1、2017 届天津耀华中学高三上学期开学考试数学（文）试题一、选择题1集合 ， ， ，则 等于（ ）,2345,6U1,45S2,34T()USTA B C D,1【答案】D【解析】试题分析： ， .,56UT()1,5UST【考点】集合交并补【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2函数 的零点的个数为（
2、 ）2()ln|fxA1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析：画出 的图象如下图所示，由图可知，交点有 个.2l,x2【考点】函数图象与零点3已知 ， ，那么“ ”是“ ”的|1|4Mx|03xNaMaN（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析： ， ，故“ ”是“ ”的必要而5,30,NaaN不充分条件.【考点】充要条件4设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则nSna1a2d28kS（ ）kA8 B7 C6 D5【答案】C【解析】试题分析： .221218,6kkSaakdk【考点】等差数列的基本概念5已知
3、函数 在区间 上不是单调函数，则 的取值范围是（ ()lnfxbx0, b）A B C D,0,2,2,【答案】C【解析】试题分析： ， 是增函数，故需1bxfx0gxb， ，所以 .0,20gb22,【考点】函数的单调性6定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上单调递增，设R()fx(1)(ffx0,1， ， ，则 ， ， 大小关系是（ ）(3)af2bfcabcA B cC D【答案】C【解析】试题分析： 可知函数周期为 ，所以 在 上单调(1)(fxf2fx0,1递增，则在 单调递减，故有 .1,231f【考点】函数的奇偶性与单调性7设 ， 是双曲线 （ ， ）的左、右两个焦点，若双曲线1F
4、22xyab0ab右支上存在一点 ，使 （ 为坐标原点） ，且 ，P2()OFPO12|3|PF则双曲线的离心率为（ ）A B C D31231【答案】A【解析】试题分析： ，故 ，即 在以 为直径2()0OPF2OPF12F的圆上，故 .231ca【考点】向量运算，直线与圆锥曲线位置关系【思路点晴】 也就意味着以 为邻边的平行四边形对角线2()0OPF2,OPF相互垂直，由此可以判断出这是一个菱形，从而有 ，即 在以1P为直径的圆上，由于 ，故可令 .直线与圆12F12|3| 3ca锥曲线位置关系的小题，往往结合圆锥曲线的定义来考查，本题中，.12Pa8如图，在 中，已知 ， ， ，点 为
5、的三等ABC23ACBDBC分点（靠近点 ） ，则 的取值范围为（ ）DA B C D13(,)7(,)5(,)357(,)3【答案】D【解析】试题分析： 2 2111333CABCABa2ABca 222coscoscabb.21os3b81573s,33【考点】解三角形，向量运算【思路点晴】有关向量运算的小题，往往都化成同起点的向量来进行，如本题中的，都转化为 这两个向量，然后利用加法、减法和数量积的运算，将ADBC,ABC向量运算转化为边和角的运算.利用余弦定理，可以将要求的数量积化简为 ，12cos3由于 ，故 .在运算过程中要注意正负号.cos1,572cos,33二、填空题9已知复
6、数 满足 ，则 等于 z(3)izz【答案】 34i【解析】试题分析： .3()34iizi【考点】复数运算10某程序框图如下图所示，则输出的结果 等于 S【答案】 57【解析】试题分析： ，循环， ，循环， ，循环，2,4kS3,1kS4,26kS，退出循环输出 .,kS57【考点】算法与程序框图11若函数 的定义域为实数集 ，则实数 的取值范2()ln68)fxmxRm围是 【答案】 0,1【解析】试题分析：当 时，成立，当 时，00m，解得 ，所以取值范围值 .2,3648mm,10,1【考点】函数的定义域【思路点晴】本题考查复合函数定义域问题，考查数形结合的数学思想，考查分类讨论的数学
7、思想.在研究函数时，主要是用二次函数的图象与性质来解决.要使函数的额定义域为全体实数，就必须满足对数的真数恒大于零，即 恒成2680mx立.注意到二次项的系数也含有参数，我们在讨论的时候就必须从二次项的系数来讨论.12设 是圆 上的点，直线 ： ，则点 到直M22(5)(3)9xyl34yM线 距离的最大值为 l【答案】 8【解析】试题分析：圆心到直线距离为 ，最大距离为 .25d538dr【考点】直线与圆的位置关系13如果实数 ， 满足不等式 ，那么 的取值范围是 xy2()1xy3yx【答案】 4,)3【解析】试题分析： 在圆上， 表示的是圆上的点 与点 连线的,xy31x,y1,3斜率，
8、画出图象如下图所示，求出过点 与圆相切的斜率一条不存在，另一条切,线斜率设为 ，切线方程为 ，圆心到直线的距离等于半径，即k30ky，故取值范围是 .231,44,)【考点】线性规划【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，考查线性规划中斜率型的题目.关键点是：在圆上， 表示的是圆上的点 与点 连线的斜率.直线与圆相切，,xy31yx,xy1,3一定要注意斜率不存在的情况，所以务必画出图象，由图象可知，有一条切线是垂直于 轴的，故斜率不存在.另一条我们可以利用圆心到直线的距离等于半径来求.14如图，点 是 外一点， 为 的一切线， 是切点，割线经过圆心 ，POAPDOADO若 ， ，则 30EF
9、D23E【答案】 2【解析】试题分析：连接 ，依题意可知 ，而,DEF90PDOEF，故在 中， ，且 为 中点，30EFRtPO2330,4cosPO所以 .2P【考点】几何证明选讲三、解答题15已知函数 （ ） 2()cos2)cos3fxxR（1）求函数 的最小正周期和单调减区间；（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，求函数()fx ()gx在区间 上的最小值()gx0,2【答案】 （1） ，单调减区间 （ ） ；（2）T,63kkZ1【解析】试题分析：（1）利用降次公式和两角和的余弦公式，先展开后合并，化简函数 ，故周期 ，代入余弦函数单调减区间 ，()cos2)
10、13fxT,2k可求得函数减区间为 ；（2）函数 的图象向右平移 个单位长,63k()fx3度后得到函数 ，易求得其最小值为 ()cos)1gx12试题解析：（1）由已知 ，()2)3f ，单调减区间 （ ） 2T,63kkZ（2） ， 在 上的最小值为 ()cos)13gx()gx0,212【考点】三角恒等变换、三角函数图象与性质16在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，ABCBCabc6acbsin6si（1）求 的值；co（2）求 的值()A【答案】 （1） ；（2）641538【解析】试题分析：（1）利用正弦定理有 ，代入 得 ，有6bc6acb2ac余弦定理可求得
11、；（2）先由（1）求得 ，进而求出6cos4A10sin4A， ，利用两角差的余弦公式，展开 可求得值1cos25in cos(2)6为 .538试题解析：（1）在 中，由 ，及 ，可得 ABCsinibcCsin6siBC6bc又由 ，有 6ac2a所以 2246osbcA（2）在 中，由 ，可得 于是BCos4A10sin4A，21cossA5inico4所以 153s(2)s2sin26668AA【考点】解三角形，正余弦定理17如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，PBCDB45ADC， 为 的中点， 平面 ， ， 为 的中1DCOOC2POM点（1）证明： 平面 ；/PBACM（
12、2）证明： 平面 ；D（3）求直线 与平面 所成角的正切值【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 45【解析】试题分析：（1）连接 ， ，利用 可证得BO1/,2CPBM平面；（2）依题意有 ，利用勾股定理证明 ，从而/PBDAPAD平面 ；（3）取 的中点 ，连接 ， ，可证明 是直线ADCNN与平面 所成的角在 中， MRt145tan试题解析：（1）连接 ， ，在平行四边形 中，BDOABCD 为 的中点， 为 的中点，又 为 的中点， ，ACMP/BMO 平面 ， 平面 ， 平面 ；P/A（2） ，且 ， ，即 。45190DC又 平面 ， 平面 ， ，O ， 平面 AC
13、（3）取 的中点 ，连接 ， ，所以 ， ，DONN/P12NO由 平面 ，得 平面 ，PABCMBD所以 是直线 与平面 所成的角在 中， ， ，所以 Rt1252O从而 524ANDO在 中， RtM145tanNA即直线 与平面 所成角的正切值为 AMBCD45【考点】立体几何证明平行、垂直、求线面角18已知过抛物线 （ ）的焦点，斜率为 的直线交抛物线于2ypx02， （ ）两点，且 1(,)Axy2(,)B12|9AB（1）求该抛物线的方程；（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值OCOC【答案】 （1） ；（2） 或8yx02【解析】试题分析：（1）抛物线 的焦点为 ，
14、由此设直线 的方程2ypx(,0)AB为 ，联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，利用过抛2()pyx物线焦点的弦长公式 建立方程，可求得 ，抛物线方程为12|ABx4p；（2）由（1）求得 ， ，代入 可求8yx(,)(4,2)BOCAB得 点的坐标为 ，代入抛物线方程，可求得 或 .C(4,02试题解析：（1）抛物线 的焦点为 ，2ypx(,0)2所以直线 的方程为 ，ABp由 消去 得 2(),yxpy22450x所以 ，1254由抛物线定义得 ，即 ，所以 12| 9ABxp94p4所以抛物线方程为 28yx（2）由 ，方程 ，化为 4p250p2540x解得 ， ， ， 1
15、x21y24y所以 ， (,)A(,)B则 (,)(1,24)OC因为 为抛物线上一点，所以 ，2248)整理得 ，所以 或 20【考点】直线与圆锥曲线位置关系19已知数列 的前 项和 和通项 满足 nanSna1()2nSa（1）求数列 的通项公式；（2）求证： ；12nS（3）设函数 ， ，求3()logfx12()()n nbfaffa1231nnTb【答案】 （1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析()na【解析】试题分析：（1）利用 ，求得 ，即是等比数列，由此1nnaS13na求得 ；（2）利用等比数列求和公式，求得 ；（3）利()3na 1()22nnS用对数运算，求得 ，利用裂项求和法求得 .(1)1,2nnbbnT试题解析：（1）当 时， ， ，21()()nnnaa12na1nna ，由 ，得 ，13na11S13数列 是首项 ，公比为 的等比数列，n13a ()3na
