1、2016 届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测数学（文）试题 数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 若 ,则实数 的取值范围是（ ）2|120,|log,AxBxmABmA B C D 0,4,10,1,22. 已知复数 满足 ,则复数 在复平面上对应的点在（ ）z532izA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 3. 已知 为等差数列 的前 项和, , 则 等于（ ）nSna14,aS2aA B C D 12344. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
2、,1,7bA B C DabaAabab5. 已知直线 ,过双曲线 的一个焦点，且与双曲线的一条淅近线320xy210,xyb垂直，则双曲线的实轴长为（ ）A B C D2 2346. 已知 ,则 等于（ ）20,sincos34xxtanxA. B C D12 227. 若曲线 在点 处的切线过点 ，双曲线函数 的极值为（ ）lnaexf1,f0,eyfxA B C D123e8. 执行如图所示的程序框图, 已知命题 ,输出 的值为 ；命题 ,则输出:46pkS30:45qk的值为 ,则下列命题正确的是（ ）S14A B C D qpqpqpq9. 已知函数 , 若 对 恒成立, 则 的2s
3、in12fxx1fx,3124f最小值是（ ）A B C D12110. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上一点，2:10xyCab1,0Fc2,PC且 ，直线 与圆 相切，则椭圆的离心率为（ ）21PF1PF224cxyA B C D33123411. 一个几何体的三视图如图所示, 在该几何体的体积为（ ）A B C D 4512612. 已知函数 ，实数 满足 ，若243,xxfgA,ab0，使得 成立，则 的最大值为（ ）12,1,xab12fxgbaA B C D34525第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如果实数
4、满足条件 ,则 的最大值为 ,xy021xy2zyx14. 某单位从包括甲、乙在内的 名应聘者中招聘 人，如果这 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙55两人中至少有 人被录用的概率是 115. 已知数列 中， ，当 时， ，数列 的前 项和为 ，则不等式na12n1123nnaA2nanS的解集为 20nS16. 已知长方体 内接于球 ，底面 是边长为 的正方形， 为 的中点，1ABCDOBCDE1A平面 ，则球 的表面积为 OEO三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）在 中, 角 的对边分别为 ,且 .A
5、B,abc32c（1）若 ,求 的值；2BCsin（2）若 的面积为 ,求 .3c32a18. （本小题满分 12 分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，本班 人进行问卷调查得到如50下的列联表：喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计男生 5女生 10合计 50已知按喜欢体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 的样本，则抽到喜欢体育运动的人数为 .16（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜欢体育运动与性别有关？说明你的理由.05下面的临界值表供参考： 2PKk.1.0.250.1.05.1k2.07.63.8415.026.357.8910.28参考
6、公式：，其中22nadbcKdnabcd19. （本小题满分 12 分）如图, 在四棱锥 中, 是边长为 的正三角形, 底面PABCD2PC.23.,ABCDP（1）求证： ；（2）已知 是 上一点, 且 平面 .若 ,求点 到平面 的距离.EBEAPCD2EABCD20. （本小题满分 12 分）已知圆 和圆 .21:1Cxy22:4Cxy（1）过点 引圆 的两条割线 和 ,直线 和 被圆 截得的弦的中点分别为 .求过点2,P2l2l ,MN的被圆直线 所截的弦长；,MNC1（2）过圆 上任一点 作圆 的两条切线, 设两切线分别与 轴交于点 和 ,求线段 长度20,Qxy1CySTS的取值范
7、围.21. （本小题满分 12 分）已知函数 .2,xfekR（1）设函数 .当 时, 若函数 有极值,求实数 的取值范围；2gxfb0gxb（2）若 在区间 上单调递增,求 的取值范围 .f0k请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 已知 为圆 的直径 , 为圆 上一点, 连接 并延长使 ,连接 并延长交圆 于ABOCACPBO点 ,过点 作圆 的切线, 切点为 .DPE（1）证明： ；2（2）若 ,求 的长度.5,4EB23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极
8、坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合, 设点 为坐标原xO点, 直线 (参数 )与曲线 的极坐标方程为 .:2xtlytRC2cosin（1）求直线 与曲线 的普通方程；lC（2）设直线 与曲线 相交于 、 两点, 证明： .AB0OAB24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21,fxgxa（1）当 时, 解不等式 ；0af（2）若存在 ,使得 成立, 求实数 的取值范围.xRxa湖南省郴州市 2016 届高三第四次教学质量检测数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-5.CDBCA 6-10.DBDB
9、B 11-12.AA二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16.27101,23416三、解答题17.解：（1） , 由 得 ,解得 ,2BC32bcsinco3C3cs.216 632sin1cos,sini2sinco23CBC（2） 的面积为3,bA,则 , ,解得1 6sin2sin32,sin3cA3cosA291a.3a或18. 解：（1）设喜欢体育运动的人数为 人, 由已知得解得 ,列联表统计如下：x30x喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计男生 20525女生 11合计 3200（2） 2502058.37.9k在犯错误的概率不超过 的前提下,认为喜欢
10、体育运动与性别有关.19.解：（1）证明：连接 交 于 , 底面 ,ACBDOPCABD平面 ,则,PCBP,即 ,233,tanA30,60,90AOB即 平面 .,DB,ACPBD（2）取 的中点, 连接 ,当 为 的中点时, 平面 ,证明如下：FEEAPC,由(1) 得 ，则 ,则 是 的中点，ABAFEA平面 平面 ， 平面 ， 平面 .,EFPDPCDBBD底面 点 到平面 的距离等于 .C,E12PC20. 解：（1）依题意, 过点 的圆即为以 为直径的圆，其圆心 ，半径2,PMNC2P1,， 直线 的方程为 ， 圆心 到直线 的距离为216101PC20xy1,1PC所求弦长为
11、.5,205（2）设过 的直线与圆 切线 ，则 ，0,Qxy1C0ykxy021kxy直线 与 轴的交点为00ykxy0,ykx设 ，则 ，而 是是程的两根，则120,STkx210ST21,k，又 ，210048yTkx004xy.令 ，2000562SA02,6xt则函数 在区间 是单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，ft,44, maxmin10,8ftft.52,4ST21. 解：（1）当 时， ，则 ，0k2xgxbe2 2xgxbe若函数 有极值，则方程 有两个不同的实数根，即 有两个不同的实gx0 0数根， ，解得 或 ， 实数 的取值范围是 .24b2,（2） ,求使 恒成立
12、的 的取值范围. 若 ,显然xfekfxkkfxf在区间 上单调递增, 记 ,则 ,当 时,0xe2xe102, 则 在区间 上单调递增, 于是120xekx0在区间 上单调递增, 当 时, 在 01,fxfx012k2xek上单调递减，在 上单调递增, 于是 ,0,ln2kln2kln llfx由 得 ,则 ,综上实数 的取值范围为 .ll0kel012ekk,2e22. 解：（1）连接 , 为圆 的直径, .BCAO90,BCACPAB是圆 的切线, 是圆 的割线,EPOPD22.PDEE（2） 是圆 的切线, 是圆 的割线,.2 2,23,4ACACAAC,得 .20164BB23. 解：（1）由直线 的参数方程消去 得普通方程 ,由曲线 的坐标方程两边同乘 ,得曲lt2yx线 的普通方程 . C2xy（2）设 ,由 ,消去 得 ,12,AB2xy240x,2112124,4xxyA.120OAB24. 解：（1）当 时,由 得 ,两边平方整理得 ,afxg21x23410x解得 或 , 原不等式解集为 .x3,3（2）由 得 ,令 ,则 ,fxg21ax21hxx1,23,01xhx故 ,从而所求实数 的取值范围为 .min12hxa12a
