1、上次内容回顾,位移干扰引起的强迫振动 周期激励引起的强迫振动 任意激励引起的强迫振动 隔振设计,本次教学内容,两自由度系统的自由振动方程 固有频率和主振型 自由振动方程的求解 自由振动特性 强迫振动的运动微分方程及其求解,一、两自由度系统的自由振动方程,二自由度系统振动模型,质量矩阵和刚度矩阵的基本概念：在今后的有限元理论和结构力学中将大量使用到这些概念。一般来讲，若系统具有n个自由度，则质量矩阵和刚度矩阵为n阶方阵（有n行n列各元素），它们反映了机械系统的质量分布、结构形式以及支撑条件等系统本身固有不变的特性，且为对称矩阵。当n=1时，质量矩阵和刚度矩阵分别退化为系统的等效质量和等效刚度。运
2、动微分方程有形如（2）的统一形式。,二、固有频率和主振型,1、固有频率的计算根据常微分方程理论，方程（1）的基本解（特解）为：,为了求解方便，引入：,方程（1）可化为：,对（3）求二阶导数得：,思考：对一般情况，把(3) 和(5)代入(2)，如何得到频 率方程？,系统的第一主频率，或第一阶固有频率，或基频，,对于机械系统，不管简化成什么形式的动力学系统，基频有着很重要的工程意义，大家在以后的工程实践中会逐步体会到此问题。,系统的第二主频率，或第二阶固有频率。,系统的固有频率只取决于系统本身的物理性质。,2、振型,由（6）式可知：,振幅之比与系统的固有特性有关，而且随固有频率不同而不同，通常用振
3、型表示振幅之比，分别用 表示第一阶固有频率和第二阶固有频率对应的振型。,上标(1),(2)表示第1、2阶频率,下标1、2表示第1、2变量,我们知道：,因此：,回顾一下：,因此：,结论： 1）尽管振幅的大小取决于许多因素（如初始条件），但是当系统按某一频率振动时，振幅比只与该振动频率和系统的固有物理特性有关；,2）二自由度系统各点的运动均可用x1、x2表示，而由（8）可知，当系统以某阶频率振动时，由于 等于振幅之比，因此振幅比决定了整个系统的振动形态，因此将,称为系统的主振型，也可叫系统的固有振型。,当系统以某一阶固有频率振动时，称为系统的主振动。,第一阶主振动：,第二阶主振动：,讨论： 1）由
4、于 ，因此如果系统作第一主振动时，根据（9）可知，各点的运动方向相同。,2）由于 ，因此如果系统作第二主振动时，根据（10）可知，m1和m2的运动方向永远相反。,由于结点的固定性，限制了振幅的增大。,3）对n自由度系统而言，有n阶固有频率和主振型，第I阶振型一般有（I-1）个结点，因此阶数越高，结点越多，则振幅的增大约困难。反过来，对于低阶的主振动，由于结点少，故低阶的主振动容易被激起，因此，在工程实践中，我们更关心的是低阶振型。,三、自由振动方程的求解,前面我们讨论了2自由度系统的二阶主振动，它们只是振动微分方程的特解（基本解），根据微分方程理论，通解应该是特解的叠加，所以：,四个待定常数：
5、,初始条件：,（11）展开得：,求导得：,代入初始条件得：,得：,得：,得：,得：,类似地：,四、自由振动特性,1、运动规律 1）两个简谐运动的合成； 2）各阶主振动所占的比例由初始条件确定（即振幅的大小），但由于低阶主振动更容易被激起，因此一般情况下总是低阶主振动占优势。 2、频率和振型 3、结点和结面,五、强迫振动的运动微分方程及其求解,对质量块m1：,对质量块m2：,令：,1、运动微分方程,2、方程求解,方程（1）是典型的线性常微分方程组，设其解为 ，则,对实际的工程系统，由于阻尼的存在，自由振动解会很快地衰减掉，因此往往只关心受迫振动，受迫振动可写成：,思考：为何与外部激励没有相位差？,因为忽略阻尼,（2）和（3）代入（1）得：,Assignment,1、一辆汽车重17640N，拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧常数为171500N/m。试确定系统的固有频率和振型。,2 如图所示系统，不计摆杆的质量。 1）试写出系统的运动微分方程 2）证明系统作微振动时的频率满足下式,
