1、汕头市金山中学 2016-2017 学年度第一学期摸底考试高三理科数学 试题卷 本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟.第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 ,|1,|42AxyBxyx，则 AB（ ）A ,2 B ,2 C 1, D 1,2,2如果复数 1bi（其中 i为虚数单位， b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 b等于（ ）A 6 B 3 C 23 D23已知命题 p：在 AC中，若 B，则 Asini；命题 q：已
2、知 Ra，则“ 1a”是“ ”的必要不充分条件。在命题 ppq)(,)(,中，真命题个数为（ ）A B 2 C 3 D 44执行如图所示程序框图，若输出的结果为 2，则输入的正整数 a的可能取值集合是（ ）A 1,235 B 1,2345,6 C ,345 D 2,34565已知数列 ,nab，满足 1ab，11,nnbaN，若数列nc满足 n，则 207c=（ ）A 20169B 16C 20179D 20176某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2，则正（主）视图的面积等于（ ）A2 B92C3D37已知 ba,为同一平面内的两个向量，且 aba21),(，若与 垂直，则 a与
3、b的夹角为（ ）A 0 B 4 C 3 D 第 4 题图第 6 题图8已知函数 2cosgx，若在区间 0,上随机取一个数 x，则事件“ 3gx”发生的概率为（ ）A 14B 13C 16D 239某校在暑假组织社会实践活动，将 8 名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）种A 18 B 24 C 36 D 7210已知 fx是定义在 R上的增函数，函数 1yfx的图象关于点 1,0对称，若对任意的 ,xyR，等式23430fyfx恒成立，则 的取值范围是（ ）A 2, B , C 23
4、1, D 1,311已知点 是抛物线 2:0Mypx与圆 22:4xya在第一象限的公共点，且点 A到抛物线 焦点 F的距离为 a，若抛物线 上一动点到其准线的距离与到圆心 C的距离之和的最小值为2a， O为坐标原点，则直线 OA被圆 所截得的弦长为（ ）A2 B 23 C723D72612若过点 ,Pa与曲线 lnfx相切的直线有两条，则实数 a的取值范围是（ ）A ,e B ,e C10,eD 1,第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13求值 421xd= 14如果 32nx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 31x的系
5、数是 。（用数字作答）15正三角形 ABC的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B与点 C间的距离为 ，此时四面体D外接球表面积为 。16已知正数 ,ab满足 534,lnba，则ba的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）凸四边形 中，其中 为定点， 3AB， ,PQ为动点，满足 1APQB。（）写出 cosA与 Q的关系式；（）设 PB 和 的面积分别为 S和 T，求 2的最大值，及此时凸四边形 的面积18 （本小题满分 12 分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽取 50 名学
6、生，得到下面的数据表：倾向“几何证明选讲” 倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲” 合计男生 16 4 6 26女生 4 8 12 24合计 20 12 18 50（）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大；（）在抽取的 50 名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“几何证明选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取 8 人进行问卷，若从这 8 人中任选 3 人，记倾向“几何证明选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为 ，求 的分布列及数学期望。附：22()(nadbcK20Pk.10
7、.50.10.05.012.763.8416.357.89.8219 （本小题满分 12 分）已知三棱柱在 1ABC中，侧面 1AB为正方形, 延长 AB到 D,使得 D,平面 平面 ，11124。（）若 ,EF分别为 ,CBA的中点, 求证： EFA平面 1B；（）求平面 1与平面 1D所成的锐二面角的余弦值.20 （本小题满分 12 分）已知圆 2:4Oxy，点 (3,0)F，以线段 MF为直径的圆内切于圆 O，记点 M的轨迹为 C。（）求曲线 C的方程；第 19 题图（）若过 F的直线 l与曲线 C交于 ,AB两点，问：在 x轴上是否存在点 N，使得 AB为定值？若存在，求出点 N坐标；
8、若不存在，说明理由。21 （本小题满分 12 分）已知函数 1txfe，其中 ,tRe是自然对数的底数（）若方程 无实数根，求实数 的取值范围；（）若函数 yfx在 0,内为减函数，求实数 t的取值范围。选做题：请在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， AB是 O的直径， ,CF是 OA上的两点， CAB，过点F作 的切线 D交 的延长线于点 D连接 F交 于点 E（）求证： 2E；（）若 ,4BF，试求 CE的长23 （本小题满分 10 分）
9、选修 4 4：坐标系与参数方程以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为12sinco。（）写出曲线 C的参数方程；（）在曲线 上任取一点 P，过点 作 x轴， y轴的垂线，垂足分别为 BA,，求矩形 OP的面积的最大值。24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 1fxax。（）若 2，求函数 f的最小值；（）如果关于 x的不等式 2x的解集不是空集，求实数 a的取值范围。2017 届高三理科数学摸底考试 参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B A C D A D C C B C B第 22 题
10、图13 ln26； 14 21； 15 7； 16 ,7e17 解：（）在 中,由余弦定理得： ，在 中,由余弦定理得：， 6 分（）根据题意得： cos3s1QA222 23133sin3cos1coss4 4STAAA，当 时, , 此时 ,所以 .所以 。12 分18（）倾向“平面几何选讲” 与倾向“ 坐标系与参数方程”的人数比例为 20:153，所以抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲” 的人数为 5，倾向“ 坐标系与参数方程” 的人数为 3。依题意，得 3,1，381()56CP，12538()6CP，215380()6CP，35810()6CP， 9 分故 的分布列如下：所以 153
11、0133()6654E.12 分19解：（）取 1AC的中点 G,连接 ,FE,在 1ABC中， EG为中位线， 1,EABG 平面 1,B平面 1B平面 ,同理可得 FA平面 1，又 F，所以平面 GEF平面 ， 平面 平面 1； 6分（）连接 1AC，在 1中, 111,24CAA, 所以由余弦定理得 221 cos,1,是等腰直角三角形, 1 , 又因为平面1AC平面 BA,平面 1C平面 1ABCA平面, 平面 ,又因为侧面 为正方形, 1AB, 分别以 11,所在直线作为 x轴, y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设 1, 则10,0,010,2ABCD12,2,CBDAA
12、B,设平面 1的一个法向量为 1,mxyz,则 110,Cm,即 10xzy,令 1x,则10,yz,故 ,0为平面 1AB的一个法向量 , 设平面 1BD的一个法向量为 2,nyz,则1,nCBDA,即 20xyz,令 2x,则 2,3yz,故 ,n为平面 1CBD的一个法向量, 所以 2213cos, 1mnA, 平面 1AB与平面 1所成的锐二面角的余弦值为 21。 12 分20解析：（）设 AB的中点为 M，切点为 N，连 ,OM，则 2NO，取 A关于 y轴的对称点 ，连 ，故 24AB所以点 的轨迹是以 ,为焦点，长轴长为 4 的椭圆，其中 ,3,1acb，则曲线 C的方程为214
13、xy； 6 分（）假设存在满足条件的点 ,0Nt，当直线 AB斜率不为 0 时，可 设直线 AB为 3xmy， 12,AxyB将 3xmy代入 C得2431my显然 ，且 2122,44y，2121284,4所以 1Nxttxtxty 22 222 22 3148383mtmtm要使 AB为定值，须有 14t，得 9t，此时 93,08N， N为定值 36当直线 AB斜率为 0 时， AB 14故存在点 93,08N满足题设. 12 分21解：（）由 1fx，可得 10xte，原方程无负实数根，故有ln1xt令lngx，则 2lng,当 ， 0gx； e， 0gx， 函数 在 0,e上单调递增
14、，在 e上单调递减 . 函数 gx的最大值为1g，函数 gx的值域为1,e；方程 1f无实数根，等价于,te，t，t，当te时，方程 1fx无实数根； 6 分（） 1 xttxfe由题设， 0,xf，不妨取 1x，则 10ttfe，1t时， ,2tt不成立， t,02tx时，1 22xxxttxfee，由（）知， 10xe，1e，f，函数 yfx是 0,内的减函数；1,ln2tt令 1xthxte，则 0h，11xttxe，当0lnt时， 在0,lnt上单调递增， 0hx，此时，fx， fx在10,lnt上单调递增，有 0fxf与题设矛盾。综上，当 2t时，函数 fx是 0,内的减函数 12
15、分22解：（）证明：连接 OF因为 DF 切O 于 F，所以OFD=90 所以OFC+CFD=90因为 OC=OF，所以OCF=OFC因为 COAB 于 O，所以 OCF+CEO=90所以CFD= CEO=DEF，所以 DF=DE因为 DF 是 O 的切线，所以 DF2=DBDA所以 DE2=DBDA 5分（）解：DF 2=DBDA，DB=2，DF=4 DA=8 ，从而 AB=6，则 OC=3又由（）可知，DE=DF=4，BE=2 ，OE=1 从而 在 RtCOE 中，210CEO 10 分23解：（）由 ）1cos(in得 ）1cossin(2，所以 22yx，即4)1()(22yx，故曲线 C的参数方程 siyx（ 为参数）； 5分（）由（）可设点 P的坐标为 )20,in21cos，），（ ，则矩形 OAPB的面积为|cos4in21|si)(co21| ）（ S令 2,)4sin(2cosint ， cosin1t，|31|21| 2ttS，故当 t时， 23maxS。10分24解：（）当 2a时, 知 2113fxxx,当 210x,即1x时取等号, fx 的最小值是 3.5 分（） 1f axa,当 0x时取等号。若关于 x的不等式 2fx的解集不是空集, 只需 12,解得 31a,即实数 的取值范围是3,1。10分
