1、2015 届贵州省遵义市第四中学高三上学期第三次月考数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分 考试时间 120 分钟第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1已知复数 521iz，则它的共轭复数 z等于 ( )（A） i （B） i （C） 2i （D） 2i2将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )3执行如图所示的程序框图后，输出的值为 4，则 P 的取值范围是 （ ） （A） 71586P（B）（
2、C ） 16587p（D） 434若“ 01x”是“ ()(2)0xa”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） （A） (,01,) （B） (1,0) （C ） , （D ） ,(,)5.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( )（A） （B） （C） （D）3yxln()yxxye2yx6.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社会活动，如果要求至少有 1 名女生那么不同的选派方法共有( )（A）14 种 （B ） 28 种 （C）32 种 （D）48 种 7若把函数 sinyx（ 0）的图象向左平移 3个单位后与函数 cosyx的图象重合，则 的值可能是 (
3、 )（A） 13 （B） 12（C） 2 （D） 238.双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直2(0,)xyab12F， 10线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为 ( )M2Fx（A） （B） （C） （D）35629.设 1B，若 2CA，则 AB的最大值为 ( )（A） 3 （B）2 （C） 8529 （D） 310.已知 是周期为 的函数，当 x （ ）时，(),()fxRkZ且 ,2设 则 ( )2cos.f1),2,(3)afbfcf（A）cba （B）bca （C）acb （D）cab11已知点 在直线 上移动，当 取得最小值时，过点 引),(yx
4、p3yyx4),(yxp圆 的切线，则此切线长为 ( )2211()4（A） （B） （C） （D）6 123212. 已知函数 ，把函数 的零点按从小到大)0(1)(2)xfxf 1)(xfxg的顺序排列成一个数列，则该数列的前 n 项的和 ,则 ( )nS10（A） （B） （ C）55 （D）4512029第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13若实数 x、 y满足20,xyb且 2zxy=+的最小值为 3，则实数 b= 14 52)1(3(a的展开式中一次项的系数为 ,则 的系数为 5x15在 Rt ABC 中，若 C9
5、0， AC b， BC a，则 ABC 的外接圆半径 r ，a2 b22将此结论类比到空间有_ 16给出以下四个命题：若函数 32()fxa的图象关于点 (1,0)对称，则 的值为 3；若 10，则函数 yfx是以 4 为周期的周期函数；在数列 n中， 1， nS是其前 项和，且满足 12nnS，则数列 na是等比数列； 函数 3(0)xy的最小值为 2则正确命题的序号是 。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17（本小题满分 12 分）已知数列 ).0(1,.12, 11 nnnnn babaaba满 足（I）求证数列 是等差数列，并求数列
6、 的通项公式；n n（II）令 ， 求数列 的前 项和 .1bcncnS18.（本小题满分 12 分）底面 为一个矩形，其中 ， 。顶部线段 平面 ，棱ABCD6AB4D/EFABCD， ， 二面角 的余弦值为 ，设2FEEF17是 的中点， NM,（I） 证明： 平面 ；BCNM（II）求平面 BEF 和平面 CEF 所成锐二面角的余弦值.19 （本小题满分 12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。（I）请求出位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；（II）为了能选出最优秀的学生，高
7、校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 人进入第二轮面试，求第 3、4、5 组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为 178 分，但不幸没入选这 100 人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？（III）在（II）的前提下，学校决定在 12 人中随机抽取 3 人接受“王教授”的面试，设第 4 组中被抽取参加“王教授”面试的人数为 ，求 的分布列和数学期望20. （本小题满分 12 分）已知 垂直平分线与 交于 Q 点.的线 段线 段 2121 ,4),0(,( PFF 1PF（I）求 Q 点的轨迹方程；（II）已知点 A（-2,0）
8、 ， 过点 且斜率为 k（ 0）的直线 l与 Q 点的轨迹相交于2,E两点，直线 E， 分别交直线 3x于点 M,N，线段 的中点为 ，记直线 的斜率为 k.求证 为定值.2PF21. （本小题满分 12 分） 已知函数 . axfln)(（I）若曲线 在 处的切线为 ，求 的值；y(1,)f 10xya（II）设 ， ，证明：当 时， 的图象始终在 的图象的下)(xga0a)(f)(xg方；（III）当 时，设 ， （ 为自然对数的底数） ， 表示1)(1)(xgexfhe)(h导函数，求证：对于曲线 上的不同两点 ， ， ，存在唯一的)(xhC1,Ay2(,)By12x，使直线 的斜率等于
9、 012,AB)(0x请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲切线 与圆切于点 ，圆内有一点 满足 ， 的平分线 交圆于 ，ABCABCAED，延长 交圆于 ，延长 交圆于 ，连接 ECFDGF（）证明： / ； （）求证： GE23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，已知点 的直角坐标为OxP（1，5） ，点 的极坐标为（ 4， ） ，若直线 过点 ，且倾斜角为 ，圆 以 为M
10、2l3CM圆心，4 为半径.（）求直线 的参数方程和圆 的极坐标方程；lC（II）试判定直线 与圆 的位置关系.24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ()|2|fx（）解不等式 ； 30f（）对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围(3,)x()fxm数学（理科）答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D D C D A C A B C A D二、填空题：139/4； 1439； 15在三棱锥 ABCD 中，若 AB、AC、AD 两两互相垂直，且 ABa，ACb，AD c ，则此三棱锥的外接球半径 R a2 b2 c221
11、6,三、解答题：17. 18.解析：（1） 平面 ，且 平面 ，/EFABCDEFAB又 平面 平面 ,(线面平行的性质定理). /AB又 是平行四形 两边 的中点， , ,NM, ,MN/NEF/四点共面. 2 分FE, ,又 ，且 ,CBFBCFN平 面平 面平面 . . 4 分ENM(2)在平面 内 做 的垂线，垂足为 ,则由第 H(1)问可知： 平面 , 则平面 ABCD 平面,所以 平面 ,FHABCD又因为 ， 则二面角 的的, FBCA平面角为 .6 分N在 和 中， RtFNBtH， 26817cos682NFH6 分8H过 做边 的垂线，垂足为 ,连接, ,CDAB, QSF
12、S,解法一 由作图可知， ,QAB平,由第（1）问， ， ,/EF平是要求二面角 的平面角. .9 分SQCB在 中， ,428tantaQSS)(tnFF，158tant1aSQ，即二面角 的余弦值是 . .12 分75cosSFCEFB175解法二 以 为坐标原点，以 方向为 轴正方向建立空间直角坐标系，HHN,zyx,则由解法一知： ， , ,)8,0()2(S)0()2(B则 , ,2(SFB设平面 的一个法向量为 ，AE)1,(1yxn则由， .9 分01nSBF028yx),04(1同理可求得设平面 的一个法向量为 (也可根据对称性求得)， CDEF1,2n 10 分于是有： ，1
13、75610|,cos2121 nn根据法向量的方向，设二面角 的平面角为 ，CEFB则 .12 分175,cos21n19 （1）由题意知， 组频率总和为 ，故第 组频率为 ，即处的数字为 ；1 分30.0.3总的频数为 ，因此第 组的频数为 ，即处数字为 2 分04202频率分布直方图如下：4 分（2 ）第 组共 名学生，现抽取 人，因此第 组抽取的人数为： 人，345、 、 601233012=6第 组抽取的人数为： 人，第 组抽取的人数为： 人. 7 分2=4516公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取 人，每个人被抽到的概率是相0同的. 8 分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）（3 ） 的可能取值为 0123.、 、 、 38124()5CP21843()5CP84312() 4312()的分布列为：142810355E12 分19. 解： （1）已知的垂直平分线与 交于 Q 点， 2121 ,),(,( PFF PF由于 所以 ，即 Q 点是以 为1 QPQ241 21F焦点的椭圆 2 分故所求 Q 点方程为 . 3 分1342yx5成绩807.102.34.506.78频 率组 距频率分布直方图
