1、湖南省 2017 届高三 十三校联考第二次考试A数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点位于（ ）z12izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.函数 （ 为自然对数的底数）的零点所在区间是（ ）()lnxfeA B C D 10,e1(,)(1,)e(,)e3.设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ，则“ ”是 “ ”的（ ）ll/lA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4.设随机变量
2、 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）X2(4,)N()0.3PXm(8)PXmA0.2 B0.3 C0.7 D与 的值有关 5.中心在坐标原点的双曲线 的两条渐进线与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）2()xyA2 B C D2 或 23336.已知函数 与直线 相交，若在 轴右侧的交点自左向右依次记为 ，2sin()cos()yx12yy1M， ，则 等于（ ）2M312|MA B C D 16673127.曲线 与 围成封闭区域（含边界）为 ，直线 与区域 有公共点，则|xy5x3yxb的最小值为（ ）bA1 B C D 1718.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（ ）SA30
3、24 B1007 C2015 D2016 9.如图，正方形 中， 、 分别是 、 的中点，若 ，则 （ CDMNBACMBN）A2 B C D 83658510.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）A2 B C3 D4 511.已知抛物线 ： 和动直线 ： （ ， 是参变量，且 ， ）相交C2(0)ypxlykxb0kb于 ， 两点，直角坐标系原点为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若1(,)Axy2(,)BOABOAkB恒成立，则当 变化时直线 恒经过的定点为（ ）3OkklA B C D (,0)p(23
4、,0)p3(,0)p23(,0)p12.已知函数 点 ， 是函数 图象上不同两点，则 （ 为坐标原点）19,()xfeAB()fxAOB的取值范围是（ ）A B C D (0,)4(0,4(0,)3(0,3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中， 的系数是 1(2)x2x14.设 表示不大于 的最大整数，集合 ， ，则 2|3Ax|28xBAB15.已知 ， 是函数 在 内的两个零点，则 1x2()2sincosfxxm0,212sin()x16.已知在 中， ，则角 的最大值为 ABC(3)BCA三、解答题 （本大题共 6 小题，
5、共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 的前 项和为 ，且 nanS2na（）证明：数列 是等比数列，求数列 的通项公式；1（）记 ，求数列 的前 项和 11nnbanbnT18.为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取 60 人，从文科乙班抽取 50 人参加环保知识测试优秀人数 非优秀人数 总计甲班乙班 30总计 60（）根据题目完成 列联表，并据此判断是否有 的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分29%类有关（）现已知 ， ， 三人获得优秀的概率分别为 ， ， ，设随机变量 表示 ， ， 三人ABC123XABC中获得优秀的人数，求 的分布列及
6、期望 X()EX附： ，22()(nadbcKnabcd20(Pk0.100 0.050 0.025 0.010 0.0052.706 3.841 5.024 6.635 7.87919.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱锥 组合而成，ADEBCFPABCD， ADF2EA（）证明：平面 平面 ；PADBFE（）求正四棱锥 的高 ，使得二面角 的余弦值是 ChCAFP2320.已知椭圆 ： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 ：E21(0)xyab l与椭圆 有且只有一个公共点 3yT（）求椭圆 的方程及点 的坐标；（）设 是坐标原点，直线 平行于 ，与椭
7、圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 证OlOEABlP明：存在常数 ，使得 ，并求 的值2|PTAB21.已知函数 ， ()ln)fxaxR（）当 时，求 的单调区间；1a(f（）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围1x()21fxaea请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正xOy1C2x222(1)()1xyx半轴为极轴建立极坐标系（）求 ， 的极坐标方程；1C2（）若直线 的极坐标方程为 （ ） ，设 与 的交点为 ， ，求 的面积34R2
8、C3MN2C23.选修 4-5：不等式选讲设函数 ()|21|fxx（）解不等式 ；0f（）若 ，使得 ，求实数 的取值范围0xR2()4fxm湖南省 2017 届高三 十三校联考第二次考试数学（理科）答案A一、选择题1-5: 6-10: 11、12：BACDDCD二、填空题13.120 14. 15. 16.(3,4)256三、解答题17.解：（）由 ，得 ，112aS1a当 时， ，即 ，2n()(2)nnnn12na所以 ，又因为 ，1()1所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，na所以 ， n（）由（）知， ，111112()2nnn nnnaba则 11()()372n
9、nT18.解：（） 列联表如下：2优秀 非优秀 总计甲班 40 20 60乙班 20 30 50总计 60 50 110由 算得，22()(nadbcK，2210(430)7.863565所以有 的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关9%（）设 ， ， 成绩优秀分别记为事件 ， ， ，则 ， ，ABCMNR1()2P1()3NPR随机变量 的取值为 0,1,2,3X，12(0)()39PMNR，1212141)339R，5(2)( 8X13)238PNR所以随机变量 的分布列为：X0 1 2 3P29495181824517()013986EX19.（）证明：正三棱柱 中， 平面 ，ADE
10、BCFADE所以 ，又 ， ，AB所以 平面 ， 平面 ，DFP所以平面 平面 P（）由（）知 平面 ，以 为原点， ， ， 方向为 ， ， 轴建立空间直角ABEABEDxyz坐标系 ，设正四棱锥 的高为 ， ，则 ， ，AxyzCDh2(0,)A(2,0)F， ， ， ， (2,0)C(1,)Ph(2,0)F(2,0)1,Ph设平面 的一个法向量 ，1mxyz则 取 ，则 ，所以 1,20mAFxyz11(1,)m设平面 的一个法向量 ，则P2(,)nxyz220,nAFxyPhz取 ，则 ， ，所以 21x2y21zh(1,)二面角 的余弦值是 ，CAFP3所以 ，21cos, 3|()m
11、nh解得 1h20.解：（）依题意可知 ， ，可设椭圆方程为 ，bc2ab21xyb即 ，将 代入得 ，220xy3yx22180x由 ，得 ，故椭圆 的方程为 221(8)b2E163xy点 的坐标为 T,（）设直线 ： （ ） ，l12yxm0由 得 ，故 1,23yx(,)3P28|9PTm由 得 ， ，2,1,63yxm224(1)0x216()0设 ， ，则 ， 1(,)Axy2(,)B1243xm213x，同理 ，2115|()|3P 25|23mPBx21215|)()|4ABx 2240|()( |339mm故存在常数 ，使得 52|PTAB21.解：（）当 ， ， ， 1a(
12、)ln1)fxx112()xfx当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减12x()0f20()f综上， 的单调递增区间为 ； 的单调递减区间为 ()f (,2)(fx(,（）由题意得， 时， 恒成立，可得 1xa1a由题意得，不等式 对于任意的 恒成立20xe设 ， ， 2()1xagx()xeg当 时， ，不满足题意；02()ae2210当 时，要使 时，不等式 恒成立，a1x()fx须 ，即 ；(1)(022gaee (1)2ea当 时， ，()()1xx x设 ， ， ， ()1hxe1() xeeh显然 在 上单调递增，所以 ，()hx1,)245()10ehx所以 在 上单调递
13、增， ，(),)2)()e即 .10xae由可知 时，满足题意.2()e22.解：（） ， ，cosxsiny 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .1C2C2cos4in0（）将 代入 ，得 ，42cs4i03解得 ， ， ，1212|MN 的半径为，则 的面积 . 2CC1sin45223.解：（）当 时， ， ，即 ，x()| 3fxxxx()0f30x解得 ，又 ， ；3x2当 时， ， ，即 ，解得12()|1|2|231f ()f1，又 ， ；3x2x3x当 时， ， ，即 ，解得 ，又2()|f x()0fx303x， 1x综上，不等式 的解集为 ()0fx1(,)(3,)（） .,2,1()|21|3,.2xfxxmin15()()2fxf ，使得 ，0xR20()4fxm ，整理得 ，2in54m2850解得 ，因此 的取值范围是 .11(,)
