1、 高三数学试卷（理科）一选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1. 设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）RU1|xA1log|2xBBAUA B C D1,0(1,2,(,),(2. 设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）i 30RaiaA3 B1 C1 D33. 已知命题 ；命题 ，则下列判断正确的是（ ）4,:xp 21),0(:0xxqA 是假命题 B 是真命题 C 是真命题 D 是真命题)(qp)(4.已知 MO函数是一个求余函数，其格式为 (,)MODnm，其结果为 n除以 m的余数，例如 (8,3)2. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为 5时，则输出
2、的结果为（ ）A 4 B 5 C 6 D 7 5.设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）nm, ,A若 ，则 ； B若 ，则 ； n,/ nm/,/C若 ，则 ； D若 ，则 ；, / /6.若 ，且 ，则 （ ）)20(103)2cos(2tanA B C D131457. 若函数 在区间 ，0)内单调递增，则 的取值范围（ ）()lg()afxx),(a2(aA ,1) B ,1) C ， D(1 ， ) 4319)498.设 ,xy满足约束条件231xy，则下列不等式恒成立的是（ ）A 3 B 4 C 280xy D 210xy9若 ,02ab，则函数 341fab存
3、在极值的概率为（ ）结束开始输入 n2i(,)0?MODni输出 i1i是否A. 12ln4B. 3l2C. 1lnD. l210.已知圆 和两点 A（ ） ，B （ ） ，若圆 C 上存在点 P，使得)4()(:yxC0,m),(0,则 的最大值为（ ）A.7 B. 6 C. 5 D. 490APBm11设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数， 的导函数，当R()fx2()fxf是时, ;当 且 时, ,则方程x1),0x0(上的根的个数为 ( ) A2 B5 C4 D8 ()cos2,f在12. 设双曲线 210,xyab的右焦点为 F，过点 F 做与 x 轴垂直的直线交两渐近线于
4、A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 ，则双ROP,254,曲线的离心率 e 是（ ）A. 5B. 2C. 5D. 4二填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 的三边长分别是 D 为 BC 边的中点， AD= ，则 _ABC,34,cba 237a14. 平面向量 满足 ，且向量 与向量 的夹角为 ，则 为_.b,2abb15. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且数列 也为等差数列，则数列 的通项公式nanS12nSna= na16. 定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ；当 时，),0()(xf ),0(x)(2(xff2,1(，给出如
5、下结论： 对 ，有 ； 函数 的值域为 ； xf2)( Zm2mf f),0存在 ，使得 ； 函数 在区间 单调递减的充分条件是“存在 ，Zn9)12(nf )(xf),(baZk使得 ，其中所有正确结论的序号是： （将正确命题序号填上） ,),(kba三解答题（共 6 大题，共 70 分）17 （本题满分 12 分）已知函数 经化简后利用)0(21cossin3)( xxxf“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： x 3235)(f0 1 0 1 0（）请直接写出处应填的值，并求函数 在区间 上的值域；()fx,2（） 的内角 A，B，C 所对的边分别为 ，已知
6、， ，求cba,7,4,3acbAf的面积ABC18. （本题满分 12 分）如图，边长为 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD2所在的平面互相垂直，其中 ABCD，ABBC，DC=BC= AB=1，1点 M 在线段 EC 上。（）证明：平面 BDM平面 ADEF；（）判断点 M 的位置，使得平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角为 。319. （本题满分 12 分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过 2公里的地铁票价如下表：乘坐里程 x（单位： km） 06x12x2x票价（单位：元） 345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过 公里 .
7、已知甲、乙乘车不超过 6公里的概率分别为 14， 3，甲、乙乘车超过 6公里且不超过 12公里的概率分别为 12， 3 .（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望20. （本题满分 12 分）已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，以原点为圆点，椭圆的短半轴2byax21为半径的圆与直线 x-y+ =0 相切。6（）求椭圆的标准方程；（）设 P（4，0） ，A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q；21. （本题满分 12 分
8、）已知函数 1()lnafx（ 为实数） （）当 1a时，求函数 fx的图象在点 ,()2f处的切线方程；（）设函数 2()3ha（其中 为常数） ，若函数 ()fx在区间 (0,2)上不存在极值，且存在 a满足()18，求 的取值范围；（）已知 *Nn，求证： 11ln()2345n 22 （本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆 O 的直径，C 是半径 OB 的中点，D 是 OB延长线上一点，且 BD=OB，直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T（不与 A、B 重合） ，DN 与圆 O 相切于点 N，连结 MC，MB，OT（1） 求证： ；DMT（2） 若 ，试求
9、的大小60B23 （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 内，点 在曲线 C： 为参数， ）上运xOy),(yxP(sin,co1yxR动以 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 xl 0)4(（）写出曲线 C 的标准方程和直线 的直角坐标方程；（）若直线 与曲线 C 相交于 A、B 两点，点 M 在曲线 C 上移动，试求 面积的 l ABM最大值，并求此时 M 点的坐标24选修 4-5：关于 的不等式 （） 当 时，求不等式的解集；（）设xlg(|3|7|).xm1函数 ，当 为何值时， 恒成立？|)7|3lg(|)f xf(一选择题（共 12 小题，每
10、题 5 分，共 60 分）CDCBB BACAB CD二填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. （1） （2）(4)13322n三解答题（共 6 大题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）解：（）处应填入 1 分63 分31cos21()sin2xfxx31sin2cosin(2)6xx因为 T= ，所以 ， ，即 4 分5()()i)f因为 ，所以 ，所以 ，,23x26x11sin()62x故 的值域为 6 分)(f1,（） ，又 ，得 ，)sin()36fA0,A766A2A8 分3由余弦定理得 ，22cosabA2()cos3bcb2(
11、)3cb即 ，所以 10 分(7)43c3所以 的面积 12 分ABC13sin224Sb18. （本题满分 12 分）解：（1） ,ABDA2 分DEEF且平 面平 面4 分ABC平 面，F平 面 BM平 面且 6 分M平 面平 面 （2）以 C 为坐标原点，分别以 CD，CB，以及过 C 与 DE 平行的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则B（0,1,0） ，D（1,0,0） ，A(2,1,0),F(2,1, )2设 ，则 M（ ） 8 分CE2,0设平面 BDM 的法向量为 则 令zyxn,12,1,01BMD02zyx10 分2,2,11zyx面 0,nABF的 法 向 量 为
12、 213cos3112 分点 的 三 等 分 点 处上 靠 近点 在 CEM19. （本题满分 12 分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过 12公里且不超过 2公里的概率分别为 14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 143243P 2 分所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 1 4 分（）由题意可知， 6,7890则 1(6)432P71(8)319234P(0)10 分所以 的分布列为678910P121413142则 ()678908432E 12 分20. （本题满分 12 分）解：（）由题意知 e= = ，所以 e2= = = 即 a2= b2 ac1ca2b-413又因为
13、 b= = ，所以 a2=4，b 2=3故椭圆的方程为 =1.4 分163 342yx（）由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y=k(x-4)由 ,得（4k 2+3）x 2-32k2x+64k2-12=0 6 分134)(2yxk设点 B(x1,y1)，E(x 2,y2)，则 A(x1,-y1)直线 AE 的方程为 y-y2= (x-x2)令 y=0，得 x=x2-1xy将 y1=k(x1-4)，y 2=k(x2-4)代入，12(yx整理，得 x= 8 分8)(421x由得 x1+x2= ，x 1x2= 10 分 代入 整理，得 x=13k3k6所以直线 AE 与 x 轴相
14、交于定点 Q(1,0)12 分21. （本题满分 12 分）解：（）当 a时， 1()lnfxx，21()fx，则 4， 1()2ln1f函数 ()fx的图象在点 ,的切线方程为： 1(ln2)()2yx，即 2ln20y 4 分（） 21()axfx ，由 ()0fxa由于函数 在区间 (,)上不存在极值，所以 或 2 由于存在 a满足 h8，所以 max()h18 6 分 对于函数 2()3a，对称轴 34当 0或 34，即 0或 83时，max94h，由 ()18218，结合 或 83可得： 19或当 30，即 403时， max()(0)h，由 max()h，结合 4可知： 不存在；
15、当 3124，即 83时， max()(2)68h；由 max()h16，结合 43可知： 13 综上可知： 9 或 88 分（）当 1时， 2()xf，当 (0,1)时， ()0fx， ()f单调递增；当 (1,)时，()0fx， 单调递减， )lnf在 处取得最大值 (0f 即 ln(fx， lx，10 分令 1x，则 1，即 1()ln， ln()l()ll()(ln21)n21故 l(1)345n 12 分22 （本题满分 10 分） （1 ）证明：因 MD 与圆 O 相交于点 T，由切割线定理 ， ，得 ，设半径 OB= ，DMTN2 DABN2 DABM )0(r因 BD=OB，且
16、 BC=OC= ，则 ， ，r23r23rC所以 5 分.CO（2）由（1）可知， ，且 ，T故 ，所以 ；DDT根据圆周角定理得， ，则 10 分MB2.30C23 （本题满分 10 分）解：（1）消去参数 ，得曲线 C 的标准方程： 2 分.1)(2yx由 得： ， 0)4cos(sinco即直线 的直角坐标方程为： 5 分l .0yx（2）圆心 到直线 的距离为 ，)0,1(l 21d则圆上的点 M 到直线的最大距离为 （其中 为曲线 C 的半径） ， 7 分rr设 M 点的坐标为 ，则过 M 且与直线 垂直的直线 方程为：2)(12| AB),(yxll，则联立方程 ，01yx01)(2yx解得 ，或 ， 经检验 舍去2y2y21yx故当点 M 为 时， 面积的最大值为),1(ABM10 分max)(ABS.21)(224 （本题满分 10 分）解：（1）当 时，原不等式可变为 ，m0|3|7|10x可得其解集为 5 分|27.x（2）设 ，|3|t则由对数定义及绝对值的几何意义知 ，10t因 在 上为增函数， xylg),0(则 ，当 时， ，故只需 即可，1t7xtlgtm即 时， 恒成立 10 分mf)(
