1、“超级全能生 ”浙江省高三 2017 年 8 月联考（A 卷）数学试题选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 a是实数， i是虚数单位，若 ia)1(是纯虚数，则 a（ ）A 2 B1 C D 22.椭圆 962yx的离心率是（ ）A 43 B 47 C 37 D 533.若实数 yx,满足约束条件 041yx，则 x的最大值是（ ）A 1 B1 C2 D34.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 3 B 23 C. 3 D 635.已知数列 na的前 项和为 nS
2、，且 qpSan1（ 1,*pN） ，则“ qa1”是“ na为等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6.已知 ),0(x，且 32cosin00x，则 0（ ）A 612 B )15,( C. )127,( D )43,127(7.若 4433220 )()( xaxxaxa ，则 a（ ）A 83 B C.8 D 68.已知向量 ba,满足 1|23|,2| ba，则当 |5|ba取最大值时，有 |ab（ ）A4 B6 C8 D109.设 ,是有限集合，定义： 2)()(),( BAcrdcrdBAd，其中 )(Acrd表示有限集合 A中的
3、元素个数，则下列不一定正确的是（ ）A )(),(carBd B )()(),(ar C. (rdA D |)()(|21BcardArBcrdAd 10.如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥 CV可绕着 任意旋转， 平面 ，NM,分别是 BCD,的中点， 5,2A，点 在平面 上的射影为点 O，则当 |M最大时，二面角 OA的大小是（ ）A 015 B 09 C. 06 D 045非选择题部分（共 110 分）二、填空题11.直线 l： 0yx经过圆 C： 022ayxyx的圆心，则 a 12.已知随机变量 的分布列如下表：则 p ； )(E . 13.在 ABC中，角 ,所对的边分
4、别为 cba,，已知 b2，若 43sinC，则 Bsin ；若22abc，则 cos 14.盒子中有红、蓝、黄各 1 个小球和 3 个相同的白色小球，将 6 个小球平均分给 3 位同学，若 3 位同学各有 1 个白球，共有 种不同的分法；若恰有 1 位同学分得 2 个白球，共有 种不同的分法.15.已知 Rzyx,， 422zyx，则 yzx的最大值是 ；又若 0zyx，则 的最大值是 .16.函数 |1|3|)(2af 在 R上有四个不同的零点，则实数 a的取值范围是 .17.已知直线 l： )4(kxy交双曲线 C： 132yx于 BA,两点，交 x轴于 Q，交 y轴于 P，若 QBAP
5、21，且 382，则 2k .三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.函数 1cosincos)(2xxf ， R.（1）求函数 的单调递增区间；（2）求函数 )(xf在 4,0上的值域.19.在直角梯形 ABCD中， 09， BCAD/，且 NM,分别为 BCA,上的点，沿线段NM,分别将 N,折起， 三点恰好重合于一点 P.（1）证明：平面 P平面 ；（2）若 5,3cos，求直线 P与平面 所成角的正弦值.20.函数 )(ln21)(Raxxf .（1）当 0a时，求 f在 1,0上的极值点；（2）当 m时，不等式 )(2)(fm
6、f恒成立，求实数 a的取值范围.21.如图，已知直线 mxy2与抛物线 C： yx2相交于 BA,两点，定点 )1,2(M.（1）证明：线段 AB被直线 平分；（2）求 M面积取得最大值时 的值.22.已知数列 na满足： )(21)2(,3211 Nneaenn .（1）证明：数列 n为等差数列；（2）证明：数列 a单调递增； （3）证明： 221)1(en .试卷答案一、选择题1-5：CBDAC 6-10：DACCA 二、填空题11 1 12 32,6 13 86, 146，18 15 362, 16 ),9()1,0 17.4三、解答题18、 （ 1）由题意知， )42sin(12sin
7、co1)( xxxf .令 )(242Zkk，即 883kx，故函数 )(xf的单调递增区间为 )(8,3Zkk.（2 ）由（1 ）可知， xf在 8,0上单调递增，在 4,8上单调递减，2)(,)4(0f，故 )(xf在 ,0上的值域为 2,1.19、解：(1)证明：有折叠的性质可知， PNMDP，且 PD， PM平面 ND，又 平面 ，平面 平面 P.（2） 5,3cos，在梯形 ABC中，有 5,3cosADCN，过点 D作 ，垂足为 ，则 4in5 ， 3sinN，由题可知 21M， 4)(21CB， 8DNCPS， 9421524)85(21 DNCBMABMS梯 形设点 P到平面
8、的距离为 h，PNDMNDV三 棱 锥三 棱 锥，即 PMSNDMND31，解得 916h，即点 到平面 的距离为 96，设直线 与平面 所成角为 ，责问其正弦值 4516sinh.20、解：（1） )0(1)( xaxf ，令 axg2)(， 02a， )(xg的判别式 4，令 )(f，得 241.当 02a时， 12a，所以 )(xf在 ),0a上单调递减，在)1,4(上方单调递增，即 )(xf在 1,0上有 1 个极值点 2410ax.（2）不等式 mamfmff ln2)12ln()()(2)( ,即 2ln1ln)1( aam，令 xxg， 2，要使不等式 22ln)1ln()1(
9、maam恒成立，只需 xxgl)(在 ,上单调递减，令 0)(g，即 x在 ),上恒成立，可得实数 a的取值范围是 1,(.21、 （ 1）证明：设 ),21yBxA，联立方程组 22xy得 022mx， mx2121,，则 x )(, 2121212121 ，线段 AB的中点坐标为 ),(，故线段被直线 y平分.（2 ） )10(441| 222121 myx ，点 M到直线 的距离为 2|md， AB的面积 )10(|)(1|212ABS ，令 tm2，则 |2t，又 0， 3（ 0） ，令 32)(ttf（ 1t） ，则 261)(ttf，则 tf在 )6,0上单调递增，在 ,上单调递减
10、，故当 t时， )(tf取得最大值，即 MAB面积取得最大值，此时有 62m，解得 63.22、证明：（1） 21)(2(1nnnea， )()()(21 nnneae ，即 21nn，数列 nae为等差数列.（2）由（1）知 2)1(1naen，即 )(ean，令 )()(xxfx，则 21()xfxx，显然 0)(f在 ),1上恒成立， )()efx在 ),上单调递增，故数列 na单调递增.（3）由题知 321e， 1an， 1na，即 121221 nn aaa ，又 12nnne， 1221 13nn eeaa ，令 1213nneS ，则 nne12 ，两式相减，得 nnn eeSe11)1(2)(enn，故 2)1(Sn， 21221 )(131 eneaan ， 221)(en .
