1、1,4.5 极值问题,二、极值的求法,三、最大值与最小值,一、函数极值的定义,四、极值的应用问题,2,一、函数极值的定义,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,5,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),6,求极值的步骤:,(不是极值点情形),7,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,8,图形如下,9,例2,解,10,定理3(第二充分条件),证,11,例3,解,12,13,例4,解,图形如下,14,注意:,15,小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不
2、可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),16,思考题,下命题正确吗？,17,思考题解答,不正确,例,18,在1和1之间振荡,故命题不成立,19,练 习 题,20,21,练习题答案,22,三、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,23,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点
3、或最小值点 .,(小),24,例1,解,计算,比较得,25,26,例2,解,27,28,四、极值的应用问题,实际问题求最值的方法:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,29,( k 为某一常数 ),例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,30,清楚(视角 最大) ?,
4、观察者的眼睛1.8 m ,例2. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,31,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,(4) 判别法的推广,32,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,2. 连
5、续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性 .,33,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,34,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,35,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,36,试求,解:,2.,故所求最大值为,3
6、7,小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,38,思考题,39,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,40,练 习 题,41,42,43,练习题答案,44,例3,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,45,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,46,例4,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,47,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,48,例5,49,解,如图,50,解得,
