1、2017 届河北衡水中学高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题一、选择题1若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）|0BxABAA B C D,2|1,01R【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，下列选项中只有选项 A 中的集合AAB是集合 的子集，故选 A.【考点】集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.2复数
2、的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）1izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】试题分析： ，所以 ，即复数(1)12iiiiz12iz的共轭复数在复平面上对应的点在第四象限，故选 D.z【考点】1.复数的相关概念；2.复数的运算.3已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 夹角的余弦,ab5:,1abab值为（ ）A B C D23212【答案】C【解析】试题分析：，所以22()cos,4cos,5ababaab，故选 C.1cos,【考点】向量的数量积.4执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 ，则输出的 值为（ ）a1kA B C D1234【答案】B【解析】试题
3、分析：模拟算法：开始：输入 ，1,a0kb1,2aab， ，输出101,2,kab 2,，故选 B.2【考点】程序框图.5已知数列 中， 为其前 项和， 的值为（ na11,2,nnaNS5S）A B C D7663【答案】A【解析】试题分析：由条件可得，所以121324354,17,21,213aaaa，故选 A.53455S【考点】1.数列的递推公式；2.数列求和.6某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D232916【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为 、高为 的圆锥的 ，2413所以该几何体的体积 ，故选 D.1162
4、439V【考点】三视图.7为了得到 ，只需将 作如下变换（ ）cos2yxsin23yxA向右平移 个单位 B向右平移 个单位 36C向左平移 个单位 D向右平移 个单位1212【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以只需将cos2in()sin()3yxx的图象向左平移 个单位即可得到函数 的图象，故选 C.sin(2)3yx1co2y【考点】图象平移变换.8若 为不等式组 ，表示的平面区域，则当 从 连续变化到 时，动直A02yxa1线 扫过 中的那部分区域的面积为（ ）xyaA B C D13247【答案】D【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域 A，当 从 连续变化到 时，动直线a2
5、1扫过 中的那部分区域为下图中的四边形 ，所以其面积为xya ODE，故选 D.11724AOCDES【考点】线性规划.9焦点在 轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点x210xyab相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 ，则椭圆的离心率为（ ）3A B C D143123【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得， ，即 ，故选 C.2()bcbacac12ea【考点】椭圆的标准方程与几何性质.10在四面体 中， ，二面角SABC,ABCSA的余弦值是 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）3A B C D86246【答案】B【解析】试题分
6、析：因为 所以 ，设,2,AB2ACSB的中点为 ，连接 ，则三角形 的外心 为在线段 上，且CDS1OD，又三角形 的外心为 ，又 ，所以13OC,S平面 ，过 垂直于平面 的直线与过 垂直于平面 的直线交于ASBAB1AC点 ，则 为四面体外接球的球心，又 ，所以3cosSD，所以1sinsin()2ODSBB，设外接圆半径为 ，则 ，所116taR2213SO以 ，故选 B.246SR【考点】1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11已知函数 ，则关于 的方程 实52log1xfxxfxaR根个数不可能为（ ）A 个 B 个 C 个 D 个2345【答案】D【解析】试题分析：在坐标系内
7、作出函数 的图象，由图象可知，方程()yfx的解的个数可能为 0 个、2 个、3 个、4 个，不可能为 5 个，故选 D.fxaR【考点】函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12函数 部分图象如图所示，且sin2,0fxAxA，对不同的 ，若 ，有0fafb12,ab12fxf，则（ ）123xA 在 上是减函数 fx5,12B 在 上是增函数 fx5,12C 在 上是减函数 f,36D 在 上增减函数fx5,【
8、答案】B【解析】试题分析：由图可知 ， ，所以 ，2A12xab12x，所以 ， ，所以12()sin()3fx3sin，由此可知函数 在 上是增函数,故选 B.()i()f fx512【考点】三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定 ，再A根据周期确定 ，由最高点的值或最低点的值确定 ，求出解析式后再研究函数相关性质.二、填空题13 的展开式中 项的系数为 41x2x【答案】 2【解析】试题分析： 的展开式中 项的系数为 ,故填41x2x2344(1)C.【考点】二项式
9、定理.14已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线20ypx1,Mm5的左顶点为 ，若双曲线一条渐近线与直线 垂直，则实数 21xaAAa【答案】 4【解析】试题分析：抛物线 上一点 到其焦点的距离20ypx1,Mm,所以 ，抛物线方程为 ，点 ，点 ，152pd826yx(4)(1,0)A，所以 ，即 ，故应填 .4021()AMk12a41【考点】抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15如图，为测量出山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点，从 点测NACA得 点的仰角 点的仰角 以及 ，从 点测60,AC 5B75MC得 ，已知山高 ，则山高 C1BmNm【答案】 150【解析
10、】试题分析：由题意可知 ，所以 ，在三角形10ABCm102ACm中，由正弦定理得 ，所以ACMsin63i45M，故应填 .3sin601102N150【考点】解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16设函数 ，对任意 ，不等式21,xxfge12,0,x恒成立，则正数 的
11、取值范围是 12gxfkk【答案】 e【解析】试题分析：对任意 ，不等式 恒成立等价于12,0,x12gxfk， ，当且仅当 时12maxmingfkk2,()fxx1x取等号，所以 ，即 ，i()(1)ff2min1fkk，当 时， ，当 时， ，所以21()xxeg01()0gx1()0gx函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以(,),，所以 ，所以有 ，解之得 .max1()ge1maxgke12ke12ke【考点】1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给
12、的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题17中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区 2015 年人口总数为 万，实施“放开二胎”新政策后专家估计45人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 万人，0.5从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 .09（1）求实施新政策后第 年的人口总数 的表达式（注：2016 年为第一年） ；nna（2）若新
13、政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 万，则需调整政策，否49则继续实施,问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明: ）.1010.9【答案】 （1） ；（2）到 年不需要调整政策.1045.,9nnna 35【解析】试题分析：（1）由题意可知，从 2016 年开始到 2025 年每年人口数成等差数列无增长，从 2026 年开始到 2035 年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可；（2）求出从 2016 年到 2035 年的人口总数 ，求其平20S均值即可.试题解析：（1）当 时，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，10nna45.545
14、.na当 时，数列 是以公比为 的等比数列，又na.910a因此，新政策实施后第 n年的人口总数 （单位：万）的表达式为10.9n n1045,10.nna（2）设 为数列 的前 项和，则从 年到 年共 年，由等差数列及Sa260352等比数列的求和公式得：万102011220.47.59.972.5Saa新政策实施到 年年人口均值为 35208.634S故到 年不需要调整政策 【考点】1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式.【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基
15、本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18如图,已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面,平面ABCDABPE平面 ,且 ,且 .ABCPE2,1DAEBP:（1）设点 为棱 中点,在面 内是否存在点 ,使得 平面 ？MPDABCNMABCD若存在,请证明,若不存在,说明理由；（2）求二面角 的余弦值.E【答案】 （1）存在点 ，为 中点；（2）N3【解析】试题分析：（1）由题意可知 平面 ,所以只要构造直线PBA
16、CD即可，连接 ，取 中点 ，构造三角形 的中位线即可；（2）/PBDNPB以 A 为原点，AE，AB，AD 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立坐标系,求出平面xyz与平面 的法向量，利用空间向量相关知识求解即可.DE试题解析：（1）连接 ， 交于点 ，连接 ，则 平面 ACMNACD证明： 为 中点， 为 中点M为 的中位线， NPB/又平面 平面BE平面 A平面 = , 平面 ACD,B平面 P C， 又 ， BC平面BD所以 平面 MNA（2）以 A 为原点，AE，AB，AD 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立坐标系，xyz平面 PEA平面 PEA 的法向量 )1,0(1n另外 ， ，)
17、1,0(D),(E)0,2(P， ,设平面 DPE 的法向量 ，则,1),(2zyxn，令 ，得 02zyxx),2(2n3,cos1n又 为锐二面角,所以二面角 的余弦值为APEDAPED32【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19某产品按行业生产标准分成 个等级，等级系数 依次 ，其中 为标8X1,.85X准 ， 为标准 .已知甲厂执行标准 生产该产品，产品的零售价为 元/件；A3XBA6乙厂执行标准 生产该产品，产品的零售价为 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合4相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数 的概率分布如下所示：1XX5678P0.4ab0.1且 的数学
18、期望 ,求 的值；11EX（2）为分析乙厂产品的等级系数 ，从该厂生产的产品中随机抽取 件，相应的等2 30级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 的数学期望；2X（3）在（1） 、 （2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：产品的“性价比” ；“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】 （1） ；（2） ；（3）乙厂的产品更具可购买性.0.3,.ab48【解析】试题分析：（1）由概率分布列中概率之和为 ，以及期望 列出方116EX程组，解之即可；（2）由已知列出样本的频率分布表，再将频率视为概率列出样本的分布列，由期望公式计算即可；（3）分别计算甲厂新产品的性价比与乙厂新产品的性价比，比较大小即可.试题解析：（1） ，即 16,50.4780.16EXab73.2ab
