1、1 第三章 概率 学习目标 1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会 应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概 率 知识点一 频率与概率的关系 随机事件A在_条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率 _，随着试验次数的增加，频率呈现_性，即频率总是_于某个常数 P(A)，称P(A)为事件A的概率 知识点二 互斥事件、对立事件 1若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(AB)_1(判别大小关系) 2若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(AB)_1(判别大小关系) 3若事件A，
2、B互斥，则_(填“一定” “不一定”)对立；若事件A，B对立，则 _(填“一定” “不一定”) 互斥 4若事件A，B互斥，则P(AB)_，若事件A，B对立，则P(A)_. 知识点三 古典概型及其概率计算公式 1解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是： (1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有_个；(2)每个基本事件出现的可能性 是否_ 2利用古典概型求事件A的概率的步骤是： (1)用_把古典概型试验的基本事件一一列出来； (2)从中找出事件A包含的_； (3)P(A)_. 类型一 随机事件的频率与概率 例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某
3、批产品进行了 抽样检测，检测结果如表所示： 抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 9022 优等品频率 m n (1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点 后三位)反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率 总是接近于常 m n 数P(A)，称P(A)为事件A的概率 跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问 题 每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2
4、000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的频率 (1)完成上面表格； (2)该油菜子发芽的概率约是多少？3 类型二 互斥事件的概率 例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为 0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数不超过7环的概率反思与感悟 把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理 概率问题的常用办法 跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学
5、成绩全班共 有学生50人，成绩分为15五个档次例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数 学成绩为5分的学生共5人 y分 人数 x分 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x4的概率是多少？x4且y3的概率是多少？x3的概率是多少？在x3的基础 上y3同时成立的概率是多少？ (2)x2的概率是多少？ab的值是多少？4类型三 古典概型的概率 例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女 (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名
6、教师 性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一 学校的概率反思与感悟 处理古典概型时注意： (1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意 有无顺序要求 跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品 (1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：连续2次取出的都是正品所包含的基本事 件总数；两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数； (2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率5类型四 古典概型概率的综合应用 例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生
7、按性别进行分层抽样调查， 测得身高情况的统计图如下： (1)估计该校男生的人数； (2)估计该校学生身高在170185 cm之间的概率； (3)从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190 cm之间的概率反思与感悟 古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用 数据，进行预报和决策等过程 跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从 一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：6 x 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (1)若所抽取的20
8、件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求 a，b，c的值； (2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1 ，x 2 ，x 3 ，等级系数为5的2件 日用品记为y 1 ，y 2 ，现从x 1 ，x 2 ，x 3 ，y 1 ，y 2 这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被 取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概 率1某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手 在一次射击中不超过8环的概率为( ) A0.5 B0.3 C0.6 D0.9 2有一个容量为66的样本，数据的分组及各
9、组的频数如下： 11.5,15.5)，2；15.5,19.5)，4；19.5,23.5)，9； 23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11； 31.5,35.5)，12；35.5,39.5)，7； 39.5,43.5)，3. 根据样本的频率分布估计，数据落在31.5,43.5)的概率约是( ) A. B. 1 6 1 3 C. D. 1 2 2 37 3从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角 形的概率是( ) A. B. 3 4 1 3 C. D. 1 2 2 3 4抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点” ，事件B为“出现
10、2点” ， 已知P(A) ，P(B) ，则出现奇数点或2点的概率为( ) 1 2 1 6 A. B. 3 4 1 3 C. D. 1 2 2 3 5一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球， 则摸出1个黑球、1个白球的概率是( ) A. B. 3 4 1 3 C. D. 1 2 2 3 1用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利 用公式P(A) 求出事件A的概率这是一个形象、直观的好方法， A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏 2计算事件A的概率，关键要分清基本事件总数n与事件
11、A包含的基本事件数m.因此必 须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数 有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件数有多少个回答好这三个方面的问 题，解题才不会出错8 答案精析 知识梳理 知识点一 相同 规律 接近 m n 知识点二 1 2 3不一定 一定 4P(A)P(B) 1P(B) 知识点三 1(1)有限 (2)相等 2(1)列举法 (2)基本事件及个数 (3) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 题型探究 例1 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，
12、抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率 在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950. 跟踪训练1 解 (1)填入表中的数据依次为 1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为0.900. 例2 解 记“射中10环”为事件A， “射中9环”为事件B， “射中8环”为事件C， “射 中7环”为事件D. 则事件A、B、C、D两两互斥，且P(A)0.24，P(B)0.28，P(C)0.19，P(D)0.16. (1)射中10环或9环为事件AB， 由概率加法公式
13、得 P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52. (2)至少射中7环的事件为ABCD， P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D) 0.240.280.190.160.87. (3)记“射中环数不超过7环”为事件E， 则事件E的对立事件为ABC.9 P(ABC)P(A)P(B)P(C) 0.240.280.190.71， P(E)1P(ABC)10.710.29. 跟踪训练2 解 (1)P(x4) . 10751 50 7 25 P(x4，y3) . 7 50 P(x3)P(x3)P(x4)P(x5) . 21093 50 7 25 13101 50 7 10 当x3时，有 503
14、5(人)， 7 10 在x3的基础上，y3有8人 在x3的基础上P(y3) . 8 35 (2)P(x2)1P(x1)P(x3) 1 . 1 10 7 10 1 5 又P(x2) ， 1b60a 50 1 5 ab3. 例3 解 (1)甲校2名男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示， 2名女教师分别用E、F表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)， (B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种 选出的2名教师性别相同的结果为(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种所以选出 的
15、2名教师性别相同的概率为 . 4 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)， (A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)， (D，F)，(E，F)，共15种 从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)， (E，F)，共6种 所以选出的2名教师来自同一学校的概率为 . 6 15 2 5 跟踪训练3 解 (1)将灯泡中2只正品记为a 1 ，a 2, 1只次品记为b 1 ，则第一次取1只，放 回后第二次取1只，基本事件
16、为(a 1 ，a 1 )，(a 1 ，a 2 )，(a 1 ，b 1 )，(a 2 ，a 1 )，(a 2 ，a 2 )，10 (a 2 ，b 1 )，(b 1 ，a 1 )，(b 1 ，a 2 )，(b 1 ，b 1 )，共9个 连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1 ，a 1 )，(a 1 ，a 2 )，(a 2 ，a 1 )，(a 2 ，a 2 )， 共4个； 两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1 ，b 1 )，(a 2 ，b 1 )，(b 1 ，a 1 )， (b 1 ，a 2 )，共4个 (2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a 1 a 2
17、，a 1 b 1 ，a 2 b 1, 2只都是正品的基本 事件数是1，所以其概率为P . 1 3 例4 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170185 cm之间的学生有141343135(人)，样 本容量为70，所以样本中学生身高在170185 cm之间的频率f 0.5.故由f估计该 35 70 校学生身高在170185 cm之间的概率P0.5. (3)样本中身高在180185 cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在 185190 cm之间的男生有2人，设其编号为. 从上述6人中任选2人的树状图为 故从样本中
18、身高在180190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1 人身高在185190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P . 9 15 3 5 跟踪训练4 解 (1)由频率分布表得a0.20.45bc1， 即abc0.35. 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件， 所以b 0.15. 3 20 等级系数为5的恰有2件，所以c 0.1. 2 20 从而a0.35bc0.1， 所以a0.1，b0.15，c0.1. (2)从日用品x 1 ，x 2 ，x 3 ，y 1 ，y 2 中任取两件，所有可能的结果为x 1 ，x 2 ，x 1 ，x 3 ， x 1 ，y 1 ，
19、x 1 ，y 2 ，x 2 ，x 3 ，x 2 ，y 1 ，x 2 ，y 2 ，x 3 ，y 1 ，x 3 ，y 2 ，y 1 ，y 2 ，即基 本事件的总数为10. 设事件A表示“从日用品x 1 ，x 2 ，x 3 ，y 1 ，y 2 中任取两件，其等级系数相等” ，则A包含的 基本事件为x 1 ，x 2 ，x 1 ，x 3 ，x 2 ，x 3 ，y 1 ，y 2 ，共4个故所求的概率P(A)11 0.4. 4 10 当堂训练 1A 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1(0.20.3)0.5. 2B 由条件可知，落在31.5,43.5)的数据有127322(个)，故所求概率约为 22 66 . 1 3 3A 从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成 三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P . 3 4 4D 因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B) . 1 2 1 6 2 3 5C 摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是 3，故所求事件的概率是P . 3 6 1 2
