1、2017 届内蒙古省百校联盟高三 3 月教学质量监测考试数学（理甲卷）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）230Ax1BxyRABA B C D3,1,13,22.已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的模为（ ）z736iizA B2 C4 D83.已知两个随机变量 ， 之间的相关关系如下表所示：xy根据上述数据得到的回归方程为 ，则大致可以判断（ ）ybxaA ， B ， C ， D ， 0ab00ab0ab4.已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）2,4
2、r3,xr1,cr2crrA9 B3 C. D935.已知等比数列 的 前项积为 ，若 ，则 的值为（ ）nanT228logla9TA B512 C. D10245121046.执行如图所示的程序框图，则输出的 的值为（ ）iA5 B6 C.7 D87.已知三棱锥 的四个顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别为 ， ，COxyz2,0A,12B， ，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以 平面为投影面，得到的俯视图可以为0,2C1,0D（ ）A B C D8.已知过点 的直线与圆 ： 相切于点 （ 在第一象限内） ，则过点 且与直线2,0240xyPP垂直的直线 的方程为（ ）3xylA B C. D
3、3xy320xy360xy9.函数 的图象的大致形状为（ ）2sin1xfeA B C D10.已知函数 ，若 的图象与 的图象2sincosfxxx04yfx4yfx重合，记 的最大值为 ，函数 的单调递增区间为（ ）00cos3gxxA B,321kkZ,126kkZC. D,211.已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 、 ，点 关于双曲线 的一条C21xyab0ab1F2C渐近线的对称点 在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ）AA B C.2 D23512.定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，且 在 上单调递减，若关于 的不等式Rfxyfx0,x在 上恒成立，则实数 的
4、取值范围为（ ）lnfmx2ln3fmx1mA B C. D16,2e16,e6,3ne136,2ne第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，含 项的系数为 （用数字填写答案） 2130x1x3x14.已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围为 y4026y12yz15.各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ，nanS210nnSS*N则 12S 01716.如图所示，三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， 是线段 的中点，PABCVDAB，且 ，若 ， ， ，则三棱锥 的外接球DEBE120DPA32BPC的表面积为 三、
5、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 、 、 成等比数列，ABCVCabcabc3sincbC.cos（）求 的大小；（）若 ，求 的周长和面积.23b18. 每年的 4 月 23 日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各 20 人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图.男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间 内）0,6（）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女
6、生年阅读量的中位数；（）若年不小于 40 本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列 列联表，并判断是否有 99%的把握认为阅读丰富与性别有关；2（）在样本中，从年阅读量在 的学生中，随机抽取 2 人参加全市的征文比赛，记这50,62 人中男生人数为 ，求 的分布列和期望.附： ，其中2nadbcKdnabcd19.如图，已知矩形 中， 、 分别是 、 上的点， ， ，ABCDEFABCD1BECF2， 、 分别是 、 的中点，现沿着 翻折，使得二面角 大小为 .3ABPQAB3（）求证： 平面 ；（）求二面角 的余弦值.BE20.已知椭圆 ： （ ）的离心
7、率为 ，点 是椭圆 的上顶点，点 在椭圆 上C21xyab0a2BCQC（异于 点）.B（）若椭圆 过点 ，求椭圆 的方程；23,C（）若直线 ： 与椭圆 交于 、 两点，若以 为直径的圆过点 ，证明：存在 ，lykxbBPQBkR.12BPQ21.已知函数 ，其中 .lnxfxa0a（）讨论函数 的单调性；（）证明： （ ， ）.2213214L342en*N2n请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点， 轴正半1C3cos1inxy x轴为极轴建立极坐
8、标系，曲线 的极坐标方程为 .22（）求曲线 的极坐标方程与曲线 的直角坐标方程；1（）若直线 与曲线 交于 、 两点，求 的长度.6R1CPQP23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .34fx（）记函数 ，在下列坐标系中作出函数 的图象，并根据图象求出函数24gfxgx的最小值；x（）记不等式 的解集为 ，若 ， ，且 ，求实数 的取值范围.5fxMpqpq2016-2017 学年普通高中高三教学质量监测理科数学 参考答案一、选择题1-5:BCCDA 6-10:BCBAA 11、12：DD二、填空题13. 14. 15. 16. 2601,42017813三、解答题17.解：（）依题意，
9、， ，3sincoscbCBin3sinsicoCBCB， ，13sincoB12sin6B，故 或 ，所以 或 （舍） ，故 .i6533B（）已知 ，则 ，23b21cosa2ac2ac因为 、 、 成等比数列，所以 ，ac4所以三角形 的周长为 ， .ABC631sin2ABCSacV2sibB13218.（）前三组频率之和为： ，0.50.中位数位于第三组，设中位数为 ，由题可知： ，解得 .3.45a38a该校女生年阅读量的中位数约为 38.（）， 没有 99%的把握认为阅读丰富与性别有关.240196237k.8496.35（）年阅读量在 的学生中，男生 2 人，女生 4 人.50
10、,由题意得 的可能取值为 0,1,2.， ， .24605CP124685CP2615CP所以的分布列为.28015E25319.（）取 的中点 ，连接 ， ，又 为 的中点，BMPQPDE所以 ， 平面 ， 平面 ，PD CDBC所以 平面 ，PM BCD同理可证 ， 平面 ，Q B又因为 ，所以平面 平面 ， 平面 ，P CPQM所以 平面 .Q BD（）在平面 内，过点 作 的垂线，易证明这条垂线垂直平面 ，因为二面角FFEBCF大小为 ，所以 ，AE2323C建立空间直角坐标系 如图所示，则 ， ， ， ，xy,0E,10C2,0,13D，2,1则 ， ， ，,3BDur0,23ABu
11、r,Bur设平面 的一个法向量 ，根据 ，,mxyz0mDArs230xyz令 ，则 ， ，所以 ，3z0x3230,2ur设平面 的一个法向量 ，根据 ，DBE1,nxyzr 0nBDEru11230xyz令 ，则 ， ，所以 ，13z10y1323,2r所以 ，cos,mnur 417934所以二面角 的余弦值为 .ADBE720.解：（）依题意， ， ， ，2ca231b22abc解得 ， ，故椭圆 的方程为 .24a2bC4xy（）由椭圆的对称性，不妨假设存在 ，使得 .0k12BPQ由题意得， ，椭圆 ： ，2abC21xyb联立直线 与椭圆 的方程可得： ，l 240kbx解得 ，
12、所以 ，241Pkx21BP因为 ， ，BQ2241bkk24bk， ，12P2241bk24bk即 .340k记 ，又 ， ，所以函数 存在零点，321fxx04fQ12ffx存在 ，使得 .kRBP21.解：（）函数 的定义域为 ，fx0,.21afx2a令 ，hx记 ，当 时，得 .2221414a012a若 ，则 ， ，axfx此时函数 在 上单调递减 .f0,当 时，由 得 或 .显然 .102a20ax214ax214ax120x故此时函数 在 上单调递增，f224,在 和 上单调递减.2140,a21,a综上，当 时， 在 上单调递增，102afx22141,a在 和 上单调递减
13、；4,2,当 时，函数在 上 单调递减.12afx0,（）令 ，由（）讨论可得函数 在区间 上单调递减，fx0,又 ，从而当 时，有 ，即 .10f1,x1ln2x令 ，2xn则 ，22l1221n2211nn1n从而 221lnl322ll14L324513L，12nn12n124则有 ，222l34 234L可得 .2221132en22.解：（）因为 故 ，故 ，3cos,y1ix2219xy23xyx250y故曲线 的极坐标方程为 ，1C2sin50因为 ，故 ，即 ，即 .2coscos2xy21xy（）设 ， 两点所对的极径分别为 ， ，PQ12将 （ ）代入 中，6R23csin50整理得 ，故 ， ，2501212故 .12PQ46
