1、2015-2016 学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x23x+2=0，B=x|log x4=2，则 AB=（ ）A 2，1，2 B1，2 C 2，2 D22若复数 z=（a 2+2a3）+（ a+3）i 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值是（ ）A3 B3 或 1 C3 或1 D13已知向量 =（1，3） ， =（ 2，m） ，若 与 垂直，则 m 的值为（ ）A1 B1 C D4直线 x+（a 2+1）y+1=0（a R）
2、的倾斜角的取值范围是（ ）A0， B ，） C0 ， （ ，） D ， ） ，）5已知 （0， ） ，且 cos（+ ）= ，则 sin 的值为（ ）A B C D6若数列a n的通项公式是 an=（ 1） n（3n2） ，则 a1+a2+a10=（ ）A15 B12 C 12 D157已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A6 B8 C D38已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V，在斜三棱柱内任取一点 P，则三棱锥 PABC 的体积大于 的概率为（ ）A B C D9如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是 27，则判
3、断框处应填入的条件是（ ）An2 Bn3 Cn4 Dn510已知双曲线： =1，左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|+| |的最小值为（ ）A B11 C12 D1611已知函数 f（x）=x 33x2+1，g（x）= ，则方程 gf（x）1=0 的根的个数为（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个12已知球 O 半径为 ，设 S、A、B 、C 是球面上四个点，其中 ABC=120，AB=BC=2，平面 SAC平面 ABC，则棱锥 SABC 的体积的最大值为（ ）A B C D 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
4、.13将容量为 n 的样本中的数据分成 5 组，绘制频率分布直方图若第 1 至第 5 个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之和等于 15，则 n 等于 14设 a0，b0，若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 + 的最小值是 15已知函数 f（x）=（2x x2）e x，则函数 f（x）的极大值与极小值之积为 16设m表示不超过实数 m 的最大整数，则在直角坐标平面 xOy 上，则满足x 2+y2=50 的点 P（x，y）所成的图形面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知函数 f（x）= sin2xcos2x
5、 ， （xR）（1）当 x ， 时，求函数 f（x）的最小值和最大值；（2）设ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 c= ，f （C ）=0，若向量 =（1，sinA）与向量 =（2，sinB）共线，求 a，b 的值18为积极配合深圳 2011 年第 26 届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由 4 名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2 名男同学，4 名女同学共 6 名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的（1）求当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率；（2）求当选的 4 明天同学中至少有 3 名女同学的概率19如图，在长方形
6、ABCD 中，AB=2，AD=1，E 为 DC 的中点，现将DAE 沿 AE 折起，使平面 DAE平面 ABCE，连接 DB，DC ，BE （）求证：BE平面 ADE；（）求点 A 到平面 BDE 的距离20设椭圆 C： + =1（ab0）过点 M（ ，1） ，且焦点为 F1（ ，0）（）求椭圆 C 的方程；（）当过点 P（4，0）的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A，B 时，在线段 AB 上取点 Q，满足= ，证明：点 Q 总在某定直线上21设函数 f（x）= +lnx， g（x）=x 3x23，其中 aR（）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点 P（1，f （1） ）处的切线方
7、程；（）若存在 x0，2 ，使得 g（x）M 成立，求实数 M 的最大值；（）若对任意 s、t ，2都有 f（s）g（t） ，求 a 的取值范围四、选考题（请考生从 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4-1：几何证明选讲22选修 41：几何证明选讲如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，PA 是过点 A 的直线，且PAC= ABC（） 求证：PA 是 O 的切线；（）如果弦 CD 交 AB 于点 E，AC=8，CE ：ED=6：5， AE：EB=2 ：3，求 sinBCE选修 4-4：坐标系与参数方程23 （选做题）在直角坐标系 xOy 中，以 O
8、为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin（+ ）= ，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数，r0）（）求圆心 C 的极坐标；（）当 r 为何值时，圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|2x1|+|2x3|，xR（1）解不等式 f（x）5；（2）若 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围2015-2016 学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x2
9、3x+2=0，B=x|log x4=2，则 AB=（ ）A 2，1，2 B1，2 C 2，2 D2【考点】并集及其运算【分析】先将 A，B 化简，再计算并集，得出正确选项【解答】解：A=x|x 23x+2=0=x|（x 1） （x2）=0=1，2B=x|logx4=2=2AB=1，2故选 B2若复数 z=（a 2+2a3）+（ a+3）i 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值是（ ）A3 B3 或 1 C3 或1 D1【考点】复数的基本概念【分析】由复数 z=（a 2+2a3）+ （a+3 ）i 为纯虚数，知 ，由此能求出实数 a【解答】解：复数 z=（a 2+2a3）+（a+3）i
10、 为纯虚数， ，解得 a=1，故选 D3已知向量 =（1，3） ， =（ 2，m） ，若 与 垂直，则 m 的值为（ ）A1 B1 C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出向量 ，然后利用向量垂直数量积为 0，求出 m 的值即可【解答】解：因为向量 =（ 1，3） ， =（ 2，m） ，所以 =（3，3+2m） ，因为 与 垂直，所以 （ ）=0 ，即（1，3）（ 3，3+2m）=0，即3+9+6m=0，所以 m=1故选 A4直线 x+（a 2+1）y+1=0（a R）的倾斜角的取值范围是（ ）A0， B ，） C0 ， （ ，） D ， ） ，）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程
11、得 斜率等于 ，由于 0 1，设倾斜角为 ，则 0， 1tan0，求得倾斜角 的取值范围【解答】解：直线 x+（a 2+1）y+1=0（a R）的 斜率等于 ，由于 0 1，设倾斜角为 ，则 0， 1tan0， ，故选 B5已知 （0， ） ，且 cos（+ ）= ，则 sin 的值为（ ）A B C D【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（+ ）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin=sin（+ ） 的值【解答】解：（0， ） ，且 cos（ + ）= ，+ 为钝角，sin（+ ）= = ，则 sin=sin（+ ） =sin（+ ）cos cos
12、（ + ）sin = （ ） = ，故选：D6若数列a n的通项公式是 an=（ 1） n（3n2） ，则 a1+a2+a10=（ ）A15 B12 C 12 D15【考点】数列的求和【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解【解答】解：依题意可知 a1+a2=3，a 3+a4=3a9+a10=3a1+a2+a10=53=15故选 A7已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A6 B8 C D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥 PABCD 的四个
13、侧面中面积，得到最大值即可【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为 4，2，后面是等腰三角形，腰为 3，所以后面的三角形的高为： = ，所以后面三角形的面积为： =2 两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选 A8已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V，在斜三棱柱内任取一点 P，则三棱锥 PABC 的体积大于 的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型【分析】设出 P 点到底面距离为 h1，由题意得到满足三棱锥 PABC 的体积大于 的 h1 与原
14、斜三棱柱高的关系得答案【解答】解：如图，设斜三棱柱 ABCA1B1C1 的底面积为 S，高为 h，P 点到底面距离为 h1，则 Sh=V，由 ，得 ， 得： ，三棱锥 PABC 的体积大于 的概率为 故选：B9如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是 27，则判断框处应填入的条件是（ ）An2 Bn3 Cn4 Dn5【考点】循环结构【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）1=1；n=2，依次循环 S=（1+2 ）2=
15、6，n=3；n=3，依次循环 S=（6+3 ）3=27，n=4，此刻输出 S=27故判断框处应填入的条件是 n3，故选 B10已知双曲线： =1，左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|+| |的最小值为（ ）A B11 C12 D16【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的标准方程可得：a=2，再由双曲线的定义可得：|AF 2|AF1|=2a=4，|BF 2|BF1|=2a=4，所以得到|AF 2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）=8，再根据 A、B 两点的位置特征得到答案【解答】解：根据双曲线的标准方程 =1 可得：a=2，由双曲线
16、的定义可得：|AF 2|AF1|=2a=4，|BF 2|BF1|=2a=4，所以+可得：|AF 2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）=8，因为过双曲线的左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 A，B 两点，所以|AF 1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小所以|AF 2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）=|AF 2|+|BF2|AB|=8|BF2|+|AF2|=|AB|+8 =11故选 B11已知函数 f（x）=x 33x2+1，g（x）= ，则方程 gf（x）1=0 的根的个数为（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【考点】根的存在性及根的个数
17、判断【分析】令 t=f（x） ，则 g（t）=1，解得 t 的值，求函数 f（x）的导数 f（x） ，判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：令 t=f（x） ，则 g（t ）=1，当 t0 时，由 g（t）=1 得 t+ =1，即 4t24t+1=0，即（2t 1） 2=0，即 t= ，当 t0，由 g（ t）=1 得t 26t8=1，即（t+3） 2=0，即 t=3，函数 f（x）=3x 26x=3x（x2） ，由 f（x）0 得 x2 或 x0，此时函数单调递增，由 f（x）0 得 0x2，此时函数单调递减，即当 x=0 时，函数取得极大值 f（0）=1，当 x=2
18、时，函数取得极小值 f（2）= 3，则当 t= 时，f（x）= ，有 3 个根，当 t=3 时，f （x）=3，有 2 个根，共有 3+2=5 个，故选：C12已知球 O 半径为 ，设 S、A、B 、C 是球面上四个点，其中 ABC=120，AB=BC=2，平面 SAC平面 ABC，则棱锥 SABC 的体积的最大值为（ ）A B C D 3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【分析】求出底面三角形的面积，底面三角形的所在平面圆的半径，由平面 SAC平面 ABC，可将已知中的三棱锥 SABC 补成一个同底等高的棱柱，即可求解锥 SABC 的体积的最大值【解答】解：三棱锥 OABC，A、B 、C 三点均在球心 O 的表面上，且 AB=BC=2，ABC=120，BC=2 ，ABC 外接圆半径 2r=4，即 r=2
