3，第一高峰期出现在1113点，且最大峰值仅有0.08。 与图2比较，可知周末人们出行高峰延迟了3个小时左右，且峰值较小，原因是考虑到周末出行有较大主动性，有人会选择错
18、峰出行，但是整个过程平均水平较工作日高，图4的折线也验证了这点。图4是选择了10月份为研究对象，第一个星期正好是国庆假期，因此在图5也表现出了第一星期综合偏离指数明显比第二、第三、第四星期高的特点。 综合以上分析，可以得到几点结论：1.三个城区的出租车供求匹配度为：番禺天河越秀。2.在工作日早高峰、晚高峰三个城区供求匹配度低。3.假日平均供求匹配度比工作日平均供求匹配度高。 5.1.3基于聚类分析对模型的检验 为了验证以上分析的合理性，我们通过聚类分析对部分结果进行分析验证，确保结果的合理性。 聚类分析是一种定量方法，可以从数据分析的角度，把相似的对象分为一类。为了简化起见，我们仅以一个工作日
19、内的番禺区为研究对象，分析匹配程度相似的时间节点，从而验证综合偏离指数的合理性。聚类对象原始数据如表2所示 图 5 00.010.020.030.040.050.060.07星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日综合指数偏离表（周）番禺 天河 越秀图 4 8表 2 番禺工作日指标数据 时间段（时） 里程利用率 车辆满载率 79 85% 91% 911 48% 57% 1113 51% 68% 1315 48% 63% 1517 55% 70% 1719 86% 93% 1921 70% 80% 2123 65% 70% SPSS软件是常用的统计分析软件，具有简单易操作的特点。而
20、且软件提供了简单的聚类方法。我们通过SPSS软件中的系统聚类方法得到了以表2数据时间段为聚类对象，以里程利用率和车辆满载率为指标的聚类结果，如图6所示 图 6 聚类的时间段在图中用1，2，3，8来表示，从聚类图中可以看出，1和6为相近的一类，再与7组成一个次大类。1代表的时间段为早上79点，6代表的时间段为1719点，两个时间节点正是早高峰和晚高峰，而7对应的时间节点1921点综合偏离指数也较大。对比图1可以知道，综合偏离指数高的聚成一类。由此可以认为，利用综9合偏离指数来分析出租车供求匹配度是合理的。 5.2. 问题二模型的建立与求解 图 7解决问题二的流程图 基于PD博弈的效用模型2对于问
21、题二，经分析得知，出租车的收益与乘客的花费是对立关系。对于乘客而言，希望花费（包括时间与金钱）越少。而对于出租车而言，应当是利润最大化。补贴打车平台软件的出现，为乘客和出租车提供了选择。要分析打车软件对打车难的缓解作用，可通过分析乘客和出租车对打车软件的满意度变化。若满意度上升则可以认为打车软件对缓解打车难有积极的帮助。易知乘客出行选择打车软件的概率与满意度为正相关，而基于概率决策问题可用博弈论进行分析求解，整个博弈过程我们采用收益函数为目标， 收益函数是一个对双方满意程度变化的博弈的函数体现。 5.2.1模型准备 设集合M为出租车集，集合N为乘客集 则出租车策略集为 1 2 , ( )M M
22、 MS S S 有补贴方案（ ）没有补贴方案 乘客策略集为 1 2 , N N NS S S 没有补贴方案（ ）有补贴方案（ ） 10假设乘客一次乘坐交通工具所获得的逆效用为 i i i i iW bP cT (5) 其中iW表示乘客选择第i种交通工具的效用函数，iP表示乘客用第i种交通工具的所花资金变量，iT表示乘客所花总时间，b ,ci i是待计算的参量。 从逆效用函数定义以及功能来看，而,Ti iP越大对乘客越不利。由于ib是iP的系数，所以不难得出0ib ，同理可知0ic 。 乘客采用有补贴出租车方案逆效用函数是 1 1 1 1 1W bP cT (6) 乘客采用没有补贴出租车方案逆效
23、用函数是 2 2 2 2 2W b P c T (7) 乘客采用公共交通方案逆效用函数是 0 0 0 0 0W b P c T (8) 由于有补贴与没有补贴在实际中对1 2,c c的值影响不会很大，故可以合理地认为1 2 0c c c 设出租车运营一次的收益为，一次运营成本为h，一次运营补贴t，则出租车一次运营收益为 P h t (9) 出租车使用没有补贴方案收益公式是 1 1P h (10) 出租车使用有补贴方案收益公式是 2 2P h t (11) 出租车集群与乘客集群的支付矩阵如下表所示 表 3 支付矩阵 SM1 SM2 SN1 W0, 0 W1,1 SN2 W2 , 2 W0 ,1 1
24、1 5.2. 均衡演化博弈模型构建 （1）模型建立 设出租车集合采用1MS的概率为p，则采用2MS的概率为1-p。设乘客集合采用 的为q，则采用2NS的概率为1-q。 出租车采用策略1MS的收益期望是 1 2 2*0 *(1 ) *(1 )ML q q q (12) 选择策略1MS时的收益期望是 2 1 1 1* *(1 )ML q q (13) 则出租车平均收益期望是 2 1* *(1 ) *(1 )MA p q p (14) 由以上式子可推导出租车司机的复制动态方程： 2 1(1 ) (1 p) dpp p pdt (15) 乘客采用2NS时收益期望是 1 0 1*W *(1 )NL p
25、W p (16) 乘客采用2NS时收益期望是 2 2 0*W *(1- )NL p W p (17) 乘客平均收益期望是 1 2*L (1 )*LN N NA q q (18) 由以上式子可推导出乘客复制动态方程： 0 1 2 0(1 ) W (1 ) W (1 )W dqq q q p W p p pdt (19) 12分析出租车时注意到当0dppdt 时，p处于稳定状态。若2 12q ，则有p恒为零。当2 12q 时， 0p为演化稳定策略。当2 12q 时，1p是演化稳定策略。 同理对乘客动态方程分析，0dqqdt 时，q稳定。如果0 10 1 22W WpW W W (其中1 00W W
26、 ，2 00W W )，则q恒为零。当0 10 1 22W WpW W W ，0q为演化稳定策略。当0 10 1 22W WpW W W 时，1q为演化稳定策略。 （2)均衡解3 设各方能够接受的现状点为1 2( , , , )nd d d d ，可看作谈判时的威慑点，在此基础上均衡地分配全体合作的获利B，根据n个数的和一定，当它们相等时乘积最大的原理，该模型为 1max ( )ni iix d(20) 1,niist x Bi ix d ( 1,2, )i n (21) 得到 11( )ni i iix d B dn (22) 0d 时，相当于各方平均分配B; d x时，均衡解等价于协商解。
27、 经上述分析，将所得复制动态关系和均衡解集（q=p 的所有集合点为一条直线）放置于二维坐标轴表示，如图8所示 13图 8 在自信上为达到双方合作博弈的最满意点，双方合作后最大利益点称为博弈论里面的均衡。显然司机为服务方，乘客为被服务方。打车软件的推广，首先必然是先有出租车司机用户，再有乘客用户，可以认为司机的满意度比乘客的要大，因此初始的p和q点集落在均衡直线下方。 当均衡直线下方的A面积最大时，最终会演变成q*=1,p*=0，这时表明乘客和司机都倾向于没有补贴的方案，所以这时会出现司机消极接单，乘客尽量不选择出租车出行。在博弈过程中，司机消极接单加大了打车难的问题，乘客数量减少，供求匹配度上
28、升，一个正反馈一个负反馈对打车难来说，所以当A面积最大时，模型失效，无法判断是否缓解了打车难的问题。 当均衡直线下方的B面积最大时，最终会演变成q*=1,p*=1，这时表明乘客不倾向补贴方案，而司机倾向补贴。，所以这时会出现司机积极接单，乘客不想坐出租车。也就是说，司机积极接单打车就相对容易了，而乘客不想打车，打车的人少了，打车就不难了，一个正反馈一个负反馈对打车难来说，所以当B面积最大时，模型可验证出补贴对打车难有帮助。 当均衡直线下方的C面积最大时，最终会演变成q*=0,p*=0.也就是说在这时，乘客喜欢这个补贴，司机也不喜欢这个补贴。，所以这时会出现司机消极接单，乘客想坐出租车。也就是说
29、，司机消极接单加大打车难，而乘客想打车，打车的人多了，打车就难了，一个正反馈一个负反馈对打车难来说，所以当C面积最大时，模型可验证出补贴对打车难没有帮助，并且还会增加打车难度。 当均衡直线下方的D面积最大时，最终会演变成q*=0,p*=1.也就是说在这时，乘客和司机都喜欢这个补贴，所以这时会出现司机积极接单，乘客想坐出租车。也就是说，司机积极接单减少打车难，而乘客想打车，打车的人多了，打车就难了，一个正反馈一个负反馈对打车难来说，所以当D面积最大时，模型失效，无法判断是否缓解了打车难的问题。 结论：当均衡直线下方，面积最大的是A或者是D时，模型失效。 当均衡直线下方，面积最大是B是，可以缓解打
30、车难。 当均衡直线下方，面积最大是C时，不能缓解而且还增加难度。 14(3)博弈收益均衡模型 以上为博弈双方的定态分析，接来下我们通过乘客平均收益望各出租车收益期望进行定量分析。 乘客平均收益期望是 1 2*L (1 )*LN N NA q q (23) 则出租车平均收益期望是 2 1* *(1 ) *(1 )MA p q p (24) 综合上述式子消参得到 1 1 1 2 2(1 ) (1 )( ) (1 ) (1 )MA p bq b pq P b p pq P p t pq (25) 0 0 0 0 0 1 2 2(1 )(1 ) ( ) ( ) ( )NA q p pq b P c T
31、 c q pq T c p pq T (26) 利用博弈论中的均衡解，当两个平均收益期望相等时，双方合作博弈，达到双方的最大利益化，即 N MA A(27) 称为合作博弈下的均衡等式。将各个公司的每单补贴t带入可得到对应的T2与P2。结合问题一，对时间与空间的研究，T2对时间的里程利用率有影响，P2对空间的运载率有影响，相对问题一，则有 2 1=*T T（ ）出租车的平均速度）出租车减少的里程一天的利用率行车路程(28) 2 1*P P（ ）减少的满载率出租车的每人的成本 通过的出租车的数量(29) 根据满载率以及里程利用率的减少量，题问一原始数据，可得到用打车软件后的满载率以及里程利用率。而
32、万人拥有量在短时间内不会有太大的变化。利用问题一方差分析模型再次对求出各时空的综合偏离指数，对比前后供求匹配度的变化情况。 155.2.2模型求解 （1）数据准备 查阅相关资料以及根据经验分析，得到相关数据如表4所示 表 4 高峰期初始p 0.9 高峰期初始q 0.08 非高峰期初始p 0.57 非高峰期初始q 0.17 出租车单位运行成本b10.2076元/（公里*人） 出租车单位运行成本b20.2076元/（公里*人） 出租车速度v126.8km/h 公交车单位运行成本b00.0988元/（公里*人） 公交车速度v019.3km/h 出租车一次运行成本h 3.04元 出租车一次运营的平均时
33、间T10.273h 软件打车时间T20.518h 平均车费P120元 打车软件平均收费P2 15元 （2）模型求解 以滴滴打车与快的打车在在推广过程中的补贴方案为例。 滴滴打车在2014年2月17日，补贴方案为司机每单奖10元。 快的打车在与滴滴打车同一时间，补贴方案为司机每单奖15元。 现在，分别对这两家公司的补贴方案是否对缓解打车难 将以上数据以及模型中的相关公式带入威慑点（0 10 1 22W WW W W ，2 12 ）。分别得到两家公司的威慑点。 滴滴打车：威慑点：（0.5475，0.2277），再画出演化博弈图，如图9所示。 16图 9 可知，落在均衡直线一下的最大区域面积为B区域
34、。所以为司机喜爱补贴方案，而人不喜爱补贴方案。结论为此补贴方案对缓解打车难有帮助。 快的打车：威慑点：（0.5475，0.2277），再画出演化博弈图，如图10。 图 10 可知，落在均衡直线一下的最大区域面积为B区域。所以为司机喜爱补贴方案，而人不喜爱补贴方案。结论为此补贴方案对缓解打车难有帮助。 虽然滴滴打车和快的打车的最大面积区域都为B，但是落在均衡直线下的面积大小却不一样。 滴滴打车快的打车。可以大胆假设，滴滴打车补贴方案比快的打车的补贴方案对缓解打车难更大。 所以继续对均衡解博弈收益量化分析。 17保留未知常数P2, T2以及t，将上述数据带入乘客平均收益期望与出租车平均收益期望方程
35、，并且建立均衡方程。 . * . * . * . * . 1 2 20 106 c 0 707 c 53 5345 t 0 1078 w 8 7408 (30) 再分别将滴滴打车与快的打车的补贴方案带入上式中，得到两家公司的均衡方程 滴滴打车： . * . * . * . 1 2 20 106 c 0 707 c 53 5345 t 7 6628 (31) 快的打车： . * . * . * . 1 2 20 106 c 0 707 c 53 5345 t 7 1238 (32) 再分别带入P2或者T2的值，分别得到不同P2和不同T2下的T2与P2。结果如表5所示 表 5 方案 T2 P2 滴
36、滴打车 0.0945 28.2854 滴滴打车 0.1046 27.5231 再通过模型中的减少的里程利用率与减少的满载率公式X分别得到滴滴和快的相对非软件方案的里程利用率和满载率减少量，如表6所示 表 6 方案 减少的里程利用率 减少的满载率 滴滴打车 0.0191 0.04818 快的打车 0.0181 0.04375 以一个工作日为研究周期，可得到两种补贴方案下的实际程利用率和满载率。其中滴滴打车补贴方案下的车辆满载率和里程利用率分别如表7表8所示，快的打车详见附录九。 表 7 滴滴打车方案车辆满载率 时间段 番禺 天河 越秀 79 0.86182 0.90182 0.93182 911
37、 0.48019 0.50019 0.50019 1113 0.59019 0.61019 0.62019 1315 0.54019 0.59019 0.60019 1517 0.61019 0.63019 0.64019 1719 0.88182 0.91182 0.92182 1921 0.71019 0.74019 0.75019 2123 0.61019 0.63019 0.66019 18表 8 滴滴打车方案里程利用率 时间段 番禺 天河 越秀 79 0.80625 0.82625 0.89625 911 0.45074 0.49074 0.51074 1113 0.48074 0.
38、55074 0.58074 1315 0.45074 0.51074 0.54074 1517 0.52074 0.57074 0.65074 1719 0.81625 0.87625 0.92625 1921 0.67074 0.79074 0.82074 2123 0.62074 0.69074 0.74074 利用以上数据采用问题一基于方差分析供求匹配度模型求出综合偏离指数如表9所示，其中2表示滴滴打车方案，3表示快的打车方案。 表 9 打车软件综合偏离指数 时间段 番禺2 天河2 越秀2 番禺3 天河3 越秀3 79 0.031168 0.045 0.07567 0.035654901
39、 0.049934 0.081843 911 0.025866 0.026055 0.038041 0.020699661 0.02155 0.033644 1113 0.011595 0.013265 0.025491 0.009036261 0.01153 0.02414 1315 0.018274 0.015776 0.027068 0.014441261 0.01338 0.025057 1517 0.008284 0.012011 0.026461 0.006386128 0.010829 0.025933 1719 0.035034 0.055587 0.080883 0.0397
40、44234 0.061372 0.08752 1921 0.007704 0.026434 0.044325 0.008840461 0.028886 0.047163 2123 0.008 0.01647 0.033041 0.006642795 0.015937 0.033445 19用表9综合偏离指数与问题一非打车软件下所得综合偏离指数作出折线图进行对比分析，图11图12给出了天河区两种打车方案与非打车软件方案综合偏离指数对比折线图。以天河为例，根据前面计算结果，再进一步计算得到综合偏离指数差得到表10。 表 10 天河区综合偏离指数差值Z 滴滴打车 快的打车 0.015222 0.01
41、0288 -0.02958 -0.03451 -0.03461 -0.03954 -0.03408 -0.03901 -0.03428 -0.03921 0.027589 0.022655 -0.00898 -0.01391 -0.02748 -0.03241 00.010.020.030.040.050.060.070.0879 911 1113 1315 1517 1719 1921 2123时间段/（时）综合偏离指数天河1 天河300.010.020.030.040.050.060.070.0879 911 1113 1315 1517 1719 1921 2123时间段/（时）综合偏离
42、指数天河1 天河2图 11 图 12 20根据图11与图12表10结果表明，在高峰期打车软件方案综合偏离指数明显比非软件方案小，可以得出在高峰期打车软件方案使得供求匹配程度升高的结论。说明在高峰期打车软件方案可以缓解打车难。 观察图中的非高峰期部分出现了与高峰期相反的结果。这是因为在非高峰期时，打车并没有那么难。往往打车难都是出现在高峰期的时候。所以有了打车软件以后，出现了一种现象，就是司机为了补贴而不去接路边招手的乘客，反而去接较远的使用打车软件的乘客。这样反而不能使资源最大程度的使用。所以导致了在非高峰期时间段，有补贴方案的话，会对打车难有一点程度上的增加，并且观察曲线可知，影响程度不是很
43、大。 基于聚类分析对模型结果的验证 同样采用问题一验证方法可以得到天河在工作日时滴滴和快的软件方案下基于里程利用率和车辆满载率的聚类图分别如图13图14所示 图 13 滴滴打车方案 21图 14 快的打车方案 根据图7，时段1，6聚成大类对应的是早晚高峰期，其余聚成另一大类应对的是非高峰期，与表X综合偏离指数吻合。图8与图7不同的是时段7，8聚成小类与时段1，6较接近，原因是快的方案时段7，8对应的偏离指数相对较高。因此可以认为该模型结果是较为合理的。 5.3问题三模型的建立与求解 对于问题三，通过对现有方案的分析，我们设计一个新的补贴方案。 5.3.1方案设计 图 15补贴方案流程图 221
44、、非高峰期，不给任何补贴。 2、高峰期，首先修改抢单规则：司机可发现两公里以内的乘客，发现有单接的司机可以去接乘客，先接上乘客的司机为成功接单，去接乘客的司机但是未接到乘客为未成功接单。 1成功接单的司机奖10元。 2未成功接单的司机在去乘客的地点所走的每公里按1元计算给以补贴。 5.3.2方案验证 图 16验证方案流程图 （1）每单补贴数合理性的验证 根据前面模型一、模型二和问题、问题二得出的结论，我们可以得到各补贴数下高峰期与非高峰期综合偏离指数如表11所示 表 11 综合偏离指数 补贴（元） 高峰期 非高峰期 0 0.07 0.0194 10 0.0539 0.0213 15 0.057
45、6 0.0203 根据经验以及对问题一、二的结论可知，综合偏离指数随补贴的关系为一元二次函数的关系，因为当补贴达到一定值时，会对偏离指数正反馈，补贴继续增加反而综合偏离指数会上升。利用matlab的cftool工具箱拟合曲线得到图17低峰拟合曲线、图18高峰拟合曲线。 23图 17低峰拟合曲线 由低峰曲线拟合曲线可知，二次函数没有极小值只有极大值。所以没有最合理的补贴方案存在。所以在非高峰期时，不应该给任何补贴，给了补贴反而会加重打车难，并且对司机、乘客与第三方打车软件都不利，并且根据了解司机作弊刷单几乎都是在非高峰期时期进行，所以根据以上分析不应该选择在非高峰期给补贴。 图 18高峰拟合曲线
46、 24由高峰曲线拟合曲线可知，二次函数有极小值。代表在高峰期的时候，存在最合理的补贴方案。通过求解得到最合理的补贴方案是每单奖10.13元。 所以在补贴方案中，提出了非高峰期不予补贴。高峰期成功接单奖10元。 （2）未成功接单的司机与第三方打车软件的博弈合理性验证 设a1为每公里运营成本，b1每公里范围内通过的出租车辆。m1为打车软件投入的总钱数，n为乘客可搜索到的出租车车量，m2为未接到单司机的每公里补贴数 表 12 a1b12.3181 16 网上调查分析，与实际分析。得出根据问题二的博弈模型可得下列关系 第三方打车软件的效用函数为 1 1 1Vpp a m bn (33) 未成功接单的司
47、机的效用函数为 1 2V a m司机(34) 1M与2m之间的关系 1 21 10m n m （ ） (35) 联立以上三个方程可得 12110bma n (36) 根据第二问的博弈均衡解，当n无限大时，m2能取得最大值为 114.3138ba (37) 因为2m为未接单司机的补贴所以还需除以n。所以 14.31380.86275m (38) 取整为2m=1，所以当2m=6时，n=4.630，取整为n=5。 所以，当2m=1，n=5时为第三方打车软件与未成功接单司机的博弈均衡点。以上验证充分说明了设计方案的合理性。 25六、模型评价与推广 (1)模型评价 优点：问题一，采用蒙特卡洛法，并经过概率统计分析仿真数据，采用了差分分析以及聚类分析相互验证相互分析。 问题二，本文采用了双方博弈论的基础，并且在效用函数上找出均衡解，建立了基于PD 博弈的效用模型，并推广出了均衡演化博弈模型和博弈收益均衡模型。利用均衡直线与均衡点解决了乘客与司机的合作博弈问题。 问题三，
