1、第 21 章 二次函数和反比例函数一、选择题1已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）Ay=2x 2+x+2By=x 2+3x+2Cy=x 22x+3 Dy=x 23x+22抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）Ay=x 2x2 By= x2 x+2Cy= x2 x+1 Dy=x 2+x+23一抛物线的形状、开口方向与 y=x24x+3 相同，顶点在（2，1），则此抛物线的解析式为（ ）Ay= （x2） 2+1 By= （x+2） 21 Cy= （x+2） 2+1 Dy= （x+2） 2+14把抛物线 先向右平移 1 个单位
2、，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）A B C D5已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）Ay=2（x+1） 2+8By=18（x+1） 28 Cy= （x1） 2+8 Dy=2（x1） 28二、填空题6抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（1，6）两点，则 a+c= 7已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x 10 1 y 220 则该二次函数的解析式为 8已知抛物线与 x 轴有两个交点（1，0），（3，0），并且与 y 轴交点的纵坐标为6，则这个二次函数的解析式为 三、解答题9已知
3、二次函数 y=ax2+bx+c，当 x=4 时，y=3；当 x=1 时，y=8；当 x=2 时，y=1；求这个二次函数的解析式10如图，二次函数 y=ax24x+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A（4，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点 P，满足 SAOP =8，请直接写出点 P 的坐标11如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），设抛物线的顶点为 D（1）求该抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？12已知抛物线经过两点 A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直
4、线 x=2，求其解析式13在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，4），且过点 B（3，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标14如图所示，已知抛物线 y=2x 24x 的图象 E，将其向右平移两个单位后得到图象F求图象 F 所表示的抛物线的解析式15已知二次函数 y=ax2+bx3 的图象经过点 A（2，3），B（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 个单位第 21 章 二次函数和反比例函数
5、参考答案与试题解析一、选择题1已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）Ay=2x 2+x+2By=x 2+3x+2Cy=x 22x+3 Dy=x 23x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解【解答】解：设这个二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得： ，解之得 ；所以该函数的解析式是 y=x23x+2故本题选 D【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式一般步骤是先设 y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出 a、b、c 的值即
6、可得到解析式2抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）Ay=x 2x2 By= x2 x+2Cy= x2 x+1 Dy=x 2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式【专题】压轴题【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解【解答】解：A、由图象可知开口向下，故 a0，此选项错误；B、抛物线过点（1，0），（
7、2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是 ，而 y= x2 x+2 的顶点横坐标是 = ，故此选项错误；C、y= x2 x+1 的顶点横坐标是 ，故此选项错误；D、y=x 2+x+2 的顶点横坐标是 ，并且抛物线过点（1，0），（2，0），故此选项正确故选 D【点评】本题考查抛物线与系数的关系与及顶点横坐标的计算公式，是开放性题目一般式：y=a（xx 1）（xx 2）（a，b，c 是常数，a0）3一抛物线的形状、开口方向与 y=x24x+3 相同，顶点在（2，1），则此抛物线的解析式为（ ）Ay= （x2） 2+1 By= （x+2） 21 Cy= （x+2） 2+1 Dy= （x+2）
8、2+1【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】首先确定 a 的值，再利用顶点式即可解决问题【解答】解：抛物线的形状、开口方向与 y=x24x+3 相同，a=1，顶点为（2，1），抛物线解析式为 y=（x+2） 2+1故选 C【点评】本题考查二次函数有关知识、顶点式等知识，解题的关键是理解抛物线形状、开口方向与 y=x24x+3 相同，则 a 相同，属于中考常考题型4把抛物线 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）A B C D【考点】二次函数图象与几何变换【分析】确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线
9、的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可【解答】解：抛物线 y= x21 的顶点坐标为（0，1），向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位，平移后的抛物线的顶点坐标为（1，3），得到的抛物线的解析式为 y= （x1） 23故选 B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便5已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）Ay=2（x+1） 2+8By=18（x+1） 28 Cy= （x1） 2+8 Dy=2（x1） 28【考点】待定系数法求二次函数解析式【专题】压轴题【分析】顶点式：y=
10、a（xh） 2+k（a，h，k 是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，8）故二次函数的解析式为 y=2（x1） 28故选 D【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（xh） 2+k 的顶点坐标是（h，k）二、填空题6抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（1，6）两点，则 a+c= 2 【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过+，得出 2a+2c=4，即可得出a+c 的值【解答】解：把点（1，2）和（1，6）分别代入 y=ax2+bx+c（a0）得：，+得：2a+2c=4，则
11、 a+c=2；故答案为：2【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过+，得到2a+2c 的值，再作为一个整体出现，不要单独去求 a，c 的值7已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x 10 1 y 220 则该二次函数的解析式为 y=x 2+x2 【考点】待定系数法求二次函数解析式【专题】图表型【分析】可任选三组数据，用待定系数法求出抛物线的解析式【解答】解：由于二次函数经过（1，2）、（0，2）、（1，0），则有：，解得 ；该二次函数的解析式为 y=x2+x2【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查
12、了方程组的解法等知识，难度不大8已知抛物线与 x 轴有两个交点（1，0），（3，0），并且与 y 轴交点的纵坐标为6，则这个二次函数的解析式为 y=2x 24x6 【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式【分析】由于已知抛物线与 x 的交点坐标，则可设交点式 y=a（x+1）（x3），然后把（0，6）代入求出 a 的值即可【解答】解：设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x3），把（0，6）代入得 a（3）=6，解得 a=2所以抛物线解析式为 y=2（x+1）（x3），即 y=2x24x6故答案为 y=2x24x6【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法
13、求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解三、解答题9已知二次函数 y=ax2+bx+c，当 x=4 时，y=3；当 x=1 时，y=8；当 x=2 时，y=1；求这个二次函数的解析式【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】把三组对应值分别代入 y=ax2+bx+c 得到关于 a、b、c 的方程组，然后解方程组求出 a、b、c 的值，从而得到二次函数
14、解析式【解答】解：根据题意，将 x=4，y=3；x=1，y=8；x=2，y=1 代入 y=ax2+bx+c，得： ，解得： ，故二次函数的解析式为：y= x2+ x 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解10（2012绥化）如图，二次函数 y=ax24x+c 的图象经过坐标原点，与 x
15、 轴交于点A（4，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点 P，满足 SAOP =8，请直接写出点 P 的坐标【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）把点 A 原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据三角形的面积公式求出点 P 到 AO 的距离，然后分点 P 在 x 轴的上方与下方两种情况解答即可【解答】解：（1）由已知条件得 ，解得 ，所以，此二次函数的解析式为 y=x 24x；（2）点 A 的坐标为（4，0），AO=4，设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 SAOP = 4h=8，解得 h=4，当点 P 在 x
16、 轴上方时，x 24x=4，解得 x=2，所以，点 P 的坐标为（2，4），当点 P 在 x 轴下方时，x 24x=4，解得 x1=2+2 ，x 2=22 ，所以，点 P 的坐标为（2+2 ，4）或（22 ，4），综上所述，点 P 的坐标是：（2，4）、（2+2 ，4）、（22 ，4）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点 P 在 x 轴的上方与下方两种情况讨论求解11（2013 秋 锦江区校级期中）如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），设抛物线的顶点为 D（1）求该抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】（1）根据条件可设两点式，把 C 的坐标代入可求得解析式，可求得顶点坐标；（2）由勾股定理可分别求得 BC2、BD 2、DC 2，再根据勾股定理的逆定理可判定BCD 为直角三角形
