1、2012年 和田师范专科学校学报 Ju12012第3l卷第一期 总第75期 化二次型为标准形的几种方法 张钊 (驻马店职业技术学院河南驻马店463000) 摘 要对于日益呈现数字化社会的今天，高等代数是一门应用最广的学科之一，而二次型是高等代数中的重要部分。二次型理论与矩 阵密切相关。二次型的化简方法是对其进行研究与应用的重要基础。本文给出了化二次型为标准形的一些方法。 关键词二次型；标准形：化简 二次型是高等代数中比较重要的一个知识点，但同时 也是难点，很多同学对此掌握得都不怎么好，结合自己的 教学实践与经验，总结出几种将二次型化为标准型的几种 方法这几种方法各有其特点，解题时可根据其特点和
2、要求 采取最佳方法，以达到简明快速的目的。特别是偏倒数法 和顺序主子式法，只要按公式计算即可。 1配方法 用配方法化二次型为标准形的关键是削去交叉项，分 如下两种情形处理： 情形1 如果二次型 ( ， ， ，xD含某文 字，例 的平方项，而口 0，则集中二次型中含X。 lI 的所有交叉项，然后与 配方，并做非退化线性变换为： J，l=c11 +cl2 +Cn Xn Y2=： y ：=xn (c。 P) 得f= +g(Y2， )其中g( ， 是 ， 的二次型。对于g(Y2， )重复上述方法直 到化为二次型厂为标准形为止。 例l ( ， ， ， )= +3+4 +4xlx2 2xX42x2x36X
3、2x4 4-2X3X4 用配方法化将上式为标准形，并写出所做的非退化线性。 解：f= +2Xl(2X=-x4)+(2x2一 ) 一(2 一 ) +3 I Yl=x1+2x2一x4 令j 2 (6) 则 = 一 +3 一2 一2 +2 = 一( +2Y2(Y3+ )+( +Y4) )+ +4y4 +4 = 一( + + ) +( +2 ) 儿0 f z Z4= l xI= 一2 十 l =zl I I j Y2 (8)，j 2 2 3 (9) l x3=Y3 I =z3-2z4 【 【 Z4 z2一z3一z4 x3=Z32Z4 【 4 z4 注：此题中它的标准形为 = 一Z22+ ，它还是 四元
4、二次型，只是z 的系数为零；所做的线性变换式(7) 必须有Y4= 项，否则不是非退化线性变换。 情形2 如果二次型厂( ， ，x3， ：不含平方 项，即 =0，但含某一个 O(iJ)，则可做非退 xi yi+y J 化线性变换：Xj= 一 ，( =1，2，n；k-Tei， )把_厂 【 = 化为一个含有平方项Y 的二次型，再用情形1的方法将其 化为标准形。 注：为了化二次型为标准形所用的非退化线性变换对 情形1中的线性变换应写出它的逆变换(即用Y 表示出 X：)，再将化简过程中每一步的线性变换进行复合，得到 总的线性变换；将配方法过程的每一步用矩阵写出来，相 当于对二次型的矩阵 逐步采用合同变
5、换进行化简，最终 化为对角矩阵。 例2 f(xl，X2，X3)=XlX2+ )c3+X2X3，用配方法将此 2012年 和田师范专科学校学报 Ju12012第3l卷第一期 总第75期 式化为标准形，并写出所用的非退化线性变换。 fxI=YlY2 解：由于没有平方项，故令 = + 得： 【 ： f= 一y2)(yl+J，2)+ 一 ) 一( + 2) = 一 +2yly3=(Ya+ )。一 一 l Z1 Yl+Y3 企I Z2 I Iz3 Y3 l 一z3 即 ：Z2 l 【Y3 z3 得：f= 一Z22一Z32。 所用非退化线性变换为： I =(Zlz3)一Z2=Zlz2一z3 x2=(zlz
6、3)+z2=Zl+z2一z3 【 =z， 2初等变换法(合同变换法) 用非退化线性变换 =cy化二次型厂=xAx为标准 形，由定理1知相当于对对称矩阵 找一个可逆的矩阵 C，使C C=D为对角矩阵。由于可逆矩阵C可以写成 若干初等矩阵的积，即C= 只 ，从而有： =D， ERR =C， 即相当于对矩阵 做初等行变换或初等列变换。 初等变换法如下： 第一步写出二次型的矩阵 ，并构造2n 矩阵 ( 第二步对 进行初等行变换和同样的初等列变换，把 化为对角矩阵 ，并对E施行与 相同的初等列变 换，化为矩阵C，此时CAC=D； 第三步写出非退化线性变换 =cy，化二次型为标 准形f=vDy。 该法可以
7、如图表示为： 苎塑堂笪堕壁 塑兰 变垫塑 竺型銮选 XCE只进行其中的初等列变换 f(xl，x2， )= +3+2xx2+ x3+2x2x3 用初等变换法化为标准形，并写出其非退化线性变换。 f，1 1 2、 解：由题可知二次型的矩阵为 =I 1 0 1 l 【2 1 3 J 所以可得： 1 1 2 l 0 l 2 1 3 1 0 0 0 1 O 0 0 1 c2一q = c上 一1 一2r1 l 0 0 0 一l l 0 1 1 1 1 2 0 l 2 0 O 1 1 0 0 0 1 0 0 0 O l 一1 一l O 1 1 0 0 1 ， 故非退化线性变换量= 壹 篓化二次型为 = 一
8、。 21yl2+ + 。其中 ， ， 是实对称矩 特征值构成，即D=diag( ， ， ， )，写的时候 f= + + 求一个正交线性变换，将f= 十 + -2 可以求得I 一2El=-(2-2) ( +7)，于是A的特征 值为 = =2， =一7，可求得对应 = =2 2012年 和田师范专科学校学报 Ju12012第31卷第一期 总第75期 = 一 =( 2， ， 1 再将这些向量进行单位化可得： ( ， ，。 =( ， ， )， 又对应于 =-7的特征向量为 =(一1，一2，2) ，单 位化得g，=(一三，詈，；) 故正交线性变换(兰= 2 Z l 34 3 l 4 2 3 3 0 化二
9、次型为：f=2yl2+2 2-7 4偏导数法 在二次型中，若有 o，取 ： 则： = +f2j，(2)不包 )，对 施行类似的计 aii 算，直至写成平方项为止，再换元；若所有qf=0，但有 一个 取 = 善， 善 ： 厂= ( + ) 一( 一 ) +(2j 不含 对 施类似计算，若 出现平方项，用上法解。 例 5 化 二 次 型 ( ，X，X) X X+rrx+ X l为标准形，并求出 所作的线性变换。 解： ( ， ， )： 1_of(xxz,x)： ( + ) Z OX, Z ( ，X2， )= 1 of(xl， ， ) 2 Oxz 1， 、 ( + ) L f(x,x2,xs)=l(
10、xI“+X2+2x3) 一 ( 一 ) 一 其中 =一。 fYl= + + 令 = 一 或 I 【J，3 1 l l+ 一Y3 1 1 为所做 X2 一 一Y3 3 线性变换。可将二次型化为标准形，即有： 厂( ， ， )= 1 2一 1 ，2+ 5顺序主子式法 二次型的矩阵A=( ) ，若Al=a l 1 ， ll2 1 1 2I I 。a22 一- 0，则二 次型可化为标准形： f(xI ， ， )=- + A2 J，22+ 2 例6 化二次型厂( ，x2， )= +5xxz一 为标 准形(用顺序主子式法)。 解：由题设得二次型的矩阵为： A= 1 三 o 2 三02 2 0 2 0 =l，2= -25，所 ( ， ， ) ：yt一25 22+ 16 32 ：= 一4 2+ 3 一l：1 5_2 il 一 所以1=1，2= -25，3= 而 )= 一筹 + -4 2 即：( ， ，jf3)= 一 25 z+ 16 2 ；
